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2016年全国高中数学联赛一试

2016 年全国高中数学联合竞赛一试
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设实数 a 满足 a ? 9a ? 11a ?| a | ,则 a 的取值范围是
3

2. 设复数 z, w 满足 | z |? 3 , 其中 i 是虚数单位, ( z ? w )( z ? w) ? 7 ? 4i , z , w 分别表示 z, w 的共轭复数,则 ( z ? 2w )( z ? 2w) 的模为 3.正实数 u, v, w 均不等于 1,若 log u vw ? log v w ? 5 , log v u ? log w v ? 3 ,则 log w u 的 值为 4.袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元 纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的 纸币面值之和的概率为 5.设 P 为一圆锥的顶点,A,B,C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC =90°,M 为 AP 的中点.若 AB=1,AC=2, AP ? 6 .设函数 f ( x) ? sin
4

2 ,则二面角 M—BC—A 的大小为

kx kx ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a ,均 有 ? cos 4 10 10

{ f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R} ,则 k 的最小值为
7.双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F2 作直线与双曲线 C 3

的右半支交于点 P,Q,使得 ?F1 PQ =90°,则 ?F1 PQ 的内切圆半径是 8.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,…,100 中的 4 个互不相同的数,满足
1 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2

则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的个数为

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2BA ? BC ? 3CA ? CB .求 sin C 的最 大值.

10 . (本题满分 20 分)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? 0 ,均有

x ) ? xf ( x) . x ?1 1 1 1 1 1 1 1 求 f (1) f ( ) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f ( ) ? … ? f ( ) f ( ) 的值. 100 50 2 99 3 51 98 f(

11. (本题满分 20 分) 如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是 x 轴正半轴上的一个动点. 以 F 为焦点,O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点,Q 是 x 轴负半轴上一点, 使得 PQ 为 C 的切线, 且|PQ|=2.圆 C1 , C 2 均与直线 OP 相切于点 P, 且均与轴相切. 求点 F 的坐标, 使圆 C1 与 C 2 的面积之和取到最小值.


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