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2016届高一文理分科考试数学模拟试题(一)


2016 届高一文理分科考试数学模拟试题(一)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A ? {x x ? ?1或x ? 1} , B ? {x log 2 x ? 0} ,则 A ? B ? A. ? x | x ? ?1? B. ? x | x ? 0? 2.已知函数 f ? x ? ? ? C. ? x | x ? 1? ,则 f ? f ? ? ? ? D.

? x | x ? ?1或x ? 1?

?log 3 x, x
x

?2 , x ? 0 1 1 A.4 B. C. ?4 D. ? 4 4 2 3.若函数 f ( x ) ? x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? )? A. f ( 1 B. f ( 1 2 2 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? )? C. f ( 1 D. f ( 1 2 2 2 2
4.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A.1∶ 3 B.1∶3 C.1∶3 3 D.1∶9 5.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是 A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ?

? ? 1 ?? ? ? 9 ??



(

)

B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ?

? ,m ? ? ,则 m ? ?

? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ?
( )

6.已知函数 f ( x) ? lg A. b

1? x .若f (a) ? b.则f (?a) ? 1? x 1 1 B. ?b C. D. ? b b

7.设奇函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 解集是 A.? ?1, 0 ? ? ?1, ?? ?

f ( x) ? f (? x) ?0的 x

B.? ??, ?1? ? ? 0,1? C.? ??, ?1? ? ?1, ?? ? D. ? ?1, 0 ? ? ? 0,1?

x 8.已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则函数 y ? f ( x ) 的图象可能是

9..函数 f ( x) ? e ?
x

1 的零点所在的区间是( x
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A. (0,

1 ) 2

B. ( , 1)

1 2

C. (1,

3 ) 2


D. ( , 2)

3 2

10.已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则(
2 2 2

A. 2b ? ?a ? ?c

B. ?a ? 2b ? ?c

C. ?c ? 2b ? ?a

D. ?c ? ?a ? 2b

11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. ( 2 ? 5)? B. ( 3 ? 5)? C. 6? D. ( 2 ? 6)? ? 12.有四个幂函数: ① f ( x) ? x , ② f ( x) ? x , ③ f ( x) ? x , ④ f ( x) ? x 3 . 学科 某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的两个性质:
3 ?1 ?2

1

(1)定义域是 x x ? R , 且x ? 0 ; (2)值域是 y y ? R , 且y ? 0 .如果他给出的两个 性质中,有一个正确,一个错误,则他研究的函数是( )学科网 A. ① B. ② C. ③ D. ④学 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若函数 f ( x) ? a ? 3 (a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标是
x

?

?

?

?

14.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是
2 2

15. log 3

27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7log7 2 ? (?9.8)0 ?
2 2

16.圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 关于 A(1,2)对称的圆的方程为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)求经过点 A(?2, 2) 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是 1 的直线方程 18. (12 分)已知圆 P 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 外切,并且与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点
2 2

Q(3, ? 3) ,求圆 P 的方程 ax ? b 1 19. (12 分)已知 f ( x) ? 2 为定义在 R 上的奇函数,且 f (1) ? 2 x ?1 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式 (Ⅱ)判断并证明 y ? f ( x) 在 (?1,0) 上的单调性
20. (12 分)如图已知 PA ? 平面ABCD,ABCD 为矩形, M、N为AB、PC 的中点。 P (Ⅰ)求证: MN ? AB ;
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N D C

(Ⅱ)若平面 PDC与平面ABCD 成 45 0 角, 求证:平面 MND ? 平面 PDC 。

? 21. (12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? BC , ?A1 AC ? 60 , A1 B ?

2,

A1 A ? AC ? BC ? 1,
(Ⅰ)求证:平面 A1 BC ? 平面 ACC1 A1 (Ⅱ)若为的中点,求证: BC1?? 平面 A1CD (Ⅲ)求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 C

C1 A1 B1

B D 22. (12 分)已知过点 M ? ?3, ?3? 的直线 l 与圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 相交于 A, B 两点,
2 2

A

(Ⅰ)若弦 AB 的长为 2 15 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设弦 AB 的中点为 P ,求动点 P 的轨迹方程

参考答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B

13. 【答案】 (0, 4) 14. 【答案】 x ? y ? 3 ? 0

13 2 2 2 16. 【答案】 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1
15. 【答案】 17. 【解析】设直线为 y ? 2 ? k ( x ? 2), 交 x 轴于点 (

?2 ? 2, 0) ,交 y 轴于点 (0, 2k ? 2) , k

1 2 2 S ? ? ? 2 ? 2k ? 2 ? 1, 4 ? ? 2k ? 1 2 k k 2 2 得 2k ? 3k ? 2 ? 0 ,或 2k ? 5k ? 2 ? 0 1 解得 k ? ? , 或 k ? ?2 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,或 2 x ? y ? 2 ? 0 为所求 2
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kl ? ?1 ,即 18. 【解析】设圆心 P(a, b) ,∵ PQ ? l ,∴ kPQ ?

b? 3 3 (? ) ? ?1 ,即 3a ? 3b ? 12 ? 0 ①, a ?3 3 2 2 又∵圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心为 (1, 0) ,半径为1,又由外切
有 ( a ? 1) ? b ? 1 ?
2 2

a ? 3b 2

②,

由①、②得 a ? 4 , b ? 0 或 a ? 0 , b ? ?4 3 . 这时半径分别为2,6.

∴圆的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 或 x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36 ? f (0) ? 0 x ? 19. 【解析】 ? 得到: f ( x) ? 2 1 ? a ? 1, b ? 0 x ?1 f (1) ? ? ? 2
(2)证明: 任取 x1 , x2 ? (?1, 0) 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
=

x1 x2 x1 x2 2 ? x1 ? x2 x12 ? x2 ? ? x12 ? 1 x2 2 ? 1 ? x12 ? 1?? x22 ? 1?

?1 ? x1 x2 ?? x1 ? x2 ? ? 0

?x

2 1

? 1?? x2 2 ? 1?

所以 y ? f ( x) 在 (?1,0) 上的单调递增.

20. 【解析】证明:(1)设 E为PD的中点,连结EN、AE 。 因为 M、N 分别是AB、PC 的中点,

? EN // DC,AM // DC,且EN ?

1 1 DC,AM ? DC 2 2 ,

? EN // AM,且EN ? AM , 所以,四边形 AMNE 是平行四边形,因此 MN / / AE 。
? AB ? PA 。 又因为 PA ? 平面ABCD,
? AB ? 平面PAD 。 又因为 AB ? AD,
因为 AE ? 平面PAD,? AB ? AE 。 由于 MN / / AE ,故 MN ? AB 。 (2)因为 AB ? 平面ADP, ?CD ? 平面PAD

??PDA为二面角P ? DC ? A 的平面角,即 ?PDA ? 450 , ? PA ? AD,则AE ? PD 。 ? MN ? 平面PDC 。 因为 MN / / AE, ? MN ? PD 。又因为 MB ? CD,
由于 MN ? 平面MND ,所以平面 MND ? 平面PDC 。
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21. 【解析】 (Ⅰ)应证明 BC ? 平面 ACC1 A1 即可 在 ?A1 AC 中, ?A1 AC ? 60 , A1C ? 1 A1 A ? AC ? 1,
?

则 ?A1 AC 是正三角形,得 A1C ? 1 在 ?A1BC 中, A1C ? BC ? 1, A1 B ?

2 ,则 A1C 2 ? BC 2 ? A1B 2 ? 2 ? BC ? A1C C1 又 A1 A ? BC ,则 BC ? 平面 ACC1 A1 ,所以平面 A1 BC ? 平面 ACC1 A1
(Ⅱ)令 A1C ? AC1 ? E ,连接 DE ,

1 在 ?ABC1 中, E , D 分别是 AC1 , AB 的中点,则 DE?? BC1 ,且 2 DE ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD
所以 BC1?? 平面 A1CD A (Ⅲ)由(Ⅰ)知 BC ? 平面 ACC1 A1 ,则平面 ABC ? 平面 ACC1 A1 设 AC 的中点为 F ,连接 A1 F ,由 A1 A ? A1C ? 1得 A1 F ? AC 因为 A1 F ? 平面 A1 AC ,且平面 ABC ? 平面 ACC1 A1 ? AC 所以 A1 F ? 平面 ABC ,则 A1 F ? 又 S?ABC ?

A1
E C F D B

B1

3 即为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高 2

1 1 BC ? AC ? , 2 2

3 1 3 ? ? 2 2 4 2 22.【解析】 (Ⅰ)若直线 l 的斜率不存在, 则 l 的方程为 x ? ?3 , 此时有 y ? 4 y ? 12 ? 0 , 弦 | AB |?| y A ? yB |? 2 ? ? ?6 ? ? 8 ,所以不合题意.
所以三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 V ? A1 F ? S ?ABC ? 故设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 3? ,即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 . 将圆的方程写成标准式得 x ? ? y ? 2 ? ? 25 ,所以圆心 ? 0, ?2 ? ,半径 r ? 5 .
2 2

圆心 ? 0, ?2 ? 到直线 l 的距离 d ? 三角形,所以

| 3k ? 1| k 2 ?1

,因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角
2

k ?1 所求直线 l 的方程为 3x ? y ? 12 ? 0 .
2

?

15

?

2

? 3k ? 1? ?

2

? 25 ,即 ? k ? 3? ? 0 ,所以 k ? ?3 .

(Ⅱ)设 P ? x , y ? ,圆心 O1 ? 0, ?2 ? ,连接 O1P ,则 O1 P ? AB .当 x ? 0 且 x ? ?3 时,

kO1P ? k AB ? ?1 ,又 k AB ? kMP ?
则有

y ? (?3) , x ? (?3)
2 2

y ? ? ?2 ? y ? ? ? 3 ? 3? ? 5? 5 ? ? ? ?1 ,化简得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . . . . . . (1) x ? 0 x ? ? ?3 ? 2? ? 2? 2 ?
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当 x ? 0 或 x ? ?3 时, P 点的坐标为 ? 0, ?2 ? , ? 0, ?3? , ? ?3, ?2 ? , ? ?3, ?3? 都是方程(1)的 解,所以弦 AB 中点 P 的轨迹方程为 ? x ?

? ?

3? ? 5? 5 ? ?? y? ? ? 2? ? 2? 2

2

2

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