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等差、等比数列(教师版)


讲义 1:等差、等比数列
教学目标 1. 理解等差等比数列的概念. 2. 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4. 了解等差数列与一次函数的关系,了解等比数列与指数函数的关系. 一.基本概念 等差、等比数列是最重要的、最基本的数列模型,因而也是高考重点考察的对象,从近几年的高考看, 考查既有选择题、填空题,也有解答题, ,既有容易题和中档题,也有难题.客观题一般“小而巧” ,考查 对等差、等比数列概念的理解、性质的灵活运用,主观题则一般“大而全” ,除了考查数列的概念、性质、 公式的应用外,还经常与其他知识融合在一起,同时也考查分类讨论、等价转化、函数与方程等数学思想 方法的灵活应用.考试说明对等差、等比数列都提出了较高的要求,因此,等差、等比数列的综合问题应 用问题是高考对数列考查的重点.{} ㈠等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2.等差数列的单调性 当 d>0 时, ?an ? 是递增数列;当 d=0 时, ?an ? 是常数列数列; 当 d<0 时, ?an ? 是递减数列. 3.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差. ⑵前 n 项和公式 S n ?

n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n ( n ? 1)d . 2 2

4.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即: A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b

? a , A , b 成等差数列.

5.等差数列的判定方法 ⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差数列; ⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 6.等差数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ? ( p 是常数)都是等差数列; 公差为 kd . ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是常数); Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数, a ? 0 ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

⑵在等差数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ?为等差数列,

? Sn ? ? 是等差数列; ?n? S a ⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S偶 ? S奇 ? nd, 偶 ? n ?1 ; S奇 an
⑸若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 ? 当项数为 2n ? 1(n ? N ? ) ,则 S奇 ? S偶 ? an , (7)若 an ? m, am ? n ,则 an?m ? 0 (8)若 Sn ? m, Sm ? n ,则 Sn?m ? ?(n ? m)
1

S偶 n ? 1 . ? S奇 n

㈡、等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) ,这个数列叫做等比数 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1qn?1 , a1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;②当 q ? 1 时, S n ? 3.等比中项 如果 a , G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等比中项 ? a , G , b 成比差数列 ? G 2 ? a ? b . 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1? q 1? q

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?pan ? 、 ?pan ? ( q ? 0 是常数)都是等比数列; 公比为 q k . ⑶ an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比数列. 二.题型选讲 类型 1:利用等差等比数列的性质计算 【例 1】已知 为等差数列, ,则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 变式 1: (09 广东文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =
2

⑵在等比数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ?为等比数列,

A.

1 2

B.

2 2

C.
2

2
8

D.2

【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q 所以 q ?

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为正数,

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
S9 ? S5

变式 2: 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则 解析 ??an ? 为等差数列,? 答案: 9
2

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

变式 3: ( 09 广 东 理 ) 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) , 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? A. n(2n ? 1) B. (n ? 1) 2 C. n
2

D. (n ? 1)2

2 【解析】由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2 n , an ? 0 ,则 an ? 2 n ,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.
类型 2: 利用公式求基本量计算 在等差等比数列中指涉及到五个基本量,即 a1 , an , n, d (q), sn , “知三求二”是一种基本运算,一般式 通过通项公式和前 n 项和公式联立方程组求解,对于等比数列来说,要注意分类讨论思想的应用。 【例 2】公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 【答案】C B. 24 C. 60 D. 90

2 【解析】由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,再由 S8 ? 8a1 ?

56 d ? 32 2

90 d ? 60 ,.故选 C 2 1 S 变式 1:设等比数列 {an } 的公比 q ? ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? . 2 a4
得 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ?

a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 解析:对于 s4 ? , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q) 变式 2:正项等比数列 ?an ? 满足 a2 a 4 ? 1 , S3 ? 13 , bn ? log3 an ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和是
A.65 B.-65 C.25 D. -25 答案 D 变式 3:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数.
? (a ? d ) 2 ? a?4 ? a?9 ? 16 (a ? d ) 2 ? a?d ? 解:设这四个数为 a-d,a,a+d, ,依题意有 ? ,解得 ? 或 ? a a ? d ?4 ? d ? ?6 ? a ? a ? d ? 12 ?

∴ 这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 题型 3:等差等比数列的判定与证明 证明一个数列为等差或等比一般用定义或者等差(比)中项来证明,而对于等差数列来说,证明 一个数列的通项公式是关于 n 的一次函数或者证明它的前 n 项和事关于 n 的不含常数项的二次函 数也能说明它是等差数列. 【例 3】已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

分析:由于 ?bn ? 和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n? 2 -S n?1 作切入点 探索解题的途径. 解析:(1)由 S n?1 =4a n ?2 ,S n? 2 =4a n?1 +2,两式相减,得 S n? 2 -S n?1 =4(a n?1 -a n ),即 a n? 2 =4a n?1 -4a n .
3

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。
⑵设数列 c n ?

(根据 b n 的构造, 如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键, 注意加强恒等变形能力的训练) a n? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n 已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2 ① ②
n?1



当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2 n?1 (3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式. 综上可知,所求的求和公式为 S n =2 n?1 (3n-4)+2. 点评:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前 n 项 和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过 程中适时应用.
n ?1 变式 1:(09 湖北理) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn ,求 Tn 。 n 1 n ?1 1 解析: (I)在 S n ? ? an ? ( ) ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 n?2 1 n ?1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( ) ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) , 2 2 1 n ?1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2
(Ⅱ)令 cn ?

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

.

?

n . 2n

(II)由(I)得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 2 1 3 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2
4

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
变式 2: (09 全国Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4
点评:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 .
n 第 ( II ) 问 中 由 ( I ) 易 得 an?1 ? 2an ? 3? 2 ?1 , 这 个 递 推 式 明 显 是 一 个 构 造 新 数 列 的 模 型 :

an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n?1 .
题型 4:等差等比数列性质的应用 合理运用等差等比数列的性质是高考考查的一个重点,也是考查学生能否合理进行简化运算的 关键.在计算过程中,若能恰当地选择性质,则可大大减少运算量. 【例 4】等差数列{an}的前 n 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,求它的前 3m 项的和 分析:本题可以根据条件直接列式求解,但是若能合理应用性质,选择不同的公式,则会得到不同的解法. 解析:解法一 将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+

n(n ? 1) d,得 2

m(m ? 1) ? d ? 30???????????? ① ?ma1 ? ? 2 ? ?2ma ? 2m(2m ? 1) d ? 100  ② 1 ? ? 2
40 10 20 3m(3m ? 1) , a1 ? ? 2 ,? S 3m ? 3ma1 ? d ? 210 2 m m 2 m 3m(3m ? 1) (3m ? 1)d 解法二 由 S3m ? 3ma1 ? d ? 3m[a1 ? ]知, 2 2 (3m ? 1)d m(3m ? 1) 要求 S3m 只需求 m[a1+ ], 将②-①得 ma1+ d=70,∴S3m=210 2 2 解得d ?
5

解法三 由等差数列{an}的前 n 项和公式知,Sn 是关于 n 的二次函数,即 Sn=An +Bn(A、B 是常数) 将 Sm=30,S2m=100 代入,得 20 ? ? A ? m2 ? Am 2 ? Bm ? 30 ? ? 2 ,∴S3m=A·(3m) +B·3m=210 ?? ? 2 ? A(2m) ? B ? 2m ? 100 ?B ? 10 ? ? m ? 2 解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+?+a3m=S2m+(a1+2md)+?+(am+2md)=S2m+(a1+?+am)+m·2md=S2m+Sm+2m d 40 由解法一知 d= 2 ,代入得 S3m=210 m 解法五 根据等差数列性质知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列, 从而有 2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m) ∴S3m=3(S2m-Sm)=210

2

S S ( x ? 1)d n(n ? 1) n(n ? 1) d,∴ n =a1+ d ∴点(n, n )是直线 y= +a1 上的一串点, 2 2 n 2 n S S S 由三点(m, m ),(2m, 2m ),(3m, 3m )共线,易得 S3m=3(S2m-Sm)=210 m 3m 2m 解法七 令 m=1 得 S1=30,S2=100,得 a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70 ∴a3=70+(70-30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210
解法六 ∵Sn=na1+

? 变式:已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ? 2n ? 5n ? 1(n ? N ),数列 bn ?的前 n 项和满足
2

点评:将条件“等差数列”换成“等比数列” ,使用类比思想,考虑这七种方法是否都可类比.

3 3 bn ? (n ? N ) 2 2 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; Bn ?

(II)将数列 ?an ? 与 ?bn ? 的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列 ?cn ? 的通项公式; 分析:已知 sn求an ,一般由 an和sn的关系an ? sn ? sn?1 ( n ? 2 )来求得,然后再研究其他问题,本题的 难点在于判定来那个个数列的公共项. 解析: (I)? An?1 ? 2(n ?1)2 ? 5(n ?1) ? 1 ? 2n 2 ? 2(n ? 2) ,?a n ? An ? An ?1 ? 4n ? 3

?8(n ? 1) ?4n ? 3(n ? 2, n ? N) 3 3 3 (II)由 Bn ? bn ? , 令n ? 1得b1 ? 3, 当n ? 2时, bn ? Bn ? Bn ?1 ,即 b n ? (b n ? b n ?1 ) 2 2 2 b ? n ? 3 ,故 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 3 ? 3n?1 ? 3n. (n ? N ) b n ?1 设数列 ?an ? 中的第 ? 项与数列 ?bn ? 中的第 n 项相同,则有 4? ? 3 ? 3n
∴an ? ? 由此 ? ?

3n ? 3 ?N 4

∴必有 n 为奇数 2k+1 (k ? N ) ,故 cn 的通项公式为 cn ? 3

? ?

2n?1

点评:本例主要复习了通过前 n 项和求数列的通项,并学会通过观察两个不同数列,找出公共项通过化归写 出新数列的通项. 题型 5:等差等比数列前 n 项和的最值: 求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法有: (1) 利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2) 利用性质求出正负转折项; (3) 利用等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次函数,根据二次函数的性质求解. 【例 5】 (09 安徽理)已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 [解析]由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a6 =99 得 3a4 ? 99 即 a4 ? 33 ,
6

∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? 变式 1:{an } 为等差数列,an ? ?2n ? 8 , 则前

? an ? 0 得 n ? 20 ,选 B ? an ?1 ? 0
项之和最小? )

项之和最大?若 an ? 3n ? 13 , 则前

变式 2:等差数列 {an } 中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 S n 取得最大值的项数 n 等于( A.4 或 5 B.5 或 6 C.6 或 7 D.不存在

变式 3:已知 {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,若 S 6 ? S10 ,则前多少项和最大?若 S 6 ? S9 , 则前多少项和最大? 变式 4:已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? ?2n 2 ? 14n ,求前多少项和最大? 变式 5:等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 12 , S12 ? 0, S13 ? 0 。 (1)求公差 d 的范围; (2)指出 S1 , S 2 ,?, S12 中哪一个最大,并说明理由。

12 *11 24 d ? 0 ,所以 d>, 2 7 13*12 24 d ? 0 ,所以 d<-3, 因此,d 的取值范围为(由 s13 ? 0 ,得:13 a1 + ,-3). 2 7 12 (2)解法一: an ? a1 ? (n ?1)d =12-2d+(n-1)d=12+(n-3)d,令 an ? 0 ,得:n<3, d 24 13 12 ? 3? ? 7 , 由(1)知: ? <d<-3, 所以 7 2 d
(1)由 a3 =12,得: a1 +2d=12,即 a1 =12-2d,由 s12 >0,得:12 a1 + 又 n ? N ,故由等差数列的单调性可知:当 n ? 6 时, an ? 0 ;
*

当 n>6 时, an ? 0 ,因此, s6 最大.

解法二:由题意可得: Sn =n a1 +

n(n ? 1) d 5 n2 ? n d =n(12-2d)+ d = n 2 ? (12 ? d )n 2 2 2 2

显然 d ? 0, Sn 是关于自变量 n 的二次函数, 由(1)知:d<0, 二次函数的图像抛物线的对称轴为 n= 由(1)知: ?
*

5 12 ? , 2 d

24 5 12 13 ? d ? ?3 ,所以 6< ? < , 7 2 d 2

又因为 n ? N , 故当 n=6 时, Sn 最大,即 s6 最大. 三.巩固训练 A.102 1.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n , a3 ? 4, a15 ? 20则s17 等于( B.204 C.306 D.408 ) )

2.等差数列 ?an ? 的公差 d<0,且 a2 * a4 ? 12, a2 ? a4 ? 8 ,则数列 ?an ? 的通项公式为( A. an ? 2n ? 2 (n ? N *) C. an ? ?2n ? 12(n ? N*) 3.已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? B. an ? 2n ? 4(n ? N*) D. an ? ?2n ? 10(n ? N*)

1 ,则公比 q 等于 4
7

(

)

1 2 4.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a5 ? 34, a5 ? a1 ? 30则a3 等于(
A. ? B.-2 C.2 D. A.8 B.-8 C.16 D.-16 5.等比数列 ?an ? 中,公比 q=4,则 A.

1 2



ak ? ak ?1 的值为 ak ? 2 ? ak ?3
D.16





1 4

B.

1 16

C.4

6.某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15.偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 B.4 C.3 D.2 7.设 s n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, s5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则 A.



a5 的值为( a3



1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6

8.设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 s n ,则 A.2 B.4 C.

15 2

s4 等于( a2 17 D. 2



9.等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1002, 公比q ?

1 , 记pn ? a1.a2 ……an ,则 pn 达到最大值时,n 的值为( ) 2

A.8 B.9 C.10 D.11 10.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则该数列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 11.已知数列 ?an ? 为等差数列,若 A.11 B.19

a11 ? ?1 ,且他们的前 n 项和 s n 有最大值,则使 s n >0 的 n 的最大值为 a10
C.20 D.21

12.设数列 ?an ? 、?bn ? 都是等差数列,且 a1 ? 10, b1 ? 90, a2 ? b2 ? 100, 那么数列 ?an ? bn ? 的第 2010 项的 值是( A.85 ) B.90 C.95 D.100

1 1 , ak ? ,则该数列前 mk 项之和是 . k m * * 14. 设 an ? logn?1 (n ? 2) , n ? N , 定 义 使 a1 a2 a…… ka 为 整 数 的 数 k ( k ? N ) 叫 做 数 列 3
13.等差数列 ?an ? 中,有两项 am和ak 满足am ? 则区间 ?1 2009? 内的所有企盼数的和为 a1 , a2 ,……an的企盼数, , . 15.定义“等积数列” :如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的积都等于同一个常数,那么这个数 那么 a2010 ? ,这个数列前 n 项积 Tn 的计算公式为
*

列就做等积数列,这个常数叫做等积数列的“公积”.已知数列 ?an ? 是等积数列,且 a1 ? 2 ,公积为 6, .

16.已知数列 ?log2 (an ? 1)?(n ? N ) 为等差数列,且 a1 ? 3 , a 3 ? 9 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)证明 a ? a ? a ? a ? ? ? ? ? a ? a ? 1 . 2 1 3 2 n?1 n
1 1 1

3 17.已知数列 {a n } 中, a1 ? , an ? 2 ? a 5

1
n?1

(n ? 2, n ? N ? ) ,数列 {b n } 满足 bn ?
8

1 (n ? N ? ) ; an ? 1

(1)求证:数列 {b n } 是等差数列; (2)求数列 {a n } 中的最大值和最小值,并说明理由.

?1 ? 2 an (n为偶数) 1 ? 1 * an ?1 ? ? 18. 设数列{an}的首项 a1 ? a ? ,且 ,记 bn ? a2 n ?1 ? , n ? N . 4 4 ?a ? 1 (n为奇数) ? n 4 ?
(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

19. 设S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知 S 3与 S 4 的等比中项为 S 5 , S 3与 S 4 的等差中项为 1, 求数列 ?a n ? 的通项.

1 3

1 4

1 5

1 3

1 4

n 20. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? a ? 2 ? b ,且 a1 ? 3 .

(1)求 a 、 b 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

答案与解析 一、选择题

17(a1 ? a17 ) 1 ? ?17 ? (a3 ? a15 ) =204 答案:B 2 2 2. 解:由 a2 a4 ? 12, a2 ? a4 ? 8且d ? 0可得 a2 ? 6, a4 ? 2 ,所以 a1 ? 8, d ? ?2 ,所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 10(n ? N*) . 答案:D 1 1 1 3 3 3 3. 解:? a5 ? a2 q ,? ? 2 ? q ? q ? ,? q ? . 答案:D 4 8 2 4 4. 解:? a1 ? a5 ? 34, a5 ? a1 ? 30 ,? a5 ? 32, a1 ? 2 ? a5 ? a1q 即 32= 2q 4 ,? q 2 ? 4
1. 解: s17 ?

?a3 ? a1q2 ? 8 .

答案:A
2 2

ak ? ak ?1 ak ? ak ?1 1 1 ? ? 2= 答案:B 2 ak ? 2 ? ak ?3 (ak ? ak ?1 )q q 16 n 10 d ,? d ? 3 . 答案:C. 6. 解:因为等差数列共 10 项,所以 s偶 ? s奇 ? d ,? 30 ? 15d ? 2 2 s5 5 a2 ? a8 s5 a5 5 6 2 ? ? 5 ? 6 ? . 答案:D. 7. 解:因为 ?an ? 是等差数列,? ? a3 a1 ? a5 (a1 ? a5 ) ? 5 s5 6 2 2
5. 解:在等比数列中, ak ?2 ? ak q , ak ?3 ? ak ?1q ,?
9

s4 a1 (1 ? q 4 ) (1 ? q 2 )(1 ? q)(1 ? q) (1 ? q 2 )(1 ? q) 5 ? 3 15 ? ? ? ? ? . 答案:C. a2 a1q(1 ? q) q(1 ? q) q 2 2 1 n ?1 9. 解: 因为 an ? 1002 ? ( ) ? 1 ? n ? 10 , 即等比数列 ?an ? 前 10 项大于 1, 从第 11 项起小于 1, p0 故 1 2
8. 解: 最大。答案:C. 10. 解: 设数列前三项分别为 a1 , a1q, a1q , 后三项分别为a1q
2 n?3

, a1qn?2 , a1qn?1. 所以前三项之积 a13q3 ? 2 ,

后三项之积 a1 q 64,即 a n q
1 n ( n ?1) 2

3 3n?6

? 4 ,所以,两式相乘可得: a16 q3( n?1) ? 8 ,即 a12 qn?1 ? 2 .又因为所有项之积为
答案:B.

? 64 ,所以 n=12.

a11 19(a1 ? a19 ) ? ?1, 且sn有最大值, a10 ? 0, a11 ? 0, 且a10 ? a11 ? 0 ,? s19 ? ? ? 19a10 ? 0 , a10 2 20(a1 ? a20 ) ? s20 ? ? 10(a10 ? a11 ) ? 0 ,所以使 s n >0 的 n 的最大值为 19. 答案:B. 2 12. 解 : 设 ?an ? 、 ?bn ? 的 公 差 分 别 为 m 、 n , 则 a2 ? b2 ? 10 ? m ? 90 ? n ? 100 , 所 以 m+n=0, 故
11. 解:?

a2010 ? b2010 ? a1 ? 2009m ? b1 ? 2009n ? (a1 ? b1 ) ? 2009(m ? n) =100. 答案:D. 1 1 13. 解 : 设首项为a1 , 公差为d , 则有am ? a1 ? (m ?1)d = , an ? a1 ? (n ? 1)d ? , 解 得 : k m mk mk ? 1 1 1 ? mk ? 1 1 1 (a1 ? amk ) ? a1 ? ,d ? ,所以 smk ? ? mk ? mk ? (mk ? 1) mk ? ? 2 . 2 2 ? mk mk ? mk ? 1 答案: 2 14. 解:要使 a1a2 a3……an ? log2 3.log3 4……logn?1 (n ? 2) = log2 (n ? 2) 为整数,则必须 n ? 2 ? 2k ,即 2 3 4 10 n ? 2k ? 2 ,( k ? 2 ),所以在区间 ?1, 2009? 内的所有企盼数为: 2 ? 2, 2 ? 2, 2 ? 2,……2 ? 2 ,其
15. 解:由数列 ?an ? 是“等积数列” ,且 a1 ? 2, 公积为 6,得: a2 ? 3, a3 ? 2……a2n?1 ? 2, a2n ? 3 ,所以 和为: 22 ? 2) 23 ? 2) 24 ? 2) ……+(210 ? 2) 211 ? 22 =2026 ( ? ( ? ( ? ? 答案:2026.
n n ?1 2

a2010 ? 3 .数列 ?an ? 形如 2, 2, 3, 3??, 故前 n 项积的计算公式为: ? 6 2 为偶数) (n 或者 T ? 2 ? 6 Tn n
(n 为奇数). 答案:3

Tn ? 6 (n 为偶数)或者 Tn ? 2 ? 6

n 2

n ?1 2 (n

为奇数).
a ?1

d n ?1 16.解:(1)∵ ?log 2 (an ? 1)?(n ? N * ) 为等差数列,设公差为 d ,∴ log 2 (an ?1 ? 1) ? log 2 (an ? 1) ? d ,即 a ? 1 ? 2 为非 n

零常数, ∴ {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项, 2d 为公比的等比数列, ∴ an ? 1 ? 2 ? (2d )n?1 ,∴ an ? 2 ? (2d )n?1 ? 1 , 又 a 3 ? 9 ,∴ 2 ? (2d )2 ? 1 ? 9 ,∴ d ? 1 ,∴ an ? 2n ? 1 . (2)由(1)知, an?1 ? an ? 2n?1 ? 1 ? (2n ? 1) ? 2n?1 ? 2n ? 2n ,∴ a
1 1 ? , ? an 2n n ?1

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 2 ? 1? 1 ? 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? n ? ∴ 1 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an 2 22 2 2n 1? 2

17.解:(1)

bn ?

1 1 a 1 ? ? n ?1 b ? 1 an ? 1 (2 ? ) ? 1 an ?1 ? 1 ,而 n ?1 an ?1 ? 1 , an ?1
1 5
5

∴ bn ? bn?1 ? 1(n ? 2, n ? N ? ) , b1 ? a ? 1 ? ? 2 ;故数列 {b n } 是首项为 ? ,公差为 1 的等差数列; 2 1

10

7 (2)由(1)得 bn ? n ? ,则 an ? 1 ? b ? 1 ? 2n ? 7 ;设函数 f ( x) ? 1 ? 2
n

1

2

2 , 2x ? 7

' 则 f ( x) ? ?

4 (2 x ? 7)2

? 0 , ∴ 函 数 f ( x) ? 1 ?

2 7 7 在 (??, ) 和 ( ,?? ) 上 均 为 减 函 数 , 当 x ? 3 时 , 2x ? 7 2 2
3 ,当 n 趋向于 ?? 时, f (x) 接近 1, 5

f ( x) ? f (3) ? ?1 ;当 x ? 4 时, f ( x ) ? f ( 4) ? 3 ;且 f (1) ?

∴ (an )min ? a3 ? ?1 , (an )max ? a4 ? 3 . 18.解: (I)a2=a1+

1 4

= a+

1 4 1

,a3= a+

1 2

a2 =

1 2

a+

1 8



, 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列.证明如下: 2 1 1 1 1 1 1 因为 bn+1=a2n+1- = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{bn}是首项为 a- , 公比为 的等比数列· 4 2 1 1 ?1 2 ? 3a1d ? 5d 2 ? 0 ? 3 S 3 ? 4 S4 ? ( 5 S5 ) ? ? 19.解:由已知得 ? , 即? , 5 2a1 ? d ? 2 ?1 S ? 1 S ? 2 ? ? 2 ?3 3 4 4 ?

(II)∵ a4 = a3+

1

=

3



∴ a5=

1

a4=

1

a+

3

12 ? ?d ? 0 ?d ? ? 32 12 5 ? an ? 1 或 an ? 解得 ? 或? ? n 5 5 ? a1 ? 1 ? a ? 4 ? 1 32 12 ? n 均满足题意,即为所求. 经验证 an ? 1 或 a n ? 5 5 n?1 20. 解: (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2 ? a .
而 {an } 为等比数列,得 a1 ? 2 (2) bn ?
1?1

? a ? a=3 ,即 a ? 3 ,从而 an ? 3 ? 2 n?1 .

又? a1 ? 2a ? b ? 3,? b ? ?3 .

n n 1 2 3 n ? , Tn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) a n 3 ? 2 n ?1 3 2 2 2 1 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 4 1 n 两式相减得 Tn ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ) ,因此, Tn ? (1 ? n ? n?1 ) . 2 3 2 2 2 2 3 2 2

11


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