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陕西省西安市第一中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

西安市第一中学 2011-2012 学年度第一学期期中 高三年级数学( (理科)试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) x 1. 设 集 合 M ? { y | y ?| cos2 x ? sin 2 x |, x ? R} , N ? {x || |? 1 , i 为 虚 数 单 位 , i

x?R } ,则 M ? N 为( )
A.(0,1)
【答案】D 【KS5U 解析】由 y ? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ,所以 M ? { y | y ?| cos2 x ? sin 2 x |, x ? R}

B.(0,1]

C.[0,1)

D.[0,1]

? ? y | 0 ? y ? 1? ,由

x x ? x ? 1得 : ? 1? x ? 1,所以 N ? {x || |? 1, i 为虚数单位, i i

x?R } = ?x | ?1 ? x ? 1? ,所以 M ? N = ?x | 0 ? x ? 1? ,因此选 D。
2. 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计 数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分 别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则 A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙
【答案】B 【 KS5U 解 析 】 根 据 平 均 数 的 概 念 易 计 算 出 x 甲 ? x 乙 , 又 m甲 ?

B . x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

18 ? 22 ? 20 , 2

m乙 ?

27 ? 31 ? 29 ,故选 B. 2

?(a ? 3) x ? 5( x ? 1) ? 3. 已知函数 f ( x) ? ? 2a 是 R 上的减函数,则 a 的取值范是( ( x ? 1) ? x ?

)

A. (0,3)
【答案】D

B. (0,3]

C. (0, 2)

D. (0, 2]

x ( ?(a ? 3 ) ? 5x ? 1) ? 【 KS5U 解 析 】 因 为 函 数 f ( x ) ? ? 2a 是 R 上的减函数,所以 ? x ( x ? 1) ?

?a ? 3 ? 0 ? ,解得0<a ? 2 ,所以选 D。 ? 2a ? 0 ?(a ? 3) ? 5 ? 2a ?

4. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则 A. l 与 C 相交
【答案】A





B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能

2 【KS5U 解析】圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 化为标准式为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 ,点 P(3,0) 与圆心 2

的距离为 d ? ? 3 ? 2? ? ? 0 ? 0? ? 1 ? 2 ,即点 P(3, 0) 在圆内, 所以过点 P(3, 0) 的直 线 l 与 C 相交。
2 2

? 5. 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( 其中 A ? 0, ?

? ) 的图象如图所 2

示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 f (x) 的图 象 A.向右平移 ? 个长度单位
6

B.向右平移 ? 个长度单位
3

C.向左平移 ? 个长度单位
6

D.向左平移 ? 个长度单位
3

【答案】A 【KS5U 解析】法一:由图像易知: A ? 1, T ? 4 ?

2? ? 7? ? ? ? ? ? ? , 所以? ? ? 2 ,所以 T ? 12 3 ?

? 7? ? f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,把点 ? , ?1? 代入, ? 12 ?
得 sin(2 ?

7? ? ? ? ? ? ) ? ?1,因为 ? ? , 所以? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,把函数 12 2 3 3

? ? ? ? ?? ?? f ( x) ? sin(2 x ? ) 向右平移 个长度单位得到函数 y ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ? sin 2 x 的 6 3 6 ? 3? ? ?
图像,因此选 A。 法二:根据图像可知,函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图像与 x 的负半轴最靠近原点的交点坐 标为 ? ?

? ? ? ? , 0 ? ,所以要得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只需将 f ( x) 的图像 向右平移 6 ? 6 ?

个长度单位。

6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ≥2)和实数 a1 , a2 ,, aN ,输出
A , B ,(



A. A + B 为 a1 , a2 ,, aN 的和 B.
A? B 为 a1 , a2 ,, aN 的算术平均数 2

C. A 和 B 分别为 a1 , a2 ,, aN 中的最大数和最小数 D. A 和 B 分别为 a1 , a2 ,, aN 中的最小数和最大数

【答案】C 【KS5U 解析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程 序的作用是:求 a1 , a2 ,, aN 中最大的数和最小的数,其中 A 为 a1 , a2 ,, aN 中最大的数,B 为 a1 , a2 ,, aN 中最小的数。故选 C.

7. 已 知 a ? 2 ? ( c o sx(?
0

?

?
6

a ) )x, 则 二 项 式 ( x 2 ? )5 的 展 开 式 中 x 的 系 数 为 d x

( A.80
【答案】D 【 KS5U 解

) B.-10 C.10 D.-80
? ? ? ?2 ? ?

析 】

a ? 2?

?

0

? ? ? (cos( x ? ))dx ? 2 ? sin( x ? ) ? 6 6 0 ?

?

, 所 以

a 5 ?2 (x ? ) x ? 2 ? ( x x
2

) ,由二项式定理得: C ?x
5

r 5

2 5? r

?

r ? ?2 ? r 10?3r ? ?2? , 令 ? ? ? C5 x ? x ? r

a 3 10 ? 3r ? 1得r ? 3 ,所以二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中 x 的系数为 C5 ? ?2? 3 ? ?80 。 x

8.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R, f ?( x) ? 2 ,则 f(x)> 2x+4 的解集为 A.(-1,1)
【答案】B 【KS5U 解析】令 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? 4, 则g ' ? x ? ? f ' ? x ? ? 2 ? 0 ,所以 g ? x ? 在若 R 上单 调递增,又 g ? ?1? ? f ? ?1? ? 2 ? 4 ? 0 ,所以 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? 4 ? 0 的解集为(-1,

B.(-1,+ ? )

C.(- ? ,-1)

D.(- ? ,+ ? )

+?) ,即不等式 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+ ? ) 。因此选 B。 9. 在 ?ABC 中,D为BC中点,若 ?A ? 120 ? ,AB?C??1,则 AD 的最小值是 ( (A)
1 2



(B)

3 2

(C)

2

(D)

2 2

【答案】D 【KS5U解析】因为 ?A ? 120 ? ,AB?C??1,

? ? ??? ???? ? , 所以 ??? ???? ??? ???? AB ? AC = AB ? AC cos1200 ? ?1, 所以 AB ? AC =2
所以 ???? 2

? ? 2 ? ? ??? ??? ? ? 1 ??? 2 ??? 2 ? ? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? 2 ??? 2 AD ? ? AB ? AC ? ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? AB ? AC ? 2 4 ?2 ? 4 ? ??? ???? ? 1 ??? ???? 1 ? 2 AB ? AC ? 2 ? , 当且仅当 AB = AC 时取等号 4 2 10.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S ≤6,S ≥8,S ≤20,当 a 取 3 4 5 4 ) 得最大值时,数列 ?an ? 的公差为(

?

?

?

? ?

?

?

?

A 1
【答案】B 【 KS5U

B


4


C


2

D

3

S3 =a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? a1 ? a4 ? ? 8, 所以a1 ? a4 ? 4 ; S5 ? 5a3 ? 20, 所以a3 ? 4 , 令
?x ? y ? 2 ? ,因为 a2 ? 2 , a1 ? a4 ? 4 , a3 ? 4 ,所以 ? 2 x ? 3 y ? 4 , z ? a4 ? x ? 3d ,画 a1 = x , d = y ?x ? 2 y ? 4 ? ?x ? y ? 2 ? 出约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 4 的可行域,由可行域知:目标函数过点 ? ?4, 4 ? 时,有最大值,所 ?x ? 2 y ? 4 ?


S3 = ? a1

? a2 3 所以3 ? a

6 ? a2; ,

?2 2 a

当 a4 取得最大值时,数列 ?an ? 的公差为 4,因此选 B。

二.填空题(本题共 5 小题,满分共 25 分) 11. 已知 a,b, c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC=
【答案】1 【KS5U 解析】因为 A+C=2B,所以 B= 60 ,所以由正弦定理得:
0

1 3 ,所以 ? sin A sin 600

1 0 0 0 ,所以 sin A ? 30 或150(舍) ,所以 C =90 ,即sinC=1。 2 1 ? 12. 若 tan ? = ,则 cos(2? + ) = . 2 ? 4 【答案】 5 ? -2sin? cos? - 2 tan ? 4 = =- 。 【KS5U 解析】 cos(2? + )=-sin2? =-2sin? cos? = 2 2 2 ? sin ? + cos ? tan ? + 1 5 2 13.观察下面的数阵, 容易看出, 第 n 行最右边的数是 n , 那么第 20 行最左边的 数是_____________. sin A ?

【答案】362 【KS5U 解析】观察下面的数阵, 容易看出, 第 n 行最右边的数是 n 2 ,且第 n 行有

2n-1 个连续的正整数,所以第 20 行最左边的数是 202 ? (2 ? 20 ? 2) ? 362 。 14.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次 出现的点数为 n. 向量 p =(m,n), q = (3,6), 则向量 p 与 q 共线的概率为
【答案】



1 12

【KS5U 解析】将一颗骰子掷两次,记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数

为 n, 其结果共有 36 种情况。 若向量 p 与 q 共线, 6m-3n=0,即n=2m , 则 满足 n=2m 1 的共有 3 种情况,所以其概率为 12 。 15、 (注意:只能从下列 A,B,C 三题中选做一题,如果多做,则按第一题记分)

? x ? 2 ? 3cos ? A.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线 C 的参数方程为 ? (? 为 ? y ? ?1 ? 3sin ?
参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上的动点 P ( x, y ) 到直线 l 距

离的最大值为



【答案】 3 ?

7 10 10

【KS5U 解析】把曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos? ( ? 为参数)化为普通方程为 y ? ?1 ? 3sin? ?

? x ? 2?

2

? ? y ? 1? ? 9 ,表 示 以 C(2 ,-1 )为圆心 ,半径等 于 3 的 圆.圆 心到直线
2

x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为
最大值为 3 ?

2?3? 2 12 ? 32

?

7 10 ,则曲线 C 上的动点 P(x,y)到直线 l 距离的 10

7 10 7 10 ,故答案为 3 ? 。 10 10

B. (不等式选讲选做题) 若存在实数 x 满足不等式 | x ? 3| ? | x ? 5|? m2 ? m ,则实数 m 的取值范围为
【答案】 (??, ?1) ? (2, ??) 【KS5U 解析】由于 x ? 3 ? x ? 5 表示数轴上的 x 对应点到 3 和 5 对应点的距离之和,它的 最 小值 等于 2 ,而存 在实 数 x 满足不 等式 | x ? 3| ? | x ? 5|? m2 ? m , 故 m ? m 应 大于
2



x ? 3 ? x ? 5 的最小值 2,即 m 2 ? m >2,解得 m<-1 或 m>2,故答案为(-∞,-1)∪
(2,+∞) .

C. (几何证明选讲选做题)如图, PC 切 ? O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 OE CD ? AB 于点 E . 已知 ? O 的半径为 3,PA ? 2 , PC ? 则 . ? .
C

B

O

E D

A

P

9 5 【KS5U 解析】由圆的切割线定理可得 PC2=PA?PB=2(2+6)=16,∴PC=4.由圆的切线性质 可得,△POC 为直角三角形,设它的面积为 S,则 S=1 2×OC×PC=1 2×CE×PO,
【答案】 4, 即 1 2×3×4=1 2×CE×(2+3),解得 CE ?
2 2

12 . 5
2

9 ? 12 ? 9 再由勾股定理可得 OE ? OC ? CE ? 9 ? ? ? ? ,故答案为 4, . 5 5 ? 5? 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)

16、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 .

(I)求 {an } 的通项 an ; (II)设 cn ?
5 ? an , bn ? 2cn ,求 T ? log2 b1 ? log2 b2 ? log2 b3 ? ?? log2 bn 的值。 2

17. 如图,在某港口 A 处获悉,其正东方向 20 海里 B 处有一艘渔船遇险等待营 救,此 时救援船在港口的南偏西 300 据港口 10 海里的 C 处,救援船接到救援命 令立即从 C 处沿直线前往 B 处营救渔船. (Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离; (Ⅱ)试问救援船在 C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援?(已知 cos490 ? 21 ).
7
A 10 20 B



18.如图所示的多面体, 它的正视图为直角三角形, 侧视图为 正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示) 为 VB ,E 的中点. (1)求证:VD∥平面 EAC; (2)求二面角 A—VB—D 的余弦值.

C

30°

19.经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下: 排队人数 0~5 6~10 11~15 概率 排队人数 概率 0.1 16~20 0.25 0,15 21~25 0.2 0.25 25 人以上 0.05

(1) 每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? (2) 一周 7 天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大 于 0.75,商场就需要增加结算窗口。请问:该商场是否需要增加结算窗 口?

20. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上 2

的点到焦点的最短距离为 1 ?

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交 2

于相异两点 A、B,且 AP ? 3PB.(1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围.
a -2lnx x (1)若函数 f(x)在其定义域内为递增函数,求实数 a 的取值函数; ( 2 ) 若 函 数 f(x) 的 图 像 在 x=1 处 的 切 线 的 斜 率 为 0 , 并 且 ? ? ? ? 1 1 ? ? n 2 ? 1(n ? N ? ) .①若 a1≥3,试证明 an ? n ? 2 ; a n?1 ? f ' ? ? a ? n ? 1? 4 ? n ? 2 ? ?

21.已知函数 f(x)=ax-

②若 a1=4,试比较 由。

2 1 1 1 1 与 的大小,并说明你的理 ? ? ??? 5 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an

西安市第一中学 2013 届数学(理科)答案 一 、选择题 题号 1 2 答案 D B 二、填空题 11. 14、 1
1 12

3 D
4 5

4 A

5 A 13. 362

6 C

7 A

8 C

9 D

10 B

12、 -

15,A. 3 ?

7 10 10

B.

(??, ?1) ? (2, ??)

C. 4,

9 5

三、解答题

?a ? d ? 1 16、 (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 1 , --------------------2 分 ?a1 ? 4d ? ?5
解得 a1 ? 3 , d ? ?2 .所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 .--------- 6 分 (Ⅱ)∵ an ? ?2n ? 5 ,∴ cn ? ∴ bn ? 2cn ? 2n
5 ? an 5 ? (?2n ? 5) ? ?n 2 2

----------------------------------------------- - 8 分

∴ T ? log2 b1 ? log2 b2 ? log2 b3 ? ?? log2 bn

? log2 2 ? log2 22 ? log2 23 ??? log2 2n
? 1? 2 ? 3 ?? ? n ? n(n ? 1) -------------------12 分 2

17、解:(Ⅰ)

由题意得: ?ABC 中, AB ? 20, AC ? 10, ?CAB ? 1200 , ……………3 分

? CB 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos?CAB

即 CB 2 ? 202 ? 102 ? 2 ? 20?10cos1200 ? 700, BC ? 10 7 ,所以接到救援 命令时救援船据渔船的距 离为 10 7 海里. ( Ⅱ ) ?A B C中 , ……………6

AB ? 20, BC ? 10 7 , ?CAB ? 1200 , 由 正 弦 定 理 得

AB BC 20 10 7 21 ? 即 ……… ? ? sin ?ACB ? 0 sin ?ACB sin ?C A B sin ?ACB sin ?120 7

9分
? cos 490 ? sin 410 ? 21 ,? ?ACB ? 410 ,
7

故救援船应沿北偏东 710 的方向救援.

…………… 12 分

18.解:(1)由正视图可得:平面 VAB⊥平面 ABCD,连接 BD 交 AC 于 O 点,连 EO, 由已知可得 BO=OD,VE=EB ∴ VD∥EO ---------------------------------------------4 又 VD ? 平面 EAC,EO ? 平面 EAC ∴ VD∥平面 EAC ---------------------------------------------------6 (2)设 AB 的中点为 P,则由题意可知 VP⊥平面 ABCD, 建立如图所示坐标系 设 n =(x,y,z)是平面 VBD 法向量,

BD =(-2,2,0)

VB ? (1,0,? 3)

PO ? (0,1,0) --------------------------8
由 n ? BD , n ? VB
?? 2 x ? 2 y ? 0 ∴? ? x ? 3z ? 0

n ? ( 3, 3,1) -------------------------10
∴二面角 A—VB—D 的余弦值 cos ? ?
n ? PO | n | ? | PO | ? 21 7

------------------12

19.解: (1)每天不超过 20 人排队结算的概率 P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75. 即 不 超 过 20 人 排 队 结 算 的 概 率 是 0.75.----------------------------------------5 1 (2)每天超过 15 人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05= --------7 2 0 1 一周 7 天中,没有出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 ( ) 7 ; 2 1 1 6 1 一周 7 天中,有一天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 7 ( )( ) 2 2 1 1 一周 7 天中,有两天出现超过 15 人排队结算的概率为 C 72 ( ) 2 ( ) 5 --------10 2 2 所以由 3 天或 3 天以上出现超过 15 人排队结算的概率为
99 1 1 1 0 1 1 1 1—[ C 7 ( ) 7 + C 7 ( )( ) 6 + C 72 ( ) 2 ( ) 5 ]= >0.75 2 128 2 2 2 2 所以,该商场需要增加结算窗口.----------------------------12
y2 x2 2 c 2 20.解: (1)设 C:a2+b2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c=1- 2 ,a= 2 , 2 x2 ∴a=1,b=c= 2 故 C 的方程为:y2+ 1 =1 --------------------------4 2 (2)当直线斜率不存在时: m ? ?

1 --------------------------------------------------6 2

? y ? kx ? m 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0 --------------8 ?? 2 2 ?2 x ? y ? 1
2 2 2 2 ( 2 ? Δ =(2km) -4(k +2) m -1)=4(k -2m +2)>0 (*)

当直线斜率存在时:设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

x1+x2=

-2km ,① k2+2

x1x2=

m2-1 k2+2



→ ∵ AP =3PB

∴-x1=3x2 ③

---10

由①②③消去 x1,x2,∴3(

-2km 2 m2-1 ) +4 2 =0……9 分整理得 4k2m2+2m2-k2 2 k +2 k +2

-2=0 1 1 2-2m2 2-2m2 1 2 2 2 m = 时,上式不成立;m ≠ 时,k = 2 , ∴k = 2 ? 0,∴ ? 1 ? m ? ? 4 4 4m -1 4m -1 2
2

2-2m 1 1 1 或 ? m ? 1 把 k2= 2 代入(*)得 ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 4m -1 2 2 2 -----12 ∴ ?1 ? m ? ?
1 1 1 或 ? m ? 1 … … 11 分 , 综 上 m 范 围 为 ?1 ?m ? ? 或 2 2 2

2

1 ? m ?1 2 -------------------------------------------13

ax2 ? 2 x ? a 21.解:(1)由 f(x)可得 f (x)= , a
'

∴f ' (x)≥0 在(0,+∞)恒成立

2x 在(0,+∞)恒成立 x ?1 故 a≥1--------------------------------------6 (2)∵函数 f(x)的图像在 x=1 处的切线的斜率为 0

∴ax2-2x+a≥0 恒成立,



a≥

2

∴f ' (1)=0,即 a+a-2=0,解得 a=1

?1 ? ∴f (x)= ? ? 1? ?x ?
'

2

∴ a n ?1

? ? ? ? 1 1 ? ? n2 ?1 ? f '? n ? a ? ? 1? 4 ? n ? 2 ? ?

n? 1 ? = ? an ? ? ? n 2 ? 1 2? 4 ?

2

2 = an ? nan ? 1(n ? N ? ) ---------------------------8

① 用数学归纳法证明: (ⅰ)当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立。 (ⅱ)假设 n=k 时,不等式成立,即 ak≥k+2,那么 ak-k≥2>0, ∴ak+1=ak(ak-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2>k+3, 综上述可知,对于所有 n≥1 都有 an ? n ? 2 ②

an?1 ? an (an ? n) ? 1











k



2





ak ? ak ?1 (ak ?1 ? k ? 1) ? 1 ? ak ?1 (k ? 1 ? 2 ? k ? 1) ? 1 ? 2ak ?1 ? 1
∴ ak ? 1 ? 2(ak ?1 ? 1) ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ------------------------------10 ∵ a1=4 , ∴
1 1 , 于 是 当 ? a1 ? 1 5

k ≥ 2

时 ,

1 2 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? k ?1 , a k ? 1 a1 ? 1 2 5 2



1 1 1 1 1 1 1 1 ≤ ? ? ??? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an a1 ? 1 2 2 2
2 2 1 = (1 ? n ) < 5 5 2