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第14课时双曲线的简单性质(2)


2.3.2 双曲线的简单性质(2)
目的:1、掌握双曲线的特别性质-----双曲线渐近线的证明。2、掌握双曲线渐近线的应 用的几种形式和重要性。3、引入等轴双曲线的定义。 重点:渐近线的的证明。 过程: a 一、复习学过的几何性质:范围、对称性、定点、离心率、字母 a,b,c,e, ,焦点到准线 c 的距离,过焦点垂直于对称轴的弦长,焦点三角形,第二定义中距离的转化。 二、引入渐近线: 在椭圆中, 我们曾经在讨论范围时, 遇到一个矩形把椭圆控制在内。 那么我们以 x=?a,y=?b 形成的矩形又有什么好处,作出矩形的对角线所在的直线会发现什么,有什么特点。几 何画板演示。提出渐近线的定义,如何证明呢?这个地方体现了极限的思想,所以学生 比较难理解,可用函数的增减性来解释。 y= = b a x -a = ab x+ x -a
2 2 2 2 2

b x a

a 2 b b b (x- x -a )(x+ x -a ) 2 2 1-( ) < x=Y,所以 Y-y= (x- x -a )= 2 2 x a a a x+ x -a

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我们利用线段之间的关系来解释这个问题。
2 2 2 2

b x y y x 于是我们把 y=? x 叫做方程 2 - 2 =1 的渐近线方程。那么方程 2 - 2 =1 的渐近线方程 a a b a b 呢?请同学们用画矩形的办法作出它的渐近线,并求出它的方程。可见两个方程不容易 记住,那么你能否想一种简单的方法来记忆呢? 三、练习: 1、求下列双曲线的渐近线方程: x y y x x y 2 2 2 2 - =1 , - =1, - =1, 2x -3y =24, 9y -16x =144。 64 36 4 4 16 9 9 2、双曲线上两点 P1,P2 坐标分别为(3,-4 2 )、( ,5),求双曲线的标准方程。 4 3、求以直线 2x?3y=0 为渐近线,求过点 A(1,2)的双曲线的方程。 4、与双曲线 4x -y =4 有相同的渐近线,且过(2,-2)的双曲线的标准方程。 作为交换我告诉你们一种简单的记忆方式,并且使我们应用起来比较简单。 方法:把双曲线右边的常数看作 0,请同学们把刚才的求渐近线方程重作一遍。 作 3, 时我们可以应用刚才的渐近线的形式的相似, 4 应用渐近线相乘为?,求得所求方程。
2 2 2 2 2 2 2 2

解:设双曲线的方程(2x+3y)(2x-3y)= ?,把(1,2)代入得?=-32,所以所求的方程是: y x (2x+3y)(2x-3y)=-32,即: - =1。 32 8 四、离心率与渐近线的关系: b c -a = = a a
2 2 2 2

c b 2 e -1 ,因此 e 越大, 也越大,即渐近线的斜率的绝对值也越大, 2-1 = a a

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这时双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口也 越阔。当 a=b 时,e= 2 ,我们称它为等轴双曲线。 五、练习: x y 1、 双曲线 - =1 的两条渐近线所夹锐角的正切值为????????。 4 8 2、 已知双曲线的离心率为 2,求它的两条渐近线的夹角。 六、作业:1、整理笔记。2、小结几何性质。3、第 62 页题目。
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