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2015届海淀高三期中练习数学(理)科讲评


2014年海淀期中数学 ——理科试卷讲评
李劲松

一、命题意图
? 基于一轮复习的阶段特点进行数学学科能力考 查,注重试题的基础性、层次性和适度综合性。

? 兼顾考纲要求,重点知识重点考查,对已复习 内容进行全面考查,注重通性通法,淡化特殊 技巧。 ? 立足于一轮复习目标定位和达成效果反馈和科 学复习教学导向,规避不必要的模式化机械演 练。

二、功能定位
(1)检测功能 检查教学和学生学习时基础知识、基本技 能的掌握和落实情况,帮助学生发现知识漏洞, 反思和总结有效的复习方法,以提高下阶段复 习的质量;帮助教师发现教学中的得失,摸清 学生的现状,即优势与不足,寻求更有效的教 学方法,充分挖掘学生的潜力。确保测试对教 学和学习产生积极的、正面的引导作用。

二、功能定位
(2)激励功能 把握好难度和区分度,让不同学校、不 同层次的学生均有所收获,同时真实反映出 学生的学习成果和学校的教学情况。帮助学 校和教师发现和解决分化问题,使学生理性 的认识自己,找到发展点,看到希望。 (3)评估功能 通过本次检测,力争对本学科的教学现 状、学生的学习现状给出较为定量的分析、 评价;为进一步指导教学提供依据。

三、考试内容
注重考查本阶段数学的基础知识、基本技能、基本思想 方法,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能 力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 基本知识:集合、简易逻辑、函数(微积分)、数列、 三角函数、不等式(除线性规划)、平面向量、复数

基本思想、方法:函数与方程、数形结合、分类讨论、 化归与转化的思想、特殊与一般的思想、反证法、导数 方法等

数学教育家傅种孙先生言: “几何之务不在知其 然,而在知其所以然;不在知其然,而在知何 由以知其所以然。 ”实际上也为数学的学习标明 了三个递进的境界:一是知其然,二是知其所 以然;三是知何由以知其所以然。数学首轮复 习,不能满足于一,应该立足于二而求三。

运算能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形; 能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算 途径. 运算能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括 对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变 形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解 等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、 选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思 维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整 运算的能力以及实施运算和计算的技能.

四、试题分析

平面向量
1.类比实数系理解向量系 2.向量集“代数”与“几何”于一身的特性 3.平面向量基本定理的基础性地位

重视基础知识和基本技能的落实

方法1:

BD ? 2DC

AD ? AB ? 2( AC ? AD)
方法2:
方法3:

1 3 1 2 AD ? AB ? AC AC ? ? AB ? AD 2 2 3 3

3 3 AC ? AB ? BC ? AB ? BD ? AB ? ( AD ? AB ) 2 2

3) 如 图 所 示 , 在 △ ABC 中 , D 为 BC 边 上 的 方法 4:

AC ? mAB ? nAD(m, n ? R) ,则 m ? n ? ____ .

2 a ? ( t b ? a ) ? t a ? b ? a ? t cos60? ?1 ? 0 方法1:

t?2
方法2:

1 3 a ? (1, 0), b ? ( , ) 2 2

t 3 t a ? (tb ? a ) ? (1, 0) ? ( ? 1, t) ? ?1 ? 0 2 2 2
方法3:





1.特殊的函数——有序性、可列性(关注相邻项 关系)

2.常规——识别、化归为基本数列(关注基本量)
3.非常规——归纳推理(关注个例中所蕴含的规 律和方法)

an(Sn)

0.7 7 -0.4 O -0.8 8 n

g(x)

Sn ? An ? Bn
2 2

?0.7 ? 49 A ? 7 B, ? ??0.4 ? 64 A ? 8B.

Sn ? ?0.15n ? 1.15n

n ? 3.8

例:已知等差数列 {an } 单调递增且满足 a1 ? a10 ? 4 ,则 a8 的取 值范围是_______.

[2010.安徽理(20)]设数列 a1 , a2 ,?, an ,? 中的每一项都不为零,证 明 : ?an ? 为 等差 数列 的充 分必 要条 件是 :对 任何 n ? N * , 都 有

1 1 1 n . ? ??? ? a1a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a1 a n?1
[2006.江苏理(21)]设数列 ?an ? ,? bn ? ,?cn ? 满足:bn ? an ? an?2 ,

cn ? an ? 2an?1 ? 3an?2 ?n ? 1,2,?? .证明:?an ? 为等差数列的充分必
要条件是 ?cn ? 为等差数列且 bn ? bn?1 ?n ? 1,2,?? .

三角函数及解三角形
1.用内在逻辑的线索构建三角函数知识体系,促进 学生形成良好的知识结构,避免遗忘。 2.理解三角变形的作用与意义 3.解三角形着眼于三角形的六要素,分析其边角数 量关系

设切点横坐标为 x1 , x2 ,

f '( x) ? 2 A sin(2 x ? ? )

? f '( x1 ) f '( x2 ) ? 4 A2 cos(?x1 ? ? )cos(?x2 ? ? ) ? ?1
cos(? x1 ? ? ),cos(? x2 ? ? ) ?[?1,1]
1 2 1 若 A ? , cos(? x1 ? ? )cos(? x2 ? ? ) ≥ ?1 .

? 4 A ? 1 ,故 A ?
2

2

若A?

1 ,?cos(? x1 ? ? )cos(? x2 ? ? ) ? ?1 2

即 cos(? x1 ? ? ),cos(? x2 ? ? ) 中一个为 1,一个为-1,即切点为 f ( x ) 的对称中心,一

A? 个周期内只有两个对称中心,故

1 满足题意. 2

(Ⅱ)在△ ACD 中, AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 . 所以 AC ? 2 3 .

?

AC AB ? 因为 BC ? 2 3 , , sin B sin ?ACB

??

2 3 AB AB AB AB 所以 . ? ? ? ? sin B sin(? ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
所以 AB ? 4 .

E

3 AB ? 2 BE ? 2 BC ? cos B ? 2 ? 2 3 ? ?4 3

函数
深刻理解

1.核心是y随x的变化规律
烂熟于心

2.基本初等函数的图象与函数性质是基础
树立意识

3.向基本初等函数转化是行动方向
落实技能

4.分拆、换元、求导是实现转化的基本途径

数形结合

方法1:

方法2:

f ( x) ? a( x ? 1)

x ? a( x ?1) ? x ? a( x ? 1)
必有两个根
a( x ? 1) ? 0( x ? 0)
2 2 2 2

至多一个根
a?0

a x ? (2a ?1) x ? a ? 0

a ? 0, ? ? ?4a ? 1 ? 0 1 1 2a 2 ? 1 ? ?0 ? ? a ? 2 a 2 2
2

1 0?a? 2

D

检验

x1 x2 x3

(13) 为净化水质, 向一个游泳池加入某种化学药品, 加药后池水中该药品的浓度 C (单位:

mg / L )随时间 t (单位: h )的变化关系为 C ?
药品浓度达到最大.

20t ,则经过_______ h 后池水中 2 t ?4

方法1:

方法3:

20t 20 20 C? 2 ? ? ?5 t ?4 t? 4 4 t
方法2:

?20t ? 80 C'? 2 ?0 2 (t ? 4)
2

t?2
方法4:

1 t ?4 t 1 1 ? ? ? ? C 20t 20 5t 5
2

Ct ? 20t ? 4C ? 0
2

综上所述:当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区 间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; 当 a ? 1 时, 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最 大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 .

画图意识

规避不必要的模式化机械演练

a<0????

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x) , x ? D ,设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? kx ? m . 如果对任意的 x ? D ,均有: ①当 x ? x0 时, f ( x) ? kx ? m ; ②当 x ? x0 时, f ( x) ? kx ? m ; ③当 x ? x0 时, f ( x) ? kx ? m , 则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的一个“?-点”. (Ⅰ)判断 0 是否是下列函数的“?-点” : ① f ( x) ? x3 ; ② f ( x) ? sin x .(只需写出结论) (Ⅱ)设函数 f ( x) ? ax2 ? ln x . (ⅰ) 若 a ?

1 ,证明: 1 是函数 y ? f ( x) 的一个“?-点” ; 2

(ⅱ) 若函数 y ? f ( x) 存在“?-点” ,直接写出 a 的取值范围.

五、试卷分析
试 卷 分 析 引 起 反 思 学 生

引 起 反 思 引 导 反 馈 、 调 整

教 师

基 础 知 识 、 基 本 技 能 ( 通 性 通 法 ) 思 维 能 力

学 习 方 法

知 识 、 方 法 梳 理

教 学 方 法 、 策 略

能 力 培 养

六、教学建议
? 在复习课的教学中,要重视概念的深入理解,知识、
方法的系统化,要有整体感,重知识间的联系; ? 例题要精选,更要精用。注意量与质的关系,把握 好度和重、难点 。其教学要重视展现知识、方法的 提取过程,尤其是思维的条理性; ? 揭示思想方法,理解其价值; ? 引发学生对问题的兴趣和研究,发展学生

思维的灵活性。重视思维交流、碰撞,使
学生在感悟和相互启发中形成分析、解决 问题的能力;

? 立体几何表述训练,解析几何抓住思想,运算过

关,概率审题清楚,表述规范等;
? 进一步指导学法,使学生养成好的审题、运算、 思维、自检等习惯。保护学生学习数学的自信心。 ? 分层指导,注重细节,很抓落实。知道、理解、 能应用、算正确 。重视改错。

谢谢大家


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