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第三章3.4定积分的概念和基本性质


3.4 定积分的概念和基本性质 (一)两个实例 1.曲边梯形的面积

y y? f ( x )

o a
由连续曲线 y? f ( x ) 和三条直线 x ? a , x ? b, y ? 0 所围成的图形称为曲边梯形. 在 x 轴 上的线段 [a , b] 称为曲边梯形的底.

b x

设 y? f ( x ) 在[a ,b] 上连续,且 f ( x )? 0 ,求以曲线
y? f ( x ) 为曲边,底为[a ,b] 的曲边梯形的 面积 A .

计算步骤如下:

(1)分割
任取分点: a ? x0 ? x1 ? x2 ??? xi?1 ? xi ??? xn?1 ? xn ? b ,

把区间[a ,b] 分为 n 个 小区间:[ xi?1 , xi ] ( i ?1, 2, ?, n),
[ x i ? 1 , x i ]的长度记为?x i ? x i ? x i ? 1 ( i ? 1, 2, ?, n ),

y

y ? f (x )

f (? i )

o

a? x0 x1 x2

xi ?1 ? i x i

xn?1 xn ? b

x

直线 x ? x i ( i ?1, 2, ? , n ?1 ) ,把整个曲边梯形

分成 n个 小曲边梯形,其中第 i 个 小曲边梯形的面
积记为 ?A i ( i ?1, 2, ?, n ) .

(2)近似
?? i ? [ x i ? 1 , x i ],

四个步骤可以概括为一句话:

“分割取近似,求和取极限.”

?Ai ? f (ξ i )?xi
(3)求和
A?
n

( i ?1, 2, ? , n ).

i ?1

? f (? i )?x i ,
??x i ?,
A ? lim

(4)取极限
设 d ? max
1? i ? n

? f (? i )?x i d ?0
i ?1

n

.

2.变速直线运动的路程
设一物体作变速直线运动,已知速度 v? v (t ) ,

v (t ) 在时间区间 [a ,b] 上连续 ,求这段时间间隔
内上物体所经过的路程 S.

(1)分割
任取分点: a ? t 0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t n ?1 ? t n ? b ,
把区间 [a , b] 分为 n 个 小区间: [t i ?1 , t i ] ( i ?1, 2, ?, n),

[t i ?1 , t i ] 的长度记为 ?t i ? t i ? t i ?1 ( i ?1, 2, ? n ) ,

物体在时间段 [t i ? 1 , t i ] 上所经过的路程记为

?Si ( i ?1, 2, ?, n ).
(2)近似

?? i ?[t i?1 , t i ], ?Si ?v(ξ i )?t i ( i ?1, 2, ? , n).
(3)求和
S ? ? v ( ? i )? t i .
i ?1 n

(4)取极限

d ? max ??t i ?,
1? i ? n

S ? lim ? v ( ξ i )?t i .
d ?0 i ?1

n

上述两个实例,一个是几何学中的面积问题, 一个是物理学中的路程问题,尽管它们的实际意 义完全不同,但是从抽象的数量关系来看,它们 的分析结构形式完全一样,都是函数在区间上具 有特殊结构的和式的极限,对于这种和式的极限, 可以抽象出新的数学概念—定积分.

(二)定积分的定义
1.定义 设 f ( x ) 是定义在 [a , b] 上的有界函数,任取一组
分点:a ? x0 ? x1 ? x2 ??? xi?1 ? xi ??? xn?1 ? xn ? b,

把 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi ?1 , xi ] ( i ?1, 2, ? n ) ,

?? i ?[ xi?1 , xi ],
作和式
i ?1

? f (? i )?x i , 其中 ?x i ? x i ? x i ? 1 ,
1? i ? n

n

令 d ? max

??x i ?,

如果不论 [a ,b] 怎样分法及 ? i 如何 选取, 当d ? 0 时, 和式的极限存在,则称此极限为函数 f ( x ) 在 [a ,b] 上的 定积分,记作
积分上限

? a f ( x )dx ,即
? lim
积 分 变 量
n d ?0

b

积分和

? a f ( x) d x
积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式

b

? f ( ξ i )?x i
i ?1

.

[a,b]积分区间

若定积分

? a f ( x )dx 存在,则称 f ( x ) 在 [a, b] 上可积.

b

曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y? f ( x ) 在区间 [a ,b] 上的定积分: A ? ? f ( x )dx .
a b

变速直线运动的物体所经过的路程 S 是速度函数
v? v (t ) 在时间区间 [a ,b] 上的定积分: S ? ? v ( t )dt .
a b

定积分定义的剖析
(1)定积分 ? f ( x )dx 仅与被积函数 f ( x ) 和积分区间 [a ,b]
a b

有关,而与区间 [a ,b] 的分法与点 ? i 的取法无关.

(2)定义中 d ? 0 ,不能改为“ n? ? ”.

(3)定积分的值与积分变量无关,即

? a f ( x )dx ? ? a f (t )dt ? ? a f (u)du
(4)规定:当 a? b 时, ? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx ;
b a

b

b

b

当 a? b 时, ? f ( x )dx ? 0 .
a

a a

b

(三)定积分的几何意义
1. f ( x ) ? C [a , b] ,且 f ( x )? 0 ,则 ? f ( x )dx 表示
a b

以 y? f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积 A.

y

y? f ( x )
A ? ? f ( x )dx
a b

o a

b x

y 2.若 f ( x )?C[a ,b] ,且 f ( x )? 0 ,
则 ? f ( x )dx ? ? A ,
a b

o

a

b

x
y ? f (x )
b a

或 A ? ? ? f ( x )dx .
a

b

3.若 f ( x )?C [a ,b] ,且 f ( x ) 有正有负时,则 ? f ( x )dx 等于由连续曲线 y? f ( x ) ,直线 x? a , x? b 及 x 轴 所 围成的几个曲边梯形面积的代数和, 在 x 轴 上方的面 积取正号, 在 x 轴 下方的面积取负号.

y
A1

y? f ( x )

a
b

o

A3

A2

b

x

? a f ( x )dx ? A 1? A 2 ? A 3.
例 1.利用定积分表示图中的面积.

y

f ( x ) ?1
(1)解: A ?

?a dx ? b ? a .

b

a o

b

x

y y ?sin x
??
(2)解: A ? ? ?
0 ??

o

?
?
0

x

sin x dx ? ? sin x dx .

y
?1

y? x 2

o

1

x
x2 ? y2 ?2

(3)解: A ? ?

1

?1

2 ? x dx ? ?
2

1

?1

x 2 dx .

(四)定积分的性质

性质1 性质 2

? a kf ( x )dx ? k ? a f ( x )dx.
? a [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? a f ( x)dx ? ? a g( x )dx.
b b b

b

b

此性质可以推广到有限多个函数的代数和的情况.

可加性) 性质 3 ( 定积分对积分区间具有
若a ? c ? b , 则

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c

b

c

b

f ( x )dx .

补充:不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

例如 a ? b ? c,

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx


c

b

c

?a

b

f ( x )dx ? f ( x )dx ? f ( x )dx ? ?
a b c b ? f ( x )dx ? f ( x )dx . a c

c

c

?

?

性质 4 ( 单调性) 若在[a, b] 上, 有 f ( x) ? g( x), 则

? a f ( x )dx ? ? a g( x )dx.
推 论:( 1 ) 若在 [a , b] 上, f ( x )? 0 ,则

b

b

? a f ( x )dx ? 0 .
(2)

b

? a f ( x )dx ? ? a

b

b

f ( x ) dx .

性质 5 ( 估值定理)
设 f ( x ) 在 [a, b] 上可积, 且m ? f ( x ) ? M , 则
m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ).
a b

该性质的几何解释是: y
曲线 y ? f ( x )在 [a , b] 上的曲边梯形面积介于 以[a , b] 长度为底, 分别 以 m 和 M 为高的两个 矩形的面积之间 .
m M

y? f ( x )

o

a

b

x

) 性质 6 ( 定积分中值定理
? 若 f ( x )?C[a ,b] ,则 至少存在一点 ?[a ,b] ,
使得 ? f ( x )dx ? f (? )(b ? a ) .
a b

证?

f ?C[a ,b],
有 m? f ( x )? M .

? f ( x )在[a,b]上必有最大值 和最小值m, M
由性质 5 得, m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ), 故
由闭区间上连续函数的 介值定理知: ? ? ?[a ,b],
b

1 m? ?a f ( x )dx ? M . b?a

a b

b 1 使 f (? ) ? f ( x )dx , 即 b?a a

?

? a f ( x )dx ? f (? )(b ? a ).
y
y? f ( x )

b

积分中值定理的几何解释:
在 [a , b] 上以连续曲线
y? f ( x ) 为曲边的曲边梯

形面积等于以区间[a , b] 长度为底, [a , b] 中一点? 的函数值为高的矩形面积.

f (? )

o

a

?

b

x

例 2. 比较下列各对积分值的 大小 :
(1) ?
13 0

xdx 与 ?
13

解: (1) ?x?[0,1], 有


1 3 1 1 x dx ; (2) xdx 与 ln(1 ? x )dx . 0 0 0 3 3

?

?

x?x ,

?0

x dx ?

?

1 3 x dx . 0

(2)令 f ( x )? x ? ln( 1? x ) ,
1 x ?x?[0,1], 有 f ?( x )?1 ? ? ?0 , 1? x 1? x 因此 f ( x ) 在 [0, 1] 上单调增加,有 f ( x )? f (0)? 0 ,

即 x ? ln( 1? x )? 0 ? x ? ln( 1? x ) .


? 0 xdx ? ? 0 ln(1 ? x )dx.

1

1

例 4. 证明不等式

2
4e

?

?

2 x2 ? x e dx ? 2e 2 . 0

证:设 f ( x )?e

x2?x

,则 f ( x )?C [0, 2] .
x2 ? x

1 令 f ?( x ) ? ( 2 x ? 1)e ? 0, 得驻点 x ? , 2 1 1 ∵ f ( 0) ?1 , f ( ) ? 4 , f ( 2 ) ? e 2 , 2 e
∴ f ( x ) 在 [0, 2] 上的 最大值M ? e ,最小值m? 4
2

1 e



由估值定理得:
2 1

2 x2 ? x ? ( 2 ? 0) ? e dx ? e 2 ( 2 ? 0) ? 2e 2 . 4e 4e 0

?


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