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2013年4月杭州市重点高中2013高考数学命题比赛参赛试题(四)

浙江省杭州市重点高中 2013 年 4 月高考命题比赛高中数学参赛试题-3 2013 年高考模拟试卷数学卷(理科)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 则 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k P (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k (k ? 01, 2, ,n) , ? n

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式

台体的体积公式

S ? 4? R2
球的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示棱台的上、下底面积,

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

h 表示棱台的高

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1) (原创)已知 U 为全集, A, B, I 都是 U 的子集,且 A ? I , B ? I ,则 CI ( A ? B) ? ( ) (A) ?x ? U | x ? A且x ? B? (B) x ? U | x ? A或x ? B 开始 始 S=0,T=0,n=0 是

?

?

(C) ?x ? I | x ? A且x ? B? (D) x ? I | x ? A或x ? B

?

?

T>S 否 S=S+5 n=n+2

(2) (全品改编)执行如图 1 的程序框图,输出的 T 的值 为( )

输出 T 结束

·1·

T=T+n
图1

(A)12

(B)20

(C)30

(D)42

(3) (原创)等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ” 是“ a3 ? a6 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

(4) (课本改编)设为虚数单位,则下列运算结果不是纯虚数的是( .. (A)

1? i 1? i

(B) (1 ? i)(1 ? i)

(C) (1 ? i) 2

(D) (1 ? i) 2

(5) (原创)已知 m 是平面 ? 的一条斜线,点 A ? ? ,为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能 出现的是( ) (A) l ? m,l // ? (B) l // m, l ? ? (C) l ? m, l ? ? (D) l // m, l // ?

(6) (2007 模拟题改编)已知点 A(cos10?, sin 10?) 、 B(sin 40?, cos40?) ,则直线 AB 的倾斜角等 于( ) (B) 120 ? (C) 105 ? (D) 95 ?

(A) 135 ?

(7) 原创) 已知 ?OAB 三顶点坐标分别是 O(0,0) 、A(1,1) 、 (2,0) , 直线 ax ? by ? 1 与线段 OA 、 ( B

AB 都有公共点,则对于 2a ? b 下列叙述正确的是 (
(A)有最大值而无最小值 (C)既有最大值也有最小值



(B)有最小值而无最大值 (D)既无最大值也无最小值

(8) (原创)如图 2,正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,

A D
A? P D? M

B

M 为 BC 边的中点,点 P 在底面 A?B ?C ?D ? 和侧面

CDD ?C ? 上运动并且使 ?MA C ? ? ?PAC ? ,那么点
P 的轨迹是(
(A)两段圆弧 (C)两段双曲线弧 ) (B)两段椭圆弧 (D)两段抛物线弧

C
B?

图2

C?

2 2 2 (9) (2011 模拟题改编) ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边长为 a, b, c ,满足 a ? b ? 2c ,

如果 c ? 2 ,那么 ?ABC 的面积等于(


·2·

(A) tan A

(B) tan B

(C) tan C

(D)以上都不对

(10) (2011 模拟题改编)已知 f (x) 是定义在 [ a, b] 上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下 列条件: f (x) 的值域为 G , G ? [a, b] ; 且 对任意 x, y ? [a, b] 都有 f ( x) ? f ( y) ? x ? y . 那 么,关于

x 的 方 程 f ( x ) ? x 在 区 间 [ a, b] 上 根 的 情 况 是 (

) ( A ) 可 能 没 有 实数 根

(B)有且仅有一个实数根 (C)恰有两个实数根 (D)可能有无数多个实数根

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
2 3 (11) (课本题改编)若 ( a ?

1 n ) 的展开式中含 a 3 项,则最小自然数 n ? _________ . a
D
都是

(12) (2012 北京高考题改编)如图 3, ?ABC 与 ?ACD 等腰直角三角形, 且 AD ? DC ? 2 , AC ? BC ,

C

平面

DAC ? 平面 ABC , 如果以 ABC 平面为水平面,
图的观察方向与 AB 垂直, 图的面积为__________. 则三棱锥 D ? ABC

B

正视 左视

A

图3

(13) (2011 模拟题改编)编号为 1 ~8 的八个小球按编号从小到大顺序排成一排,涂上红、 白两种颜色,5 个涂红色,三个涂白色,求恰好有三个连续的小球涂红色,则涂法共有 ______种. (14) (原创)首项 a1 ? 1 的等差数列 ?an ? ,其前 n 项和为 S n ,对于一切 k ? N ? ,总有

S k 2 ? (S k ) 2

成立,则 an ? ________ .

(15) (全品改编)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,定点 A(1,3) ,点 P 在双曲线 9 16

的右支上运动,则 PF ? PA 的最小值等于________. 1 (16)2011 温州模拟题) ( 如图 4, 线段 AB 长度为 2 , A, B 点 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动, 以线段 AB 为
·3·

图4

一边,在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 , O 为坐 标原点,则 OC ? OD 的取值范围是 .

(17) (原创)实数 a ? b ? c 且 a ? b ? 1 ? c , a ? b ? c(c ? 1) ,则 c 的取值范围为________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (2012 杭州高三期中联考改编) (本题满分 14 分) 平面直角坐标系中, ?ABC 满足 AB ? (? 3 sin ? , sin ? ) , AC ? (cos? , sin ? ) , (Ⅰ)若 BC 边长等于 1,求 ? 的值(只需写出 (0,2? ) 内的 ? 值) ; (Ⅱ)若 ? 恰好等于内角 A ,求此时内角 A 的大小. (19) (2010 高考模拟改编) (本题满分 14 分) 某种鲜花进价每束 2 .5 元,售价每束 5 元,若卖不出,则以每束 1.6 元的价格处 掉.某节日需求量 X (单位:束)的分布列为 理

X
P

200

300

400

500

0.20

0.35

0.30

0.15

(Ⅰ)若进鲜花 400 束,求利润 Y 的均值. (Ⅱ)试问:进多少束花可使利润 Y 的均值最大? (20) (原创) (本题满分 14 分) 如图 5, ?ABC 的三边长分别为 AC ? 6 、 AB ? 8 、 BC ? 10 , O ? 为其内心;取 O ?A 、

O ?B 、 O ?C 的中点 A? 、 B ? 、 C ? ,并按虚线剪拼成一个直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? (如
图 6) ,上下底面的内心分别为 O ? 与 O ;

A A?
B? B A?
(Ⅰ)求

O?

C? C

B?
B

O? A
O

C? C

直三棱柱

ABC ? A?B ?C ?
的体积;

图5 ·4·

图6

(Ⅱ)直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 中,设线段 OO ? 与平面 AB ?C 交于点 P ,求二面角

B ? AP ? C 的余弦值.
(21) (全品改编) (本题满分 14 分) 定长等于 2 6 的线段 AB 的两个端点分别在直线 y ? 段 AB 中点 M 的轨迹为 C ; (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 (0,1) 的直线与轨迹 C 交于 P, Q 两点,问:在 y 轴上是否存在定点 T , 使得不论如何转动, TP? TQ 为定值. (22) (原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目) (本题满分 16 分)
2 设函数 f ( x ) ? x ?

6 6 x和y ?? x 上滑 2 2

动,线

1 1 , g ( x) ? ln( 2ex ) , (其中 e 为自然底数) ; 4 2

(Ⅰ)求 y ? f ( x) ? g ( x) ( x ? 0 )的最小值; (Ⅱ)探究是否存在一次函数 h( x) ? kx ? b 使得 f ( x) ? h( x) 且 h( x) ? g ( x) 对一切 x ? 0 恒 成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由; (Ⅲ)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? g (an?1 )(n ? 2) ,求证:

? (a
k ?1

n

k

3 ? ak ?1 ) ? ak ?1 ? . 8

·5·

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科)

答题卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

考号

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分。 11 ________. 15________. 12 ________. 16________. 13________ 17____ ____. .14________.

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

姓名

18、(本小题满分 14 分)

班级





线

·6·

19、(本小题满分 14 分)

20、(本小题满分 14 分)

A? B?

O? A
O
图6

C? C

B

·7·

21、(本小题满分 14 分)

·8·

21、(本小题满分 16 分)

·9·

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. (1)D; (2)C; (3)B; (4)B; (5)A; (6)B; (7)D; (8)C (9)C; (10)B 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. (11) 7; (12) 2 ; (13)24; (14) an ? 2n ? 1 或 an ? 1 ;

(15)11; (16) [1,3] ; (17) (? ,0) . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分, (18)解: (Ⅰ)因为 BC ? (cos? ? 3 sin ? ,0) ,所以 BC ? 2 sin(? ? 若 BC 边长等于 1,则 sin(? ?

1 3

?
6

) ,-------2 分

1 2? 5? ,在 (0,2? ) 内 ? ? 或? 或 ----5 分 3 6 2 3 2? 5? 由于 AB 与 AC 不共线,所以 ? ? 或 .----------------------------7 分 3 3 )??
·10·

?

(Ⅱ) cos A ?

AB ? AC AB ? AC

?

? 3 sin A cos A ? sin 2 A ? 3 cos A ? sin A ,--10 分 ? 2 sin A 2

所以 (2 ? 3) cos A ? sin A , tan A ? 2 ? 3 ---------------------------12 分 所以 A ?

5? .-----------------------------------------------------14 分 12

(19) 解: (Ⅰ)销售量 S (单位:束)的分布列为

S
P

200

300

400

0.20

0.35

0.45

所以 E ( S ) ? 325,-----------------------------------------------4 分 而 Y ? 3.4Z ? 360 ,所以 E (Y ) ? 3.4 ? 325? 360 ? 745.--------------7 分 (Ⅱ)设进 n ( n ? 500 )束花,当 400 ? n ? 500 时,销售量 S (单位:束)的 分布列为

S
P

200

300

400

n
0.15

0.20

0.35

0.35

可得 E ( S ) ? 0.15n ? 285;而 E (Y ) ? ?0.39n ? 901; 同理可对其它区间讨论后得

?2.5n(n ? 200) ?1.82n ? 136(200 ? n ? 300) ? ;-------------------------11 分 E (Y ) ? ? 0.63n ? 493(300 ? n ? 400) ? ?? 0.39n ? 901 400 ? n ? 500) ( ?
易知, n ? 400 时, E (Y ) 取最大值 745 .------------------------------14 分 (20)解: (Ⅰ)易知 ?ABC 为直角三角形,且其内切圆 半径等于 2,--------1 分

所以直三棱柱 ABC ? A?B ?C ? 的高等于 1,-----------------------------2 分 体积 V ? ( ? 3 ? 4) ? 1 ? 6 ; ---------------------------------------5 分 (Ⅱ)如图 7 以 A 为原点建立空间直角坐标系,则

1 2

z
A?
B?

AB? ? (4,0,1) , AC ? (0,3,0) ,设平面 AB ?C
O?
O
P

A

C? C y

·11·

x

B
图7

的法向量 m ? ( x, y, z) ,则 ?

?4 x ? z ? 0 , ?3 y ? 0

所以 m ? (1,0,?4) --------------------7 分 再设 AP ? (1,1, z 0 ) ,则由 AP ? m ? 0 得

z0 ?

1 1 ;即 AP ? (1,1, ) ;-----------------------------------------10 分 4 4

而 AB ? (4,0,0) ,所以若设平面 ABP 的法向量 n ? ( x?, y?, z ?) ,则

?4 x? ? 0 ? ,可得 n ? (0,1,?4) ;-------------------------------12 分 ? 1 ? x? ? y ? ? 4 z ? ? 0 ?
16 ,而二面角 B ? AP ? C 为钝角, 17 16 所以其余弦值等于 ? .---------------------------------------------14 分 17
所以 cos ? m, n ? ? (21)解: (Ⅰ)设 M ( x, y ), A( x1 ,

6 6 x1 ), B( x2 ,? x2 ) , 2 2

则 x1 ? x2 ? 2 x 、 x1 ? x 2 ?

4y 6

;--------------------------------2 分

代入 AB ?

6 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 6 得轨迹 C 的方程为 4

16 y 2 y2 x2 ? 6 x 2 ? 24 ,即 ? ? 1 ;-----------------------------5 分 6 9 4
(Ⅱ) (1)若不与 y 轴重合,设直线方程为 y ? kx ? 1 ,代入椭圆 C 的方程得

(4k 2 ? 9) x 2 ? 8kx ? 32 ? 0 ,设 P( x3 , kx3 ? 1),Q( x4 , kx4 ? 1) ,
则 x3 ? x 4 ? ?

8k 32 , x3 ? x 4 ? ? ;---------------------7 分 2 4k ? 9 4k 2 ? 9

设点 T (0, t ) ,则 TP? TQ ? x3 ? x4 ? (kx3 ? 1 ? t ) ? (kx4 ? 1 ? t )

? (1 ? k 2 ) x3 x4 ? k (1 ? t )(x3 ? x4 ) ? (1 ? t ) 2
·12·

?

? 32(1 ? k 2 ) ? 8k 2 (1 ? t ) ? (1 ? t ) 2 (4k 2 ? 9) 4k 2 ? 9 [?40 ? 8t ? 4(1 ? t ) 2 ]k 2 ? [?32 ? 9(1 ? t ) 2 ] ------10 分 4k 2 ? 9
29 ? 32 ? 9(1 ? t ) 2 9 ? ,解得 t ? 2 9 4 ? 40 ? 8t ? 4(1 ? t )

?

使 TP? TQ 为定值,则

29 16 ? 7 ) 总有 TP? TQ ? ;----------------------12 分 9 9?9 29 16 ? 7 ) 也有 TP? TQ ? (2)当与 y 轴重合时, P(0,3), Q(0,?3) ,对于点 T ( 0, , 9 9?9 29 故在 y 轴上存在定点 T (0, ) 使得 TP? TQ 为定值.---------------14 分 9
即对于点 T ( 0, (22)解: (Ⅰ) x ? 0 时 y ? ? 2 x ? 所以 x ?

1 4x 2 ? 1 1 1 ? ,易知 0 ? x ? 时 y ? ? 0 、 x ? 时 y ? ? 0 ; 2 2 2x 2x

1 时求 y ? f ( x) ? g ( x) 取最小值等于 0;-------------4 分 2 1 1 1 1 1 (Ⅱ)由题Ⅰ易知, f ( ) ? g ( ) ? ,所以 h( ) ? ;----------------6 分 2 2 2 2 2 1 k k 1 2 所以可设 h( x ) ? kx ? ? ,代入 f ( x) ? h( x) 得 x ? kx ? ? ? 0 2 2 2 4
2 恒成立,所以 ? ? (k ? 1) ? 0 ,所以 k ? 1 , h( x) ? x ;--------------8 分

此时设 G ( x) ? x ?

1 1 ln( 2ex ) ,则 G ?( x) ? 1 ? , 2 2x

易知 G ( x) ? G ( ) ? 0 ,即 h( x) ? g ( x) 对一切 x ? 0 恒成立; 综上,存在 h( x) ? x 符合题目要求,它恰好是 y ? f ( x),y ? g ( x) 图象的公切线. (如图 8 所示)---------------------------------------------10 分 (Ⅲ)先证 ?an ? 递减且

1 2

1 ? a n ? 1( n ? 2) ; 2

由题(Ⅱ)知 g ( x ) ? x ,所以

an ? g(an?1 ) ? an?1 ,即 ?an ? 为递减数列;
又 a1 ? 1 , a 2 ?

1 1 1 ln 2 ? ? ,所以 2 2 2
·13·

图8

1 1 a 3 ? g ( a 2 ) ? g ( ) ? ,? 2 2 1 1 1 因为当 a k ? 时总有 a k ?1 ? g ( a k ) ? g ( ) ? , 2 2 2 1 所以 ? ? ? a n ? a n ?1 ? ? ? a1 ? 1 ;------------------------------13 分 2
所以

? (ak ? ak ?1 ) ? ak ?1 ? ? (ak ? ak ?1 ) ?
k ?1 k ?1

n

n

n a ? ak ?1 ak ? ak ?1 ?? k 2 2 k ?1 2

2

?

a1 ? an?1 ? 2
2 2

1?

1 4 ? 3 .-------------------------------------16 分 2 8

·14·


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