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新编福建省福州市第三中学高三模拟(最后一次)数学(理)试题及答案

福州三中 20xx 届高考校模拟试卷

数学(理)试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

1.“ a ? b, c ? 0 ”是“ ac ? bc ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

? ? 2.已知集合 M ? ? x, y? y ? 2x , N ? ?? x, y? y ? a? ,若 M N ? ? ,则实数 a 的取值

范围是( )

A. (??,1)

B. (??,1]

C. (??,0)

D. (??,0] [:]

3.执行如图所示的程序框图,若 a ? 1,b ? 2 ,则输出的结果是( )

开始
输入 a,b

A. 9

B.11

C.13

D.15

4.已知角? 的终边经过点 P?4, m? ,且 sin? ? 3 ,则 m 等于( )
5

A. ?3

B. 3

C. 16 3

D. ?3

? ? 5.复数 z ? m ? i
1? i

m ? R,i为虚数单位

在复平面上对应的点不.可.能.位于(


a ?12 ?

a ? 2b ? a 输出 a
结束


A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6.设 F1, F2 为椭圆

x2 4

?

y2

? 1的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在

y 轴上,则

PF2 PF1

的值为 ( )

A. 1

B. 1

C. 1

D. 1

1

2

3

5

7

9

0.5

1

7.在如图 5? 5 的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,

x

每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z 的值为( )

y

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

z
第 7 题图

8.定义在 R 上的函数 f (x) ,对 ?x1, x2 ? R 都有 f (x1 ? x2) ? f (x1) ? f ? x2 ? ?1,则下列命题正确

的是( )

A. f (x) 是偶函数 B. f (x) 是奇函数 C. f (x) ?1是偶函数 D. f (x) ?1是奇函数

9.若等式 (2x ? 1)2014 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 对于一切实数 x 都成立,



a0

?

1 2

a1

?

1 3

a2

???

1 2015

a2014

?

(

)

A. 1 4030

B. 1 2015

C. 2 2015

D.0

10.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若 a 为无理数,则在过点

P(a,? 1 ) 的所有直线中(



2

A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点

B.恰有 n?n ? 2? 条直线,每条直线上至少存在两个有理点

C.有且仅有一条直线至少过两个有理点 D.每条直线至多过一个有理点 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.
11.一个总体分为 A, B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15 的样本,若 B 层中每个

个体被抽到的概率都为 1 ,则总体的个数为___________. 20

12.在 ?ABC 中,若角 A 为锐角,且 AB ? (2,3), AC ? (3, m) ,则实数 m 的取值范围是________.

13.如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3 中 任何一个, 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法
有_______种(用数字作答).

的 AB 共 CD
(13 题图)

D1

14.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 5, BC ? 4, AA1 ? 3,沿该 A1

长方体对角面 ABC1D1 将其截成两部分,并将它们再拼成一个新的四棱柱, 那么这个四棱柱表面积的最大值为___________.

D

C1 B1
C

A (14 题图) B

? ? 15 . 为 了 近 似 估 计 ? 的 值 , 用 计 算 机 分 别 产 生 90 个 在 ?1, 1 的 均 匀 随 机 数 x1, x2 ,
y
? ? y1, y2, , y90 ,在 90 组数对 ?xi , yi ? 1 ? i ? 90,i ? N * 中,经统计有 25 组

, x90 和

数对满足

? ? ?

y

?

tan

? 4

x

,则以此估计的? 值为________.

??? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 4

1

O

?1

1x

?1

(15 题图)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)

甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有

一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲球队第 5,6 场获胜的概率

均为 3 ,但由于体力原因,第 7 场获胜的概率为 2 .

5

5

(Ⅰ)求甲队分别以 4 : 2 , 4 : 3获胜的概率;

(Ⅱ)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望.

17.(本小题满分 13 分)

某同学用“五点法”画函数 f ?x? ? Asin??x ? ?? ? B ( A ? 0,? ? 0, ? ? ? )在某一个周期内的图
2

像时,列表并填入的部分数据如下表:

x

x1

?x ??

0

Asin??x ? ??? B

0

1 3

x2

7 3

x3

?

?

3?

2?

2

2

3

0

?3

0

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 的值,并写出函数 f (x) 的解析式;
(Ⅱ)将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位得到函数 g?x? 的图像,若函数 g?x? 在区间 ?0, m?
3
( 3 ? m ? 4)上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,求向量 NM 与 ON 夹角? 的大小.

18.(本小题满分 13 分)

在平面直角坐标系 xoy 中,点 N 与点 M ??1,1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 MP 与 NP 的斜

率之积等于 ? 1 .

y

3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;

(Ⅱ)设直线 MP 和 NP 与直线 x ? 3 分别交于 A, B 两点,问:是否存在点 P 使得

?PMN与 ?PAB的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明
理由.

O

3x

19.(本小题满分 13 分)
如图,菱形 ABCD的边长为 2 ,现将 ?ACD沿对角线 AC 折起至 ?ACP位置,并使平面 PAC ? 平
面 ABC . (Ⅰ)求证: AC ? PB;

(Ⅱ)在菱形 ABCD中,若 ?ABC ? 600 ,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值;

(Ⅲ)求四面体 PABC体积的最大值.
A

P
D

A

C

B

C

20.(本小题满分 14 分)

B

已知函数 f ?x? ? 1 x2 ? ax ? ?a ?1?ln x ?a ? 1? .
2

(Ⅰ) 讨论函数 f ?x? 的单调性;

(Ⅱ) 若 a ? 2 ,数列?an ?满足 an?1 ? f ?an ? . (1)若首项 a1 ? 10 ,证明数列?an ?为递增数列; (2)若首项为正整数,且数列?an ?为递增数列,求首项 a1 的最小值.

21.本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题计分.
(1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换
在平面直角坐标系中,矩阵 M 对应的变换将平面上的任意一点 P?x, y?变换为点 P??x ? 2y, x ? y?.
(Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (Ⅱ)求圆 x 2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 对应的变换作用后得到的曲线 C 的方程.
(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 过点

P?1,0? ,斜率为 3 ,曲线 C : ? ? ? cos2? ? 8cos? .
(Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.
(3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
已知 m ? 0 ,函数 f ?x? ? 2 x ?1 ? 2x ? m 的最大值为 3 .
(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若实数 a,b, c 满足 a ? 2b ? c ? m ,求 a2 ? b2 ? c2 的最小值.

参考答案

一、选择题: ADCBC CADBC

9、解法一:∵ (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 ,



1 4030

(2x

? 1)2015

?

C

?

a0 x

?

1 2

a1x 2

?

1 3

a2

x

3

???

1 2015

a2014 x 2015 (C

为常数),



x

?1得 a0

?

1 2

a1

?

1 3

a2

???

1 2015

a2014

?

1 4030

?

C



再取 x ? 0 得 1 (?1)2015 ? C ? 0 ,即得 C ? 1 ,

4030

4030

∴ a0

?

1 2

a1

?

1 3

a2

???

1 2015

a2014

?

1 2015

,故选

B.

解法二:∵ (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 ,

? ? ? ? ? ? ∴

1

2014

2x ?1 ?

0

1 0

a0

?

a1 x

?

a2 x2

?? ?

a x 2014 2014

dx



1 2015

?

a0

?

1 2

a1

?

1 3

a2

???

1 2015

a2014

,故选

B.

10、解:设一条直线上存在两个有理点

A( x1 ,

y1 ),

B(x2

,

y2

)

,由于

P(a,?

1) 2

也在此直线上,若

x1

?

x2



则 x1

?

x2

? a 为无理数与有理点予盾,所以 x1

?

x2 ,于是

y2 x2

? ?

y1 x1

?

y2 x2

?1 2
?a

,又由于 x2

? a 为无理

数,而

y2 x2

? ?

y1 x1

为有理数,所以

y2

?

1 2

? 0 ,于是

y2

?

y1

??1 2

,所以直线只有一条,且这条直线方

程只能是 y ? ? 1 ,故正确的选项为 C. 2
二、填空题

11.300

12.由于角 A 为锐角,所以 AB ? AC ? 0 且 AB, AC 不共线,所以 6 ? 3m ? 0 且 2m ? 9 ,于是实数 m 的

取值范围是 (?2, 9) ? (9 ,??) . 22

13.若 A 方格填 3,则排法有 2 ? 32 种,若 A 方格填 2,则排法有1? 32 种,所以不同的填法有 27 种.

14 . 当 5 ? 3 的 两 个 面 叠 合 时 , 所 得 新 的 四 棱 柱 的 表 面 积 最 大 , 其 表 面 积 为

(5 ? 4 ? 5 ? 5 ? 3? 4) ? 2 ?114 .

y

15.设 A(1,1), B(?1,?1) ,则直线 AB 过原点,且阴影面积等于直线 AB 与圆弧所

1

O

?1

1x

?1

围成的弓形面积 S1 ,由图知, S1

?

1 4

? 4?

?2??

? 2 ,又

S1 4

?

25 90

?5 18

,所以 ?

?

28 9

三、解答题:

16、解:(Ⅰ)设甲队以 4 : 2 , 4 : 3获胜的事件分别为 A,B,

∵甲队第 5,6 场获胜的概率均为 3 ,第 7 场获胜的概率为 2 ,

5

5

∴ P(A) ? (1? 3) ? 3 ? 6 , P(B) ? (1? 3)2 ? 2 ? 8 ,

5 5 25

5 5 125

∴甲队以 4 : 2 , 4 : 3获胜的概率分别为 6 和 8 . 25 125
(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 5,6,7,



P( X ? 5) ? 3



5

P(X ? 6) ?

(1 ? 3) ? 3 ? 6



5 5 25

P( X ? 7) ? (1 ? 3)2 ? 2 ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) ? 4 ,

55

5

5 25

∴随机变量 X 的分布列为

X

5

6

7

3

6

4

p

5

25

25

E(X ) ? 5? 3 ? 6 ? 6 ? 7 ? 4 ? 139 . 5 25 25 25

17、解:(Ⅰ)由条件知, 1 ? ? ? ? ? , 7 ? ? ? ? 3? ,∴? ? ? ,? ? ? ,

3

23

2

2

3

∴ x1

?

?

2 3

,

x2

?

4 3 , x3

?

10 3



f

(x) ?

3 sin(? x ? ? ) . 23

(Ⅱ)∵函数 f ?x? 的图像向右平移 2 个单位得到函数 g?x? 的图像,
3

∴ g?x? ? 3 sin[? (x ? 2) ? ? ] ? 3 sin ? x ,

2 33

2

∵函数 g?x? 在区间 ?0, m? ( m??3,4? )上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,

? ? ? ? ? ? ? ? ∴最高点为 M 1, 3 ,最低点为 N 3,? 3 , ∴ ON ? 3,? 3 , NM ? ? 2,2 3 ,

∴ cos ? ? ON ? NM ? ? 3 ,又 0 ?? ? ? ,∴? ? 5? .

ON ? NM

2

6

18、解:(Ⅰ) ∵点 N 与 M ??1,1? 关于原点 O 对称,∴点 N ?1,?1?,

设 P?x, y?,∵直线 MP 与 NP 的斜率之积等于 ? 1 ,
3

∴ y ?1 ? y ?1 ? ? 1 ,化简得 x2 ? 3y 2 ? 4 ?x ? ?1?,

x ?1 x ?1 3

y

B

M

P

A

∴动点 P 的轨迹方程为 x2 ? 3y 2 ? 4 ?x ? ?1?.

(Ⅱ)法一:设存在点 P?x0 , y0 ? ,使得 ?PMN 与 ?PAB的面积相等,

∴ 1 PA ? PB sin ?APB ? 1 PM ? PN sin ?MPN ,

2

2

∵ sin?APB? sin?MPN ? 0 ,

PA PN

∴ PA ? PB ? PM ? PN , 即

?



PM PB



3 ? x0 x0 ? 1

?

x0 ?1 3 ? x0

,解得 x0

?5 3



∵ x02 ? 3 y02 ? 4 ,

∴ y0 ? ?

33 , 9

∴满足条件的点 P 为 (5 ,? 33 ) . 39

法二:设 P? x0, y0 ? , A?3, y1?, B?3, y2 ?



? ?? ? ? ??

y1 ? 1 4
y2 ?1 2

? ?

y0 x0 y0 x0

?1 ?1 ?1 ?1

,解得

? ?? ? ? ??

y1 y2

? ?

x0 ? 4y0 ? 3 x0 ?1
2y0 ? x0 ? 3 x0 ?1





AB

?

y1 ? y2

?

?2x0 ? 6?? x0 ? y0 ?
x02 ?1



∵ S?PAB ? S?PMN , MN ? 2

2 ,又点 P 到直线 MN 的距离 d ? x0 ? y0 , 2



1 2

3?

x0

y1 ? y2

? 1 MN d , 2

∴ 3 ? x0

?2x0 ? 6?? x0 ? y0 ?
x02 ?1

? 2? x0 ? y0 ? ,

∴ ? x0 ? 3?2
x02 ?1

?1

,解得

x0

?

5 3



z P

∵ x02 ? 3 y02 ? 4 ,

∴ y0 ? ?

33 , 9

∴满足条件的点 P 为 (5 ,? 33 ) . 39

19、解:(Ⅰ)证明:取 AC 中点 O ,连接 PO, BO ,由于四边形 ABCD 为 A 菱形,

O

C

y

?PA ? PC, BA ? BC ,?PO ? AC, BO ? AC, 又 PO ? BO ? O ,

B

x

?AC ? 平面 POB ,又 PB ?平面 POB , ?AC ? PB .

(Ⅱ) ?平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC? 平面 ABC ? AC , PO ? 平面PAC, PO ? AC ,

?PO ? 面ABC,?OB,OC,OP 两两垂直,

故以 O 为原点,以 OB, OC, OP 方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系, ? ?ABC ? 600 ,菱形 ABCD的边长为 2 , ∴ A(0, ?1, 0), B( 3, 0, 0), C(0,1, 0), P(0, 0, 3) ,

AB ? ( 3,1, 0), PB ? ( 3, 0, ? 3), PC ? (0,1, ? 3) ,

设平 面PBC 的法向量 n ? (x, y, z) ,直线 AB 与平 面PBC 成角为? ,



?? ?

3x ?

3z ? 0 ,取 x ?1,则 y ?

3, z ? 1 ,于是 n ? (1,

3,1) ,

?? y ? 3z ? 0

∴ sin ? ?| cos ? AB, n ?|?| 3 ? 3 |? 15 , ∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为 15 .

2? 5 5

5

(Ⅲ)法一:

设 ?ABC ? ?APC ? ?,? ?(0,? ) ,

∴ PO ? AP cos ? ? 2cos ? ,

2

2

S ?ABC

?

1 2

?

22

s in ?

?

2 s in?



又 PO ? 平面 ABC,

∴ VPABC

?

1 3

S ?ABC

? PO ?

4

s in?

? cos

3

2

? 8 sin ? cos2 32

? 2

? 8 sin ? ??1 ? sin 2 ? ?? ( 0 ? ? ? ? ),

3 2?

2?

22

∴V 2 ? 32 ? 2 sin 2 ? ??1 ? sin 2 ? ????1 ? sin 2 ? ??

9

2?

2 ??

2?

?

32

?? ?

2

sin

2

? 2

? 1 ? sin 2

? 2

? 1 ? sin 2

? 2

?? 3 ?

?

32 ? 2



9?

3

? 9 ? 27

??

??

∴V ? 16 3 ,当且仅当 2sin2 ? ? 1? sin2 ? ,即 sin ? ? 3 时取等号,

27

2

2

23

∴四面体 PABC 体积的最大值为 16 3 . 27
法二:设 ?ABC ? ?APC ? ?,? ?(0,? ) ,

∴ PO

?

AP cos ? 2

?

2cos ? 2

, S?ABC

?

1 2

? 22

s in ?

?

2 s in?

,又 PO ? 平面

ABC,

∴ VPABC

?

1 3

S ?ABC

?

PO ?

4 3

s in?

cos? 2

?

8 sin ? 32

cos2

? 2

? 8 sin ? ??1 ? sin 2 ? ?? ( 0 ? ? ? ? ),

3 2?

2?

22

设t

?

sin ? 2

,则 VPABC

?

8 (t 3

?t3)

,且 0 ? t

?1,

∴ VP?ABC

?

8 (1 ? 3t 2 ) , 3

∴当 0 ? t ?

3 3

时, VP?ABC

?

0

,当

3 3

?

t

? 1时,VP?ABC

?

0,

∴当 t ?

3 3

时, V PABC

取得最大值

16 3 27

,∴四面体

PABC

体积的最大值为 16 3 27



法三:设 PO ? x ,则 BO ? x , AC ? 2 4 ? x2 , ?0 ? x ? 2?

又 PO ? 平面 ABC,

∴ VP?ABC

?

1 3

PO

?

S

?ABC

?

1?x? 3

1 2

?x?2

4? x2 ? 1 ? x2 3

4 ? x2 ,

? ? ∵ 1 ? x2 3

4 ? x2 ? 1 3

1 x2 ? x2 8 ? 2x2 ? 1

2

3

1 2

????

x2

? x2

? 3

8

?

2x2

?3 ?? ?

? 16 3 27



当且仅当 x2 ? 8 ? 2x2 ,即 x ? 2 6 时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为 16 3 .

3

27

20、解(Ⅰ) ∵ f ?x? ? 1 x2 ? ax ? ?a ?1?ln x ,
2

∴ f ?(x) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ?x ?1??x ? 1 ? a? ( x ? 0 ),

x

x

当 a ? 2 时,则 f ??x? ? ?x ?1?2 ? 0 在 ?0,??? 上恒成立,
x

当1 ? a ? 2 时,若 x ? ?a ?1,1?,则 f ??x? ? 0 ,若 x ? ?0, a ?1? 或 x ? ?1,???,则 f ??x? ? 0 ,

当 a ? 2 时, 若 x ? ?1, a ?1?,则 f ??x? ? 0 ,若 x ? ?0,1? 或 x ? ?a ?1,???,则 f ??x? ? 0 ,

综上所述:
当1 ? a ? 2 时,函数 f ?x? 在区间 ?a ?1,1?上单调递减,在区间 ?0, a ?1?和 ?1,??? 上单调递增;

当 a ? 2 时,函数 f ?x? 在 ?0,??? 上单调递增;

当 a ? 2 时,函数 f ?x? 在区间 ?1, a ?1?上单调递减,在区间 ?0,1?和 ?a ?1,???上单调递增.

(Ⅱ)若 a ? 2 ,则 f ?x? ? 1 x2 ? 2x ? ln x ,由(Ⅰ)知函数 f ?x? 在区间 ?0,??? 上单调递增,
2
(1)因为 a1 ? 10 ,所以 a2 ? f ?a1 ? ? f ?10? ? 30 ? ln10 ,可知 a2 ? a1 ? 0 ,

假设 0 ? ak ? ak?1 ( k ?1),因为函数 f ?x? 在区间 ?0,??? 上单调递增,

∴ f ?ak?1 ? ? f ?ak ? ,即得 ak?2 ? ak?1 ? 0 ,

由数学归纳法原理知, an?1 ? an 对于一切正整数 n 都成立,∴数列?an ?为递增数列.

(2)由(1)知:当且仅当 0 ? a1 ? a2 ,数列?an ?为递增数列,



f

?a1 ?

?

a1 ,即

1 2

a12

?

3a1

?

ln

a1

?

0

?a1为正整数 ?,

设 g?x? ? 1 x2 ? 3x ? ln x ?x ? 1?,则 g??x? ? x2 ? 3x ? 1 ,

2

x

∴函数 g?x? 在区间 (3 ? 5 ,??) 上递增,
2

由于

g?5?

?

ln

5

?

5 2

?

0



g?6?

?

ln

6

?

0

,又

a1

为正整数,∴首项

a1

的最小值为

6



21、(1)解:

(Ⅰ)法一:设

P?(

x?,

y?)

,依题意得:

?x?

? ?

y?

? ?

x x

? ?

2y y



∴ M ? ????11

? 1

2 ????



∴ M ? 3,

?1

?

∴ M ?1 ? ? 3

? ??

?

1 3

2 ?? 3?. 1? 3 ??

法二:设

P?(x?,

y?)

,依题意得:

?x?

? ?

y?

? ?

x x

? ?

2y y





???x ?

? ??

y

? ?

1 3
?

x? ? 1 x? 3

2 3
?

y? 1y 3



?1

?

∴ M ?1 ? ? 3

? ??

?

1 3

2 ?? 3?. 1? 3 ??

(Ⅱ)

∵点 P?x,

y?在圆 x2

?

y2

?

1

上,又

???x ?

? ??

y

? ?

1 x? ? 2 y? 3 3, ? 1 x? ? 1 y
33

∴ ?? 1 x? ? 2 y???2 ? ?? ? 1 x? ? 1 y???2 ? 1 ,即得 2x?2 ? 2x?y? ? 5y?2 ? 9 , ?3 3 ? ? 3 3 ?

∴变换作用后得到的曲线 C 的方程为 2x 2 ? 2xy ? 5 y 2 ? 9 .

(2)解:(Ⅰ) ∵ 直线 l 过点 P?1,0? ,斜率为 3 ,

∴直线

l

的一个参数方程为

???x ?

?

1

?

1 2

t

?t为参数? ;

? ??

y

?

3t 2

∵ ? ? ? cos2? ? 8cos? , ∴ ??1 ? cos 2? ? ? 8cos? , 即得 (? sin? )2 ? 4? cos? ,

∴ y 2 ? 4x , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4x .

(Ⅱ)



? ??

x

?

?1?

1 t
2 代入 y 2

?

4x 整理得: 3t 2

? 8t ?16 ? 0 ,

? ??

y

?

3t 2

设点

A, B

对应的参数分别为 t1, t2

,则 t1t2

?

?16 , 3

∴ PA ?

PB

?

t1t 2

? 16 . 3

(3)解:(Ⅰ) f ?x? ? 2 x ?1 ? 2x ? m ? 2x ? 2 ? 2x ? m ? ?2x ? 2?? ?2x ? m? ? m ? 2

∵ m ? 0 , ∴ f ?x? ? m ? 2 ? m ? 2 , 当 x ?1时取等号,

∴ f ?x?max ? m ? 2 ,又 f ?x? 的最大值为 3 , ∴ m ? 2 ? 3 ,即 m ? 1.

? ?? ? (Ⅱ)根据柯西不等式得: a 2 ? b2 ? c2 12 ? ?? 2?2 ? 12 ? ?a ? 2b ? c?2 ,

∵ a ? 2b ? c ? m ? 1,

∴a2 ? b2 ? c2 ? 1 , 6

当 a ? b ? c ,即 a ? 1 ,b ? ? 1 , c ? 1 时取等号,∴ a2 ? b2 ? c2 的最小值为 1 .

1 ?2 1

6

36

6

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