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2012年上海市春季高考数学试卷【全解全析版+详细解答】


2012 年上海市春季高考数学试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求直接填写结果,每题答对得 4 分,否则一律得零 分。 1. (2012?上海)已知集合 A={1,2,k},B={2,5}.若 A∪B={1,2,3,5},则 k= _________ . 2. (2012?上海)函数 y=
2

的定义域是 _________ .

3. (2010?安徽)抛物线 y =8x 的焦点坐标是 _________ 4. (2012?上海)若复数 z 满足 iz=1+i(i 为虚数单位) ,则 z= _________ . 5. (2012?上海)函数 f(x)=sin(2x+ )的最小正周期为 _________ .

6. (2012?上海)方程 4 ﹣2 7. (2012?上海)若 _________ .

x

x+1

=0 的解为 _________ . ,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5=

8. (2012?上海)若 f(x)=

为奇函数,则实数 m=

_________ .

9. (2012?上海)函数 y=

的最大值为 _________ .

10. (2012?上海)若复数 z 满足|z﹣i|≤ _________ .

(i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内所对应的图形的面积为

11. (2012?上海)某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志 愿者中,男、女生都有的概率为 _________ . (结果用数值表示) 12. (2012?上海) 若不等式 x ﹣kx+k﹣1>0 对 x∈ (1, 恒成立, 2) 则实数 k 的取值范围是 _________ . 13. (2012?上海)已知等差数列{an}的首项及公差均为正数,令 .当 bk 是数列{bn}的最大项时,k= _________ .
2

14. (2012?上海)若矩阵 等的矩阵共有 _________ 个.

满足 a11,a12,a21,a22∈{﹣1,1},且

=0,则这样的互不相

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.已知椭圆 ,则( ) D.C1 与 C2 焦距相等

A.C1 与 C2 顶点相同 B.C1 与 C2 长轴长相同
﹣1

C.C1 与 C2 短轴长相同

16. (2012?上海)记函数 y=f(x)的反函数为 y=f (x) .如果函数 y=f(x)的图象过点(1,0) ,那么函 ﹣1 数 y=f (x)+1 的图象过点( ) A. (0,0) B. (0,2) C. (1,1) D. (2,0) 17.已知空间三条直线 l、m、n.若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( ) A.m 与 n 异面 B.m 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能

18. (2012?上海)设 O 为△ ABC 所在平面内一点.若实数 x、y、z 满足 x

+y

+z

=0, +y +z ≠0) (x ,

2

2

2

则“xyz=0”是“点 O 在△ ABC 的边所在直线上”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 19. (2012?上海)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,M 为线段 AB 的中点. 求: (1)三棱锥 C1﹣MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

20. (2012?上海)某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长 度差异) . (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,求内环线列车的最小 平均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时, 外环线列车平均速度为 30 千米/小时. 现内、 外环线共有 18 列列车全部投入运行,要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟,向内、外环 线应各投入几列列车运行?

21. (2012?上海)已知双曲线 C1:



2

(1)求与双曲线 C1 有相同焦点,且过点 P(4,

)的双曲线 C2 的标准方程; 时,求实数 m 的值.

(2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当

22. (2012?上海)已知数列{an}、{bn}、{cn}满足 (1)设 cn=3n+6,{an}是公差为 3 的等差数列.当 b1=1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 , .求正整数 k,使得对一切 n∈N ,均有 bn≥bk;
*



(3)设



.当 b1=1 时,求数列{bn}的通项公式.

23. (2012?上海)定义向量 “相伴向量”为

=(a,b)的“相伴函数”为 f(x)=asinx+bcosx,函数 f(x)=asinx+bcosx 的

=(a,b) (其中 O 为坐标原点) .记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S. )+4sinx,求证:g(x)∈S;

(1)设 g(x)=3sin(x+

(2)已知 h(x)=cos(x+α)+2cosx,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M(a,b) (b≠0)为圆 C: (x﹣2) +y =1 上一点,向量 最大值.当点 M 在圆 C 上运动时,求 tan2x0 的取值范围.
2 2

的“相伴函数”f(x)在 x=x0 处取得

3

2012 年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求直接填写结果,每题答对得 4 分,否则一律得零 分。 1. (2012?上海)已知集合 A={1,2,k},B={2,5}.若 A∪B={1,2,3,5},则 k= 3 . 考点:并集及其运算。 专题:计算题。 分析:根据集合的并集运算定义即可得 k 的值 解答:解:∵A={1,2,k},B={2,5},且 A∪B={1,2,3,5} ∴3∈A ∴k=3 故答案为:3 点评:本题考查集合的并集运算.首先要求掌握并集的定义,注意并集中的元素与原集合的关系.属简单 题 2. (2012?上海)函数 y= 的定义域是 [﹣2,+∞) . 考点:函数的定义域及其求法。 专题:计算题。 分析:根据根号有意义的条件的条件进行求解; 解答:解:∵函数 y= , ∴x+2≥0, ∴x≥﹣2, 故答案为:[﹣2,+∞) ; 点评:此题主要考查函数的定义域及其求法,是一道基础题; 3. (2010?安徽)抛物线 y =8x 的焦点坐标是 (2,0) 考点:抛物线的简单性质。 专题:计算题。 分析:根据抛物线的标准方程,进而可求得 p,根据抛物线的性质进而可得焦点坐标. 2 解答:解:抛物线 y =8x, 所以 p=4, 所以焦点(2,0) , 故答案为(2,0). . 点评:本题考查抛物线的交点,部分学生因不会求 p,或求出 p 后,误认为焦点(p,0) ,还有没有弄清楚 焦点位置,从而得出错误结论 4. (2012?上海)若复数 z 满足 iz=1+i(i 为虚数单位) ,则 z= 1﹣i . 考点:复数代数形式的乘除运算。 专题:计算题。 分析:由 iz=1+i,两边除以 i,按照复数除法运算法则化简计算. 解答:解:由 iz=1+i,得 z= =1﹣i
2

4

故答案为:1﹣i. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,复数的基本概念.属于基础题.

5. (2012?上海)函数 f(x)=sin(2x+ 考点:三角函数的周期性及其求法。 专题:计算题。

)的最小正周期为 π .

分析:由函数解析式找出 ω 的值,代入周期公式 T= 解答:解:f(x)=sin(2x+ ∵ω=2, ∴T= =π, ) ,

中,即可求出函数的最小正周期.

则函数的最小正周期为 π. 故答案为:π 点评:此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. 6. (2012?上海)方程 4 ﹣2 =0 的解为 x=1 . 考点:有理数指数幂的运算性质。 专题:计算题。 x 2x 分析:由于 4 =2 ,代入方程关系式即可. x 2x 解答:解:∵4 =2 , x x+1 2x x+1 ∴方程 4 ﹣2 =0 可化为:2 =2 , ∴2x=x+1, ∴x=1. 故答案为:1. 点评:本题考查有理数指数幂的运算性质,熟练掌握数指数幂的运算性质是解题的基础,属于基础题.
x x+1

7. (2012?上海)若

,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5= 1 .

考点:二项式定理的应用。 专题:计算题。 分析:直接令变量为 1 即可求出所有项的系数之和,即为结论. 5 解答:解:令 x=1 可得, (2﹣1) =1=a0+a1+a2+a3+a4+a5, 则 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1, 故答案为:1. 点评:本题考查二项式定理的运用,是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果,选择合适的数值代入.

8. (2012?上海)若 f(x)= 考点:函数奇偶性的性质。 分析:由 f(x)= 解答:解:∵f(x)=

为奇函数,则实数 m= ﹣2 .

为奇函数,可得 f(﹣1)=﹣f(1) ,代入可求 为奇函数,

5

∴f(﹣1)=﹣f(1) 即 m﹣1=3(1+m) ∴m=﹣2 故答案为:﹣2 点评:本题主要考查了奇函数的性质的简单应用,属于基础试题

9. (2012?上海)函数 y= 考点:复合函数的单调性;函数的最值及其几何意义。 专题:计算题。

的最大值为 5 .

分析:利用换元法,设 t=log2x,则 t∈[1,2],将问题转化为求函数 y=t+ 在[1,2]上的最大值问题,利用 导数证明此函数为减函数,利用单调性求最值即可 解答:解:设 t=log2x,∵x∈[2,4],∴t∈[1,2] ∵y=t+ 的导函数 y′=1﹣ <0 t∈[1,2]

∴y=t+ 在[1,2]上为减函数, ∴y=t+ 的最大值为 1+ =5 ∴y= 的最大值为 5

故答案为 5 点评:本题主要考查了复合函数的最值的求法,换元法求函数的值域,利用导数求函数在闭区间上的最值 问题的解法,转化化归的思想方法 10. (2012?上海)若复数 z 满足|z﹣i|≤ (i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内所对应的图形的面积为 2π . 考点:复数的代数表示法及其几何意义。 专题:计算题。 分析:由|z﹣i|≤ 的几何意义可知,点 Z 的轨迹是以(0,1)为圆心, 为半径的实心圆.由圆的面积 公式可得答案. 解答:解:∵|z﹣i|≤ , ∴z 在复平面内所对应的点 Z 的轨迹是以(0,1)为圆心, 为半径的实心圆, ∴该圆的面积为:π =2π.

故答案为:2π. 点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,理解“点 Z 的轨迹是以(0,1)为圆心, 心圆”是解题的关键.

为半径的实

11. (2012?上海)某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志 愿者中,男、女生都有的概率为 考点:等可能事件的概率。 专题:计算题。 . (结果用数值表示)

6

分析:根据题意,首先计算从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人数目,再分析选出的 4 人中只有男生、女生 的数目,由排除法可得男、女生都有的情况数目,进而由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答:解:根据题意,从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人,有 C6 =15 种取法, 4 其中全部为女生的有 C4 =1 种情况,没有全部为男生的情况, 则选出的 4 名志愿者中,男、女生都有的情况有 15﹣1=14 种, 则其概率为 故答案为 . ;
4

点评:本题考查等可能事件的概率计算,在求选出的志愿者中,男、女生都有的情况数目时,可以先求出 只有男生、女生的数目,进而由排除法求得. 12. (2012?上海)若不等式 x ﹣kx+k﹣1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是 (﹣∞,2] . 考点:一元二次不等式的应用。 专题:综合题。 分析:根据题意,分离参数,利用函数的单调性,即可得到实数 k 的取值范围. 解答:解:不等式 x ﹣kx+k﹣1>0 可化为(1﹣x)k>1﹣x ∵x∈(1,2) ∴k< =1+x
2 2 2

∴y=1+x 是一个增函数 ∴k≤1+1=2 ∴实数 k 取值范围是(﹣∞,2] 故答案为: (﹣∞,2] 点评:本题考查一元二次不等式的应用,解题的关键是分离参数,利用函数的单调性确定参数的范围. 13. (2012?上海)已知等差数列{an}的首项及公差均为正数,令 .当 bk 是数列{bn}的最大项时,k= 1006 . 考点:数列与不等式的综合;等差数列的性质。 专题:综合题。 分析: 设
2 2 2 2


2 2 2

, 由
2 2 2 2

, 根据基本不等式 (x+y) ) ≤2(an+a2012﹣n)=2(2a1006)=4a1006,

=x +y +2xy≤x +y +x +y =2(x +y ) ,得 bn =(

由此能求出结果. 解答:解:设 ∵
2 2 2 2 2 2



, ,
2 2 2

∴根据基本不等式(x+y) =x +y +2xy≤x +y +x +y =2(x +y ) , 得 bn =(
2

) ≤2(an+a2012﹣n)=2(2a1006)=4a1006,

2

当且仅当 an=a2012﹣n 时,bn 取到最大值, 此时 n=1006,所以 k=1006. 故答案为:1006.

7

点评:本题考查数列与不等式的综合应用,具体涉及到等差数列的通项公式、基本不等式的性质等基本知 识,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

14. (2012?上海)若矩阵

满足 a11,a12,a21,a22∈{﹣1,1},且

=0,则这样的互不相

等的矩阵共有 8 个. 考点:二阶矩阵。 专题:计算题。 分析:根据题意,分类讨论,分主对角线相同、相反,即可得出结论. 解答:解:∵ ,a11,a12,a21,a22∈{﹣1,1},

∴矩阵

可以是















故答案为:8 点评:本题考查二阶矩阵,解题的关键是利用二阶矩阵的含义,属于基础题. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,选对得 5 分,否则一律得零分。 15.已知椭圆 ,则( ) D.C1 与 C2 焦距相等

A.C1 与 C2 顶点相同 B.C1 与 C2 长轴长相同 考点:椭圆的简单性质。 专题:计算题。 分析:求出两个椭圆的 a,b,c 即可判断选项. 解答:解:因为椭圆 ,所以 a=

C.C1 与 C2 短轴长相同

,b=2,c=2



椭圆

,所以 a=4,b=2

,c=2



所以两个椭圆有相同的焦距. 故选 D. 点评:本题考查椭圆的基本性质,考查计算能力. 16. (2012?上海)记函数 y=f(x)的反函数为 y=f (x) .如果函数 y=f(x)的图象过点(1,0) ,那么函 ﹣1 数 y=f (x)+1 的图象过点( ) A. (0,0) B. (0,2) C. (1,1) D. (2,0) 考点:反函数。 专题:计算题。 分析:由题意可知,y=f (x)必过点(0,1) ,从而可得答案.
﹣1 ﹣1

8

解答:解:∵y=f(x)的图象过点(1,0) , ∴其反函数 y=f (x)必过点(0,1) ,即 f (0)=1, ﹣1 ∴y=f (x)+1 的图象过点(0,2) . 故选 B. 点评:本题考查反函数的概念,理解互为反函数的两个函数的定义域与值域之间的关系(互换)是关键, 属于基础题. 17.已知空间三条直线 l、m、n.若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( ) A.m 与 n 异面 B.m 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能 考点:平面的基本性质及推论。 专题:作图题。 分析:可根据题目中的信息作图判断即可. 解答:解:∵空间三条直线 l、m、n.若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面, ∵m 与 n 可能异面(如图 3) ,也可能平行(图 1) ,也可能相交(图 2) , 故选 D.
﹣1 ﹣1

点评:本题考查平面的基本性质,着重考查学生的理解与转化能力,考查数形结合思想,属于基础题.

18. (2012?上海)设 O 为△ ABC 所在平面内一点.若实数 x、y、z 满足 x

+y

+z

=0, +y +z ≠0) (x ,

2

2

2

则“xyz=0”是“点 O 在△ ABC 的边所在直线上”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断。 专题:常规题型。 分析:画出草图,根据已知条件 x +y +z =0 移项得 x +y =﹣z ,再由 xyz=0,推出 x,y,z

只有一个为 0,再根据三角形的性质进行求解; 解答:解:∵O 为△ ABC 所在平面内一点.实数 x、y、z 满足 x ∴ +y =﹣z ,
2 2 2

+y

+z

=0(x +y +z ≠0) ,

2

2

2

若 xyz=0”则 x、y、z 中只能有一个为 0, (否则若 x=y=0,可推出 z=0,这与 x +y +z ≠0 矛盾) 假设 x=0(y、z 不为 0) ,可得 y ∴向量 和 =﹣z ,∴ ,

共线,∴O 只能在△ ABC 边 BC 上;

9

若点 O 在△ ABC 的边所在直线上,假设在边 AB 上,说明向量



共线,

∴z=0, ∴xyz=0, ∴“xyz=0”是“点 O 在△ ABC 的边所在直线上”的充要条件; 故选 C. 点评:此题以三角形和平面的向量为载体,考查了必要条件和充分条件的定义及其判断,是一道基础题. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 19. (2012?上海)如图,正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,M 为线段 AB 的中点. 求: (1)三棱锥 C1﹣MBC 的体积; (2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

考点:异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积。 专题:计算题;证明题。 分析: (1)连接 CM,根据 M 为 AB 中点,且正方形 ABCD 边长为 1,得到△ BCM 的面积为 S= S 正方形
ABCD=

.因为 CC1⊥平面 ABCD,是三棱锥 C1﹣MBC 的高,所以利用锥体体积公式,可得三棱锥 C1﹣

MBC 的体积; (2)连接 BC1,正方形 ABCD 中,因为 CD∥AB,所以∠C1MB(或其补角)为异面直线 CD 与 MC1 所 成的角.Rt△ MC1B 中,可算出 BC1= tan∠C1MB= = ,而 MB= AB= ,利用直角三角形中三角函数的定义,得到 .

,所以异面直线 CD 与 MC1 所成角为 arctan

解答:解: (1)连接 CM, ∵正方形 ABCD 中,M 为 AB 中点,且边长为 1, ∴△BCM 的面积为 S= S 正方形 ABCD= . 又∵CC1⊥平面 ABCD, ∴CC1 是三棱锥 C1﹣MBC 的高, ∴三棱锥 C1﹣MBC 的体积为:VC1﹣MBC= × ×2= ; (2)连接 BC1 ∵CD∥AB, ∴∠C1MB(或其补角)为异面直线 CD 与 MC1 所成的角.

10

∵AB⊥平面 B1C1CB,BC1? 平面 B1C1CB, ∴AB⊥BC1. Rt△ MC1B 中,BC1= ∴tan∠C1MB= = . = ,MB= AB=

所以异面直线 CD 与 MC1 所成角为 arctan

点评:本题给出一个特殊的正三棱柱,求其中的异面直线所成角和三棱锥体积,着重考查了棱锥的体积公 式和异面直线及其所成的角等知识点,属于中档题. 20. (2012?上海)某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长 度差异) . (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,求内环线列车的最小 平均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时, 外环线列车平均速度为 30 千米/小时. 现内、 外环线共有 18 列列车全部投入运行,要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟,向内、外环 线应各投入几列列车运行? 考点:函数模型的选择与应用。 专题:应用题;综合题。 分析: (1)设内环线列车的平均速度为 v 千米/小时,根据内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,可得 ,从而可求内环线列车的最小平均速度; (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18﹣x)列列车运行,分别求出内、外环线乘客最长候 车时间 , ,根据 ,解

不等式,即可求得结论. 解答:解: (1)设内环线列车的平均速度为 v 千米/小时,则要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,可 得 ∴v≥20 ∴要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,内环线列车的最小平均速度是 20 千米/小时; (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入(18﹣x)列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分 别为 t1,t2 分钟, 则 ,

11





∴ ∵x∈N+,∴x=10 ∴当内环线投入 10 列列车运行,外环线投入 8 列列车时,内外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分 钟. 点评:本题考查函数模型的构建,考查利用数学模型解决实际问题,解题的关键是正确求出乘客最长候车 时间.

21. (2012?上海)已知双曲线 C1:

. )的双曲线 C2 的标准方程; 时,求实数 m 的值.

(1)求与双曲线 C1 有相同焦点,且过点 P(4,

(2)直线 l:y=x+m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点.当 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的标准方程。 专题:综合题。 分析: (1)先确定双曲线 C1:

的焦点坐标,根据双曲线 C2 与双曲线 C1 有相同焦点,且过点 P

(4, ) ,建立方程组,从而可求双曲线 C2 的标准方程; (2)直线方程与双曲线 C1 的两条渐近线联立,求出 A、B 两点的坐标用坐标,利用数量积,即可求得实 数 m 的值. 解答:解: (1)∵双曲线 C1: ∴焦点坐标为( ,0)( , ,0) (a>0,b>0) , ) ,

设双曲线 C2 的标准方程为

∵双曲线 C2 与双曲线 C1 有相同焦点,且过点 P(4,



,解得

∴双曲线 C2 的标准方程为 (2)双曲线 C1 的两条渐近线为 y=2x,y=﹣2x 由 ,可得 x=m,y=2m,∴A(m,2m)



,可得 x=﹣ m,y= m,∴B(﹣ m, m)

12

∴ ∵ ∴m =3 ∴ 点评:本题考查双曲线的标准方程与几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量的数量积,联立 方程组是关键. 22. (2012?上海)已知数列{an}、{bn}、{cn}满足 (1)设 cn=3n+6,{an}是公差为 3 的等差数列.当 b1=1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 , .求正整数 k,使得对一切 n∈N ,均有 bn≥bk;
* 2



(3)设



.当 b1=1 时,求数列{bn}的通项公式.

考点:数列递推式;数列的函数特性。 专题:计算题;分类讨论。 分析: (1)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式,即可求出结论; (2)先根据条件得到数列{bn}的递推关系式;进而判断出其增减性,即可求出结论; (3) 先根据条件得到数列{bn}的递推关系式; 再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列{bn}的通项公式, 最后综合即可. 解答:解: (1)∵an+1﹣an=3, ∴bn+1﹣bn=n+2, ∵b1=1, ∴b2=4,b3=8. (2)∵ ∴an+1﹣an=2n﹣7, ∴bn+1﹣bn= , .

由 bn+1﹣bn>0,解得 n≥4,即 b4<b5<b6…; 由 bn+1﹣bn<0,解得 n≤3,即 b1>b2>b3>b4. ∴k=4. (3)∵an+1﹣an=(﹣1) , n+1 n ∴bn+1﹣bn=(﹣1) (2 +n) . ﹣1 n n ∴bn﹣bn﹣1=(﹣1) (2 +n﹣1) (n≥2) . 1 故 b2﹣b1=2 +1; 2 b3﹣b2=(﹣1) +2) (2 , … bn﹣1﹣bn﹣2=(﹣1) (2 +n﹣2) . n n﹣1 bn﹣bn﹣1=(﹣1) (2 +n﹣1) . 当 n=2k 时,以上各式相加得 bn﹣b1=(2﹣2 +…﹣2
2 n ﹣2 n﹣1 n﹣2 n+1

+2

n﹣1

)+[1﹣2+…﹣(n﹣2)+(n﹣1)]

13

=

+ =

+ .

∴bn= 当 n=2k﹣1 时,

=

+ + .

= =﹣

+ ﹣ +

+ ﹣(2 +n)

n

∴bn=



点评:本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用.是对数列知识的综合考察,属于难度较高 的题目.

23. (2012?上海)定义向量 “相伴向量”为

=(a,b)的“相伴函数”为 f(x)=asinx+bcosx,函数 f(x)=asinx+bcosx 的

=(a,b) (其中 O 为坐标原点) .记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S. )+4sinx,求证:g(x)∈S;

(1)设 g(x)=3sin(x+

(2)已知 h(x)=cos(x+α)+2cosx,且 h(x)∈S,求其“相伴向量”的模; (3)已知 M(a,b) (b≠0)为圆 C: (x﹣2) +y =1 上一点,向量 最大值.当点 M 在圆 C 上运动时,求 tan2x0 的取值范围. 考点:平面向量的综合题;复合三角函数的单调性。 专题:计算题;新定义。 分析: (1)先利用诱导公式对其化简,再结合定义即可得到证明; (2)先根据定义求出其相伴向量,再代入模长计算公式即可; (3)先根据定义得到函数 f(x)取得最大值时对应的自变量 x0;再结合几何意义求出 的范围,最后利 用二倍角的正切公式即可得到结论. 解答:解: (1)g(x)=3sin(x+ 其‘相伴向量’ )+4sinx=4sinx+3cosx,
2 2

的“相伴函数”f(x)在 x=x0 处取得

=(4,3) ,g(x)∈S.

(2)h(x)=cos(x+α)+2cosx =(cosxcosα﹣sinxsinα)+2cosx =﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx ∴函数 h(x)的‘相伴向量’ =(﹣sinα,cosα+2) .

14

则|

|= 的‘相伴函数’f(x)=asinx+bcosx= ,sinφ= .

=

. sin(x+φ) ,

(3)

其中 cosφ=

当 x+φ=2kπ+

,k∈Z 时,f(x)取到最大值,故 x0=2kπ+ ﹣φ)=cotφ= ,

﹣φ,k∈Z.

∴tanx0=tan(2kπ+

tan2x0=

=

=



为直线 OM 的斜率,由几何意义知: ∈[﹣ 令 m= ,则 tan2x0= ,m∈[﹣

,0)∪(0, }.

].

,0)∪(0,

当﹣

≤m<0 时,函数 tan2x0=

单调递减,∴0<tan2x0≤



当 0<m≤

时,函数 tan2x0=

单调递减,∴﹣

≤tan2x0<0.

综上所述,tan2x0∈[﹣ ,0)∪(0, ]. 点评:本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识.是对基础知识的综合 考查,需要有比较扎实的基本功.

15

参与本试卷答题和审题的老师有: lcb001;zwx097;qiss;xiaozhang;zlzhan;sllwyn;庞会丽;danbo7801;wfy814;吕静;zhwsd;俞文刚; muyiyang;席泽林。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 10 日

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