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2020高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题强化训练 新人教A版选修2-1

2020
第三章 空间向量与立体几何
专题强化训练(三) (建议用时:45 分钟)
[基础达标练] 一、选择题 1.如图 3?8,在空间四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 边上的中点,则下 列各式中成立的是( )

图 3?8

→→→→ A.EB+BF+EH+GH=0

→→→→ B.EB+FC+EH+GE=0

C.→EF+→FG+→EH+→GH=0

D.→EF-→FB+→CG+→GH=0

B [→EB+→FC=→EB+→BF=→EF,→EH+→GE=→GH,易证四边形 EFGH 为平行四边形,故→EF+→GH=0,故选 B.]

2.已知 a=(1,2,3),b=(2,1,2),c=(1,1,2),且向量 p∥c,则当(p-a)·(p-b)取得最小值时,向量 p

的坐标为( )

A.???12,34,13???

B.???12,23,34???

C.???43,43,83???

D.???43,43,73???

C [设 p=λ c,则 p-a=λ c-a=(λ -1,λ -2,2λ -3),p-b=λ c-b=(λ -2,λ -1,2λ -2),所

以(p-a)·(p-b)=2(3λ 2-8λ +5)=2???3???λ -43???2-13???,所以当 λ =43时,(p-a)·(p-b)取得最小值,此时 p

=λ c=???43,43,83???,故选 C.]

3.已知平面 α ,β 是两个不重合的平面,其法向量分别为 n1,n2,给出下列结论:

①若 n1∥n2,则 α ∥β ;

②若 n1∥n2,则 α ⊥β ;

③若 n1·n2=0,则 α ⊥β ;

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④若 n1·n2=0,则 α ∥β .

其中正确的是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

A [由平面的法向量的定义知,①③正确.]

4.已知平面 α 的一个法向量为 n=(1,-1,0),则 y 轴与平面 α 所成的角的大小为( )

A.π6

B.π4 C.π3

D.π2

B [y 轴的一个方向向量 s=(0,1,0),cos〈n,s〉=|nn|··s|s|=- 22,即 y 轴与平面 α 所成角的正弦值是

22,故其所成的角的大小是π4 .] 5.如图 3?9,已知 E 是正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱 BC 的中点,设 α 为二面角 D1?AE?D 的平面角,则 cos α =
() 【导学号:46342186】

图 3?9

A.23

B.

5 3

C.

2 3

D.2 3 2

→→ → A [以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1的方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),令正方体





ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 2,则 A(0,0,0),E(2,1,0),D1(0,2,2),A1(0,0,2),所以AE=(2,1,0),AD1=(0,2,2),

??m·A→E=0 设平面 AED1 的法向量为 m=(x,y,z),则由???m·A→D1=0

,得?????22xy+ +y2=z=00 ,令 x=1,则 y=-2,z=2,故



→ m=(1,-2,2).又AA1=(0,0,2)为平面 AED 的一个法向量,α

为二面角 D1?AE?D 的平面角,所以 cos α =

AA1·m →

|AA1||m|

2 =3,故选 A.]

二、填空题 6.已知向量 a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且 a⊥b,则 x+y=________.

1 或-3

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[由 a=(2,4,x)且|a|=6,得 6= 22+42+x2,x=±4,由 a⊥b,得 4+4y+2x=0,得?????xy==4-3

或?????xy==-1 4 ,则 x+y=1 或-3.]

7.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(1,-2,0),B(2,1, 6),则向量→AB与平面 xOz 的法向量的夹角的正

弦值为________.

7 4

→ [设平面 xOz 的法向量为 n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,

→ 6),所以 cos〈n,AB〉=

n·→AB

3t

→ =4|t|,

|n|·|AB|

因为〈n,→AB〉∈[0,π ],所以 sin〈n,A→B〉= 1-???43|tt|???2= 47.] 8.已知空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线 OA 上的一点 H 满足 BH⊥OA,则点 H 的坐标为
________.

【导学号:46342187】

???-12,12,0??? [设 H(x,y,z),则O→H=(x,y,z),B→H=(x,y-1,z-1),O→A=(-1,1,0).因为 BH⊥OA,

→→ 所以BH·OA=0,即-x+y-1=0

①,又点

H

在直线

OA

→ 上,所以OA=λ

→OH,即???- 1=1= λ λy,x,

??0=λ z

②,联立①②

?? x=-21, ? 解得 y=12,
??z=0.
所以点 H 的坐标为???-12,12,0???.]
三、解答题 9.如图 3?10,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点.在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE? 证明你的结论.

图 3?10 [解] 在棱 C1D1 上存在点 F,当 F 为 C1D1 的中点时,B1F∥平面 A1BE.证明如下:

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以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.





设正方体的棱长为 2,则 B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),B1(2,0,2),∴BE=(-2,2,1),BA1=(-2,0,2).

设平面 A1BE 的法向量为 m=(x,y,z),



m·B→E=-2x+2y+z=0,且

→ m·BA1=-2x+2z=0,取

x=1,则

z=1,y=12,

∴m=???1,12,1???是平面 A1BE 的一个法向量. 假设在棱 C1D1 上存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE,
→ 设 F(x0,2,2)(0≤x0≤2),则B1F=(x0-2,2,0), 则 m·B→1F=x0-2+12×2+1×0=0,解得 x0=1,

∴当 F 为 C1D1 的中点时,B1F∥平面 A1BE. 10.如图 3?11,正三棱柱 ABC?A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点.

图 3?11 (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 A?A1D?B 的余弦值的大小.
【导学号:46342188】 [解] (1)取 BC 的中点 O,连接 AO. ∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC. ∵在正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1, ∴AO⊥平面 BCC1B1.
→→→ 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为坐标原点,OB,OO1,OA的方向分别为 x,y,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直 角坐标系.

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则 B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3),A(0,0, 3),B1(1,2,0).







∴AB1=(1,2,- 3),BD=(-2,1,0),BA1=(-1,2, 3).

→→

→→

∵AB1·BD=-2+2+0=0,AB1·BA1=-1+4-3=0,

→→→ → ∴AB1⊥BD,AB1⊥BA1,∴AB1⊥平面 A1BD.

(2)设平面 A1AD 的法向量为 n=(x,y,z),





∵AD=(-1,1,- 3),AA1=(0,2,0),

??n·→AD=0 ∴???n·A→A1=0

,即???2-y=x+0y- 3z=0 ,

令 z=1,得 n=(- 3,0,1)为平面 A1AD 的一个法向量.

→ 由(1)知 AB1⊥平面 A1BD,∴AB1为平面 A1BD 的一个法向量.



cos〈n,A→B1〉=|nn·||AA→BB11|=-2×32-

2

3 =-

6 4,

∴二面角

A?A1D?B

的余弦值为

6 4.

[能力提升练]





1.在空间四边形 ABCD 中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点 E,F 分别为线段 BC,AD 的中

→ 点,则EF的坐标为( )

A.(2,3,3)

B.(-2,-3,-3)

C.(5,-2,1)

D.(-5,2,-1)

B [取 AC 中点 M,连接 ME,MF(图略),则M→E=12A→B=???-32,52,1???,M→F=12→CD=???-72,-12,-2???, 所以→EF=→MF

-M→E=(-2,-3,-3),故选 B.]

2.如图 3?12,正四棱锥 S?ABCD 中,O 为顶点在底面内的投影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC

与平面 PAC 的夹角是( )

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图 3?12

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

A [如图,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 Oxyz.设 OD=SO

则 A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P???0,-a2,2a???,则→CA=(2a,0,0),

???-a,-a2,a2???,C→B=(a,a,0),设平面 PAC 的一个法向量为 n,可取



〈C→B,n〉=|C→CBB|· ·n|n|=

a 2a2·

2=12,所以〈→CB,n〉=60°,所以

=OA=OB=OC=a,

→AP



n=(0,1,1),则 cos

直线 BC 与平面 PAC

的夹角为 90°-60°=30°.] 3.已知向量 e1,e2,e3 是三个不共面的非零向量,且 a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λ e3,
若向量 a,b,c 共面,则 λ =________. 【导学号:46342189】
1 [因为 a,b,c 共面,所以存在实数 m,n,使得 c=ma+nb,则 11e1+5e2+λ e3=(2m-n)e1+(-m+4n)e2

?? 2m-n=11

?? m=7

+(m-2n)e3,则?-m+4n=5 ,解得?n=3

.]

??m-2n=λ

??λ =1

4.已知平面 α 经过点 A(0,0,2),且平面 α 的一个法向量为 n=(1,-1,-1),则 x 轴与平面 α 的交点 坐标是________.





(-2,0,0) [设交点为 M(x,0,0), 则AM=(x,0,-2),平面 α 的一个法向量 n=(1,-1,-1),则 n·AM=

0,解得 x=-2,故 x 轴与平面 α 的交点坐标是(-2,0,0).]

5.如图 3?13,在三棱锥 A?BCD 中,侧面 ABD,ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD= 3,BD =CD=1,另一个侧面 ABC 是等边三角形.

(1)求证:AD⊥BC.

图 3?13

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(2)在线段 AC 上是否存在一点 E,使直线 ED 与平面 BCD 的夹角为 30°?若存在,确定点 E 的位置;若不存
在,请说明理由. [解] (1)作 AH⊥平面 BCD 于点 H,连接 BH,CH,DH,则四边形 BHCD 是正方形,且 AH=1. 以 D 为坐标原点,DB 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系,如图.

则 D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1),





∴BC=(-1,1,0),DA=(1,1,1),

∴B→C·D→A=0,则 AD⊥BC.

(2)存在满足条件的点 E,点 E 到点 C 的距离为 1.

设 E(x,y,z),则 x=z>0,y=1.

又平面 BCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),→DE=(x,1,x),若 ED 与平面 BCD 的夹角为 30°,则D→E与 n 的夹角

为 60°,



→ ∴cos〈DE,n〉=

DE·n →



|DE||n|

x

1

=cos 1+2x2

60°=2,

则 2x=

1+2x2,解得

x=

22或

x=-

22(舍去),即

E???

2 2 ,1,

22???.

→ 又|CE|=1,故线段 AC 上存在满足条件的点 E,点 E 到点 C 的距离为 1.