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2012北京东城高三一模数学文(word版+答案+免费免点数)


王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com

1/9

文科) 2012 年北京市东城区高三数学一模试题 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ _____________班级_______________姓名______________考号 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

小题, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 题目要求的一项 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若 a , b ∈ R , i 是虚数单位,且 b + ( a ? 2)i = 1 + i ,则 a + b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(2)若集合 A = {0 , m 2 } , B = {1 , 2} ,则“ m = 1 ”是“ A U B = {0 , 1 , 2} ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? y ≤ x, ? (3)若点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ≥ ? x, 表示的平面区域内,则 z = 2 x + y 的最大值为 ?x ≤ 2 ?
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

(4)已知 x , y , z ∈ R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等差数列,则 x + y + z 的值为 (A) ?2 (B) ?4 (C) ?6 (D) ?8

(5)右图给出的是计算

1 1 1 1 1 的值的一个程序框图, + + + + ... + 2 4 6 8 100

其中判断框内应填入的条件是 (A) i > 50
o

(B) i > 25

(C) i < 50

(D) i < 25

(6)已知 sin(α ? 45 ) = ?

(A)

5 13

2 o o ,且 0 < α < 90 ,则 cos α 的值为 10 12 3 (B) (C) 13 5

(D)

4 5

(7)已知函数 f ( x ) = ( x ? a )( x ? b) ( 其中 a > b) 的图象如右图所示,则函数 g ( x ) = a x + b 的 图象大致为

(A)

(B)

(C)

(D)

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1 ? 1 1 ? x + , x ∈ A, (8) 设集合 A = [0, ) ,B = [ ,1] , 函数 f ( x) = ? 若 x0 ∈ A , f [ f ( x0 )] ∈ A , 则 且 2 2 2 ?2(1 ? x), x ∈ B. ?

x0 的取值范围是
(A)( 0,

1 ] 4

(B) (

1 1 , ] 4 2

(C)(

1 1 , ) 4 2

(D) [0,

3 ] 8

第Ⅱ卷(共 110 分)
小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题:

1
(9)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 .

1 2
主俯俯

2
左俯俯

(10) 命题“ ?x0 ∈ (0, ), tan x0 > sin x0 ”的否定是

π 2

.

2

俯俯俯

(11) 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是


甲 乙 0 1 1 7 8 9 9 4 3

若从甲、 乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.
5 4 5 5 4 6 4 7

(12)双曲线 x 2 ? y 2 = 2 的离心率为 为 .

;若抛物线 y 2 = ax 的焦点恰好为该双曲线的右焦点,则 a 的值

(13)已知△ ABC 中, AD ⊥ BC 于 D , AD = BD = 2 , CD = 1 ,则 AB ? AC = ___.

uuu uuur r

? an an 为偶数, ? 2, ? ? (14) 已知数列 {an } , a1 = m , m ∈ N , an +1 = ? 若 {an } 中有且只有 5 个不同的数字, an + 1 ? , an为奇数. ? 2 ?
则 m 的不同取值共有 个.

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 解答题: (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = (sin2x + cos2x) 2 ? 2sin 2 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y = g ( x ) 的图象是由 y = f ( x) 的图象向右平移

3/9

π π 个单位长度得到的,当 x ∈ [ 0 , ]时,求 8 4

y = g ( x) 的最大值和最小值.

(16) (本小题共 13 分) 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查, 以计算每户 的碳月排放量. 若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”. 若小区内有至少 75% 的 住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中 有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 ,数据如图 1 所示,经过 2 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低
碳小区”的标准?

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户

O

O

1

2

3

4

5 月排放量 (百千克/户

图1

图2

(17) (本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足

AE = FC = CP = 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1 EF 的位置, 使平面 A1 EF ⊥ 平面 EFB , 连结 A1 B ,A1 P .
(如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A1 B 中点,求证: PQ ∥平面 A1 EF ;

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (Ⅱ)求证: A1 E ⊥ EP .
A

4/9

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

(18) (本小题共 13 分) 已知 x = 1 是函数 f ( x ) = ( ax ? 2)e x 的一个极值点. ( a ∈ R ) (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ∈ [ 0, 2] 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ e .

(19) (本小题共 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 ( 0,1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A1 , A2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x = 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上异于 A1 , A2 的 动点,直线 A1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明: DE ? DF 恒为定值.

(20)(本小题共 14 分) 对于函数 f ( x ) ,若 f ( x0 ) = x0 ,则称 x0 为 f ( x ) 的“不动点” ;若 f [ f ( x0 ) ] = x0 ,则称 x0 为 f ( x ) 的“稳定点”.函数 f ( x ) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ,即 A = x f ( x ) = x ,

{

}

B = x f [ f ( x)] = x .
(Ⅰ)设函数 f ( x ) = 3 x + 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ,且 A = ? ,求证: B = ? .

{

}

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北京市东城区 2011 2012 学年第二学期综合练习( 11北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 文科) 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
小题, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( (1)D (5)B (2)A (6)D (3)D (7)A (4)C (8)C

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( (9)

4 3
8

(10) ?x ∈ (0, ), tan x ≤ sin x

π 2

(11)84



(12) 2

(13) 2

(14) 8

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 解答题( (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) = (sin 2 x + cos 2 x) 2 ? 2sin 2 2 x

= sin 4 x + cos 4 x π = 2 sin(4 x + ) , 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y = g ( x ) = …………6 分

π π 2 sin [ 4( x ? ) + ] 8 4
…………10 分

π . 2

…………8 分

π = 2 sin(4 x ? ) . 4
因为 0 ≤ x ≤

π π π 3π ,所以 ? ≤ 4 x ? ≤ . 4 4 4 4

…………11 分

当 4x ? 当 4x ?
(16) (共 13 分)

π π 3π = ,即 x = 时, g ( x) 取最大值 2 ; 4 2 16 π π = ? ,即 x = 0 时, g ( x) 取最小值 ?1 . 4 4
…………13 分

解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m, n, 用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ∈ { A, B, C , m, n} ,

…………2 分

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则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B ) , ( A, C ) , ( A, m) ,

( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n)

, (C , m) , (C , n) , (m, n) .

…………5 分

用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们 是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C , m) , (C , n) . …………7 分

6 3 = . 10 5 (II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”.
故所求概率为 P ( D ) = 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准.

…………8 分 …………10 分

由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 + 0.23 + 0.46 = 0.76 > 0.75 ,…………12 分 …………13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A1 E 中点 M ,连结 QM , MF . 在△ A1 BE 中, Q, M 分别为 A1 B, A1 E 的中点, 所以 QM ∥ BE ,且 QM = 因为
A1 M Q E F B P C

1 BE . 2

CF CP 1 = = , FA PB 2

1 所以 PF ∥ BE ,且 PF = BE , 2
所以 QM ∥ PF ,且 QM = PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形. 所以 PQ ∥ FM .

…………5 分

又因为 FM ? 平面 A1 EF ,且 PQ ? 平面 A1 EF , 所以 PQ ∥平面 A1 EF . (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE = CF = 1 , DE = 1 , 所以 AF = AD = 2 ,而 ∠A = 60 ,即△ ADF 是正三角形.
o
E

…………7 分
A

又因为 AE = ED = 1 , 所以 EF ⊥ AD . 所以在图 2 中有 A1 E ⊥ EF . …………9 分
B

D

F

因为平面 A1 EF ⊥ 平面 EFB ,平面 A1 EF I 平面 EFB = EF , 所以 A1 E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF , 所以 A1 E ⊥ EP .

P

C

…………12 分

…………14 分

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (18) (共 13 分) (Ⅰ)解: f '( x) = ( ax + a ? 2)e ,
x

7/9

…………2 分

由已知得 f ' (1) = 0 ,解得 a = 1 . 当 a = 1 时, f ( x ) = ( x ? 2)e ,在 x = 1 处取得极小值.
x

…………4 分

所以 a = 1 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, f ( x ) = ( x ? 2)e x , f '( x ) = ( x ? 1)e x .

…………5 分

当 x ∈ [0,1] 时, f ' ( x ) = ( x ? 1)e ≤ 0 , f (x ) 在区间 [ 0,1] 单调递减;
x

当 x ∈ (1, 2 ] 时, f '( x ) = ( x ? 1)e > 0 , f (x ) 在区间 (1, 2] 单调递增. …………8 分
x

所以在区间 [ 0, 2] 上, f ( x ) 的最小值为 f (1) = ?e , 又 f (0) = ?2 , f (2) = 0 , 所以在区间 [ 0, 2] 上, f ( x ) 的最大值为 f (2) = 0 . 对于 x1 , x2 ∈ [ 0, 2] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f max ( x ) ? f min ( x) . …………12 分

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 0 ? (?e) = e .
(19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意可知, b = 1 , 解得 a = 2 . 所以椭圆的方程为

…………13 分

c 3 , = a 2
…………4 分

x2 + y2 = 1 . 4

…………5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 ( ?2, 0) , A2 (2, 0) .设 P ( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 < x0 < 2 , 于是直线 A1 P 的方程为 y = 即 DE = (2 2 + 2)

y0 (2 2 + 2) y0 ( x + 2) ,令 x = 2 2 ,则 y = . x0 + 2 x0 + 2
…………7 分

y0 x0 + 2
.

又直线 A2 P 的方程为 y = 即 DF = (2 2 ? 2)

y0 (2 2 ? 2) y0 ( x ? 2) ,令 x = 2 2 ,则 y = , x0 ? 2 x0 ? 2
. …………9 分

y0 x0 ? 2

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 所以 DE ? DF = (2 2 + 2)

8/9

y0 x0 + 2

? (2 2 ? 2)

y0 x0 ? 2

=

4 y0 2 4 y0 2 = ,………11 分 2 x0 2 ? 4 4 ? x0

又 P ( x0 , y0 ) 在

x2 x2 2 2 + y 2 = 1 上,所以 0 + y0 2 = 1 ,即 4 y0 = 4 ? x0 ,代入上式, 4 4 4 ? x0 2 = 1 ,所以 | DE | ? | DF | 为定值 1 . 4 ? x0 2

得 DE ? DF = (20) (共 14 分)

…………13 分

(Ⅰ)解:由 f ( x ) = x ,得 3 x + 4 = x ,解得 x = ?2 ; 由 f [ f ( x) ] = x ,得 3(3 x + 4) + 4 = x ,解得 x = ?2 . 所以集合 A = {?2} , B = {?2} . (Ⅱ)证明:若 A = ? ,则 A ? B 显然成立; 若 A ≠ ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f (t ) = t , 所以 f [ f (t ) ] = f (t ) = t ,故 t ∈ B ,所以 A ? B . (Ⅲ)证明:由 A = ? ,得方程 ax + bx + c = x 无实数解,
2

…………1 分

…………3 分

…………4 分

…………8 分

则 ? = (b ? 1) 2 ? 4ac < 0 .

…………10 分

① 当 a > 0 时,二次函数 y = f ( x ) ? x (即 y = ax 2 + (b ? 1) x + c )的图象在 x 轴的上方, 所以任意 x ∈ R , f ( x ) ? x > 0 恒成立, 即对于任意 x ∈ R , f ( x ) > x 恒成立, 对于实数 f ( x ) ,则有 f [ f ( x) ] > f ( x) 成立, 所以对于任意 x ∈ R , f [ f ( x) ] > f ( x) > x 恒成立,则 B = ? . …………12 分

②当 a < 0 时,二次函数 y = f ( x ) ? x (即 y = ax 2 + (b ? 1) x + c )的图象在 x 轴的下方, 所以任意 x ∈ R , f ( x ) ? x < 0 恒成立, 即对于任意 x ∈ R , f ( x ) < x 恒成立, 对于实数 f ( x ) ,则有 f [ f ( x) ] < f ( x) 成立, 所以对于任意 x ∈ R , f [ f ( x) ] < f ( x) < x 恒成立,则 B = ? .

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 综上,对于函数 f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) ,当 A = ? 时, B = ? .
2

9/9

…………14 分


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