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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2第一课时椭圆的简单几何性质讲义含解析新人教A版选修

第一课时 椭圆的简单几何性质
预习课本 P37~41,思考并完成以下问题 1.椭圆有哪些几何性质?什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴?

2.什么是椭圆的离心率?随着离心率的变化椭圆的形状有何变化?

椭圆的简单几何性质 焦点的位置

[新知初探] 焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围
顶点
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

-a≤x≤a 且-b≤y≤b

-b≤x≤b 且-a≤y≤a

A1(-a,0),A2(a,0),

A1(0,-a),A2(0,a),

B1(0,-b),B2(0,b)

B1(-b,0),B2(b,0)

长轴长=2a,短轴长=2b

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c

对称轴 x 轴和 y 轴,对称中心(0,0)

e=ca(0<e<1)

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的长轴长等于 a(

)

1

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a-c( ) (3)椭圆的离心率 e 越小,椭圆越圆( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√

2.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( )

A.5,3,45

B.10,6,45

3 C.5,3,5

3 D.10,6,5

答案:B

3.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于12,则 C 的方程是(

)

x2 y2 A. 3 + 4 =1

x2 y2

B. 4 +

=1 3

x2 y2 C. 4 + 2 =1

x2 y2 D. 4 + 3 =1

答案:D

4.若焦点在

y

x2 y2 轴上的椭圆 m + 2 =1

的离心率为12,则

m

的值为________.

3 答案:2

由标准方程研究几何性质

[典例] 求椭圆 x2+9y2=81 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.

[解]

x2 y2 把已知方程化成标准方程为81+ 9 =1,于是

a=9,b=3,c=

81-9=6

2,

所以椭圆的长轴长 2a=18,短轴长 2b=6,离心率 e=ca=2 3 2.

两个焦点的坐标分别为 F1(-6 2,0),F2(6 2,0),四个顶点的坐标分别为 A1(-9,0), A2(9,0),B1(0,-3),B2(0,3).

用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式; (2)确定焦点位置;

2

(3)求出 a,b,c; (4)写出椭圆的几何性质. [注意] 长轴长、短轴长、焦距不是 a,b,c,而应是 a,b,c 的两倍. [活学活用] 已知椭圆 C1:1x020+6y42 =1,设椭圆 C2 与椭圆 C1 的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆 C2 的焦点在 y 轴上. (1)求椭圆 C1 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆 C2 的方程,并研究其性质.
x2 y2 解:(1)由椭圆 C1:100+64=1 可得其长半轴长为 10,短半轴长为 8,焦点坐标(6,0), (-6,0),离心率 e=35;
y2 x2 (2)椭圆 C2:100+64=1, 性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10; ②对称性:关于 x 轴、y 轴、原点对称; ③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0); ④焦点:(0,6),(0,-6); ⑤离心率:e=35.

利用几何性质求标准方程

[典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)长轴长是 10,离心率是45;

(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6.

[解] (1)设椭圆的方程为

xa22+yb22=1(a>b>0)或ya22+xb22=1(a>b>0).

由已知得 2a=10,a=5.

又∵e=ca=45,∴c=4.

∴b2=a2-c2=25-16=9.

x2 y2

y2 x2

∴椭圆方程为25+ 9 =1 或25+ 9 =1.

3

(2)依题意可设椭圆方程为xa22+yb22=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c,|A1A2|=2b, 则 c=b=3,a2=b2+c2=18,
x2 y2 故所求椭圆的方程为18+ 9 =1.

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是: (1)确定焦点位置; (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程); (3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的 关系式有 b2=a2-c2,e=ca等.

[活学活用]

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6;

(2)过点(3,0),离心率

e=

6 3;

(3)过点 M(1,2),且与椭圆1x22 +y62=1 有相同离心率.

?? 2a+2b=18, 解:(1)设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,由题意可知?2c=6,
??a2=b2+c2,

解得 a=5,b=4.

x2 y2

x2 y2

因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以所求椭圆的标准方程为25+16=1 或16+25=1.

(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时, 设椭圆的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0),

由题意,得 a=3,

因为 e= 36,所以 c= 6,从而 b2=a2-c2=3, x2 y2
所以椭圆的标准方程为 9 + 3 =1;

4

当椭圆的焦点在 y 轴上时, 设椭圆的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0),

由题意,得 b=3,

因为 e= 36,所以

a2-b2 6 a =3,

把 b=3 代入,得 a2=27,

y2 x2 所以椭圆的标准方程为27+ 9 =1.

综上可知,所求椭圆的标准方程为

x2 y2

y2 x2

9 + 3 =1 或27+ 9 =1.

(3)设所求椭圆方程为1x22 +y62=k1(k1>0)或1y22 +x62=k2(k2>0),

将点 M 的坐标代入可得112+46=k1 或142+16=k2,

解得 k1=34,k2=12,故1x22 +y62=34或1y22 +x62=12,

x2 y2

y2 x2

即所求椭圆的标准方程为 9 + 9 =1 或 6 + 3 =1.

2

求椭圆的离心率

x2 y2 [典例] 设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2

⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( )

A.

3 6

B.13

C.12

D.

3 3

[解析] 法一:由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= 3m,故离心

率 e=ca=22ca=|PF|1|F+1F2||PF2|=2m+3mm= 33.

法二:由 PF2⊥F1F2 可知 P 点的横坐标为 c,将 x=c 代入椭圆方程可解得 y=±ba2,所以

|PF2|=ba2.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=

3|PF2|,故 2c=

b2 3· a ,变形可得

3(a2-c2)=

2ac,等式两边同除以 a2,得 3(1-e2)=2e,解得 e= 33或 e=- 3(舍去).

[答案] D

5

[一题多变]

1.[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2= 45°”,求 C 的离心率.

解:在△PF1F2 中,

∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,

∴∠F1PF2=60°,

设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为 2a,

则在△PF1F2

中,有sin

m 75°=sin

n45°=sin2c60°,

∴sin

m+n 75°+sin

45°=sin2c60°,

∴e=ca=22ac=sin

sin 60° 75°+sin

45°=

6- 2

2.

2.[变条件,变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“C 上存在点 P,使 ∠F1PF2 为钝角”,求 C 的离心率的取值范围.
解:由题意,知 c>b,∴c2>b2.

又 b2=a2-c2,∴c2>a2-c2,即 2c2>a2.∴e2=ca22>12,

∴e> 22.故 C 的离心率的取值范围为??? 22,1???.

求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e=ca求解.若已知 a,b 或 b,c 可借助于 a2=b2 +c2 求出 c 或 a,再代入公式 e=ca求解. (2)方程法:若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2=b2 +c2,转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂, 得到关于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或范围.

层级一 学业水平达标

1.已知椭圆 C1:1x22 +y42=1,C2:1x62 +y82=1,则(

)

A.C1 与 C2 顶点相同

B.C1 与 C2 长轴长相同

6

C.C1 与 C2 短轴长相同

D.C1 与 C2 焦距相等

解析:选 D 由两个椭圆的标准方程可知:C1 的顶点坐标为(±2 3,0),(0,±2),长

轴长为 4 3,短轴长为 4,焦距为 4 2;C2 的顶点坐标为(±4,0),(0,±2 2),长轴长为

8,短轴长为 4 2,焦距为 4 2.故选 D.

2.焦点在 x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为 2,到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准

方程是( )

x2 y2 A. 4 + 3 =1

B.x42+y2=1

y2 x2 C. 4 + 3 =1

D.x2+y42=1

解析:选 A 依题意,得 a=2,a+c=3,故 c=1,b= 22-12= 3,故所求椭圆的标 x2 y2
准方程是 4 + 3 =1.

3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )

A.12

B.

3 2

C.

3 4

D.

6 4

解析:选 A 依题意,△BF1F2 是正三角形,

∵在 Rt△OBF2 中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,

∴cos 60°=ca=12,即椭圆的离心率 e=12,故选 A.

4.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为( )

x2 y2 A. 2 + 4 =1

B.x2+y62=1

C.x62+y2=1

x2 y2 D. 8 + 5 =1

解析:选 B

椭圆

9x2+4y2=36

x2 y2 可化为 4 + 9 =1,可知焦点在

y

轴上,焦点坐标为(0,

±

y2 x2 5),故可设所求椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),则 c=

5.又 2b=2,即 b=1,所以 a2

=b2+c2=6,则所求椭圆的标准方程为 x2+y62=1.

5.已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,

直线 AB 交 y 轴于点 P.若―A→P =2―P→B ,则椭圆的离心率是( )

7

A.

3 2

B.

2 2

C.13

D.12

解析:选 D ∵―A→P =2―P→B ,∴|―A→P |=2|―P→B |. 又∵PO∥BF,∴||PAAB||=||AAOF||=23, 即a+a c=23,∴e=ca=12. 6.若椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为________.

解析:∵椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,∴ 1m=2,∴m

=14.

1 答案:4

7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

5 5,

且过 P(-5,4),则椭圆的

方程为________________.

解析:∵e=ca= 55, c2 a2-b2 1
∴a2= a2 =5, ∴5a2-5b2=a2 即 4a2=5b2. 设椭圆的标准方程为xa22+54ya22=1(a>0),

∵椭圆过点 P(-5,4),∴2a52 +5×4a12 6=1. 解得 a2=45.∴椭圆方程为4x52 +3y62 =1.
x2 y2 答案:45+36=1 8.设 F1,F2 分别为椭圆x32+y2=1 的左,右焦点,点 A,B 在椭圆上,若―F1→A =5―F2→B , 则点 A 的坐标是________. 解析:设 A(m,n).

由―F1→A =5 ―F2→B ,得 B???m+56 2,n5???.

8

? m32+n2=1,

?? 又 A,B 均在椭圆上,所以有

???m+56
3

2???2+???5n???2=1,

解得?????mn= =01, 或?????mn= =0-,1, 所以点 A 的坐标为(0,1)或(0,-1). 答案:(0,1)或(0,-1)

9.在平面直角坐标系

xOy

中,椭圆

C

的中心为原点,焦点

F1,F2 在

x

轴上,离心率为

2 2,

过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,求椭圆 C 的标准方程. 解:设椭圆 C 的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0).

由 e= 22知ca= 22,故ca22=12,从而a2-a2 b2=12,ba22=12.由△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+

|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,得 a=4,∴b2=8.

故椭圆

C

x2 y2 的标准方程为16+ 8 =1.

10.椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0),其上存在一点 P,使∠APO=90°,求椭

圆离心率的取值范围.

解:设 P(x,y),由∠APO=90°知,点 P 在以 OA 为直径的圆上,圆的方程是???x-a2???2

+y2=???a2???2.

∴y2=ax-x2.①



P

x2 y2 点在椭圆上,故a2+b2=1.②

把①代入②化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即

(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0,∵x≠a,x≠0,

∴x=a2a-b2b2,又 0<x<a,

∴0<a2a-b2b2<a,即 2b2<a2.



b2=a2-c2,得

a2<2c2,∴e>

2 2.

9

又∵0<e<1,∴ 22<e<1.

层级二 应试能力达标

1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点

坐标为( )

A.(±13,0)

B.(0,±10)

C.(0,±13)

D.(0,± 69)

解析:选 D 由题意知椭圆焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10,则 c= a2-b2= 69,故

焦点坐标为(0,± 69).
2.若椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被点???b2,0???分成 5∶3
的两段,则此椭圆的离心率为( )

16 A.17

4 17 B. 17

4

25

C.5

D. 5

解析:选 D

依题意得cc+ -b2b2=53,∴c=2b,

∴a=

b2+c2=

5b,∴e=ca=

2b 2 5

= 5b

5

.

x2 y2 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以

线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )

A.

6 3

B.

3 3

2

1

C. 3

D.3

解析:选 A 以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,由原点到直线 bx-ay+2ab

=0 的距离 d= b22a+b a2=a,得 a2=3b2,所以 C 的离心率 e=

b2 6 1-a2= 3 .

4.若

O



F

x2 y2 分别为椭圆 4 + 3 =1

的中心和左焦点,P

为椭圆上的任意一点,则―O→P ·―F→P

的最大值为( ) A.2

B.3

10

C.6

D.8

解析:选 C 由题意得点 F(-1,0).设点 P(x0,y0),则有x420+y320=1,可得 y20=3???1-x420???.

∵―F→P =(x0+1,y0),―O→P =(x0,y0),∴―O→P ·―F→P =x0(x0+1)+y20=x0(x0+1)+3???1-x420???=

x420+x0+3.此二次函数的图象的对称轴为直线 x0=-2.又-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时,

―O→P ·―F→P 取得最大值,最大值为242+2+3=6.

x2 y2 5.过椭圆 4 + 3 =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________.

解析:过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为 2a=4;最短弦为垂直于长轴的弦,因为

c=1,将

x=1

x2 y2

12 y2

代入 4 + 3 =1,得 4 + 3 =1,解得

y2=94,即

y=±32,所以最短弦的长为

2×32

=3.

答案:4,3

6.已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0),A,B 分别为椭圆的左顶点和上顶点,F 为右焦点,且

AB⊥BF,则椭圆的离心率为________.

解析:在 Rt△ABF 中,|AB|= a2+b2,|BF|=a,|AF|=a+c,由|AB|2+|BF|2=|AF|2,

得 a2+b2+a2=(a+c)2.将 b2=a2-c2 代入,得 a2-ac-c2=0,

即 e2+e-1=0,解得 e=-1±2

5 .

因为 e>0,所以 e= 52-1.

答案:

5-1 2

7.已知椭圆 x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率 e= 23,求实数 m 的值及椭圆的长轴长和

短轴长,并写出焦点坐标和顶点坐标.

x2 解:椭圆方程可化为 m +

y2 m

=1,由 m-m+m 3=m

m+ m+3

m+3

>0,可知 m>m+m 3,所以 a2

=m,b2=m+m 3,c= a2-b2=

m m+ m+3

,由 e= 23,得

mm+ +23= 23,解得 m=1.

于是椭圆的标准方程为 x2+y12=1,则 a=1,b=12,c= 23.所以椭圆的长轴长为 2,短轴长 4

11

为 1;两焦点坐标分别为???- 23,0???,??? 23,0???;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0), ???0,-21???,???0,12???.
8.设 F1,F2 分别是椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; (2)若 cos∠AF2B=35,求椭圆 E 的离心率. 解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16, 所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得,|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)·(2a-k). 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 从而 c= 22a,所以椭圆 E 的离心率 e=ca= 22.
12


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