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河北省衡水中学10-11学年高二下学期期末考试(数学理)

衡水中学 2010—2011 学年度第二学期期末考试 高二年级理科数学试卷

第 I 卷 选择题 (共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1、已知集合 A ? x x ? ?1或x ? 1 , B ? x log2 x ? 0 , 则A ? B ? ( A. x x ? 1

?

?

?

?



?

?

B. x x ? 0

?

?

C. x x ? ?1 D. x x ? ?1或x ? 1

?

?

?

?


2、已知向量 a =(3,4), b =(2,-1),如果向量 a ? xb 与 ? b 垂直,则 x 的值为( A. ?

2 5
? 3 2

B.

23 3

C.

3 23

D.2

3、已知 P ? 2

2 1 , Q ? ( )3 , R ? ( )3 ,则 P 、 Q 、 R 的大小关系是( 5 2
B. Q ? R ? P C. Q ? P ? R D. R ? Q ? P



A. P ? Q ? R

4、 (原创)已知 {an } 是等差数列, a2 ? a4 ? 10, a5 ? a7 ? 22 ,则 S6 ? S2 等于( A.26 B.30 C.32 D.36 )



5、在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是(

? x ? 3x ' ? (A.)? A 1 ' ?y ? y 2 ?

? x ' ? 3x ? (B. )? ' 1 B ?y ? y 2 ?

? ? x ? 3x (C ) ? C. ?y ? 2y' ?
'

? ' ? x ? 3x ( D)? ' D. ?y ? 2y ?


6、下列函数中,图像的一部分如右上图所示的是( A. y ? sin( x ?

?
6

)

B. y ? sin(2 x ?

?
6

)

C. y ? cos(4 x ?

?

) D. y ? cos(2 x ? ) 3 6
第 7 题图

?

7.给出如下四个命题:

2 2 ① x ? y ? z ?| xy |?| yz | ;② a x ? a y ? x ? y ;③ a ? b, c ? d , abcd ? 0 ?

a b ? ; c d



1 1 ? ? 0 ? ab ? b 2 .其中正确命题的个数是( ) a b
A.1 B.2 C.3 D.4

8、 如图: 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体, 他们的样本平均数分别为 x A 和 x B , 样本标准差分别为 sA 和 sB ,则( )

A. x A ? x B , sA ? sB B.

x A ? x B , sA ? sB

C. x A ? x B , sA ? sB D. x A ? x B , sA ? sB 9、 (原创)右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测 成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均 概率是( A. ) B. 评中的 成绩的

2 5

7 10

C.

4 5

D.

9 10

10、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示,则该几何体 的表面积和体积分别为(
4 A. 2 2? ? 2? ? 4和 ? 3
4 C. 2 2? 和 ? 3


4 B. 2 2? ? 2? 和 ? 3
8 D. 2 2? 和 ? 3

11、若直线 y ? kx ? 4 ? 2k 与曲线 y ? 4 ? x 2 有两个交点,则 k 的取 值范围是( A.[1,+∞) ) . B. [-1,3 ) 4

第 10 题图

C. (

3 ,1] 4

D.(-∞,-1]

12、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.0 B.1 C.-1

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2012)的值为( ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D.2

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知 x ? 0, y ? 0,lg 2 ? lg8 ? lg 2, 则
x y

1 1 ? 的最小值是 x 3y

14、(改编)在区间 [0, 2] 上随机取一个数 x , sin

?x
2

的值介于 0 到

3 之间的概率为__________ 2


15 、 如 右 图 , 圆 锥 SO 中 , AB 、 CD 为 底 面 圆 的 两 条 直 径 ,

AB ? CD ? O ,且 AB ? CD , SO ? OB ? 2 , P 为 SB 的中点.
面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为 .

16、 (原创)已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3, C (4, , (x, 在四边形 ABCD 的内部 -2) 点 y) (包括边界) 则 z=2x-5y , 取值范围是___________; 第 15 题图 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17、 (本题满分10分)设 ?ABC 的内角A、B、C所对的边长分别为 a, b, c ,且 cos B ? (1)当 A ? 30 时,求 a 的值.
?

4) , 的

4 ,b ? 2 。 5

(2)当 ?ABC 的面积为3时,求 a ? c 的值. 18、 (本题满分 12 分)为了让学生等多的了解“数学史”知识,某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的 足迹,倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞赛,为了解本次竞赛的成 绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,统计结果见下表。请你 根据频率分布表解答下列问题: (1)填充频率分布表中的空格。 (2)为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识,成绩不低于 85 分的同学能获奖,请估计在参加的 800 名学生中大概有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图,求输出的 S 的 值.

19、 (本题满分 12 分)过点 P ?

? 10 ? 2 2 ? ? 2 ,0 ? 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x ? 2 y ? 1 交于点 M , N ,求 ? ?

PM PN 最小值及相应的 ? 值.

20、 (本题满分 12 分) 如图所示,已知 AD 是 ?ABC 的外角 ?EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D, 延长 DA 交 ?ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC (1)求证: FB ? FC (2)求证: FB ? FA ? FD
2

(3)若 AB 是 ?ABC 外接圆的直径, ?EAC ? 120 BC=6cm,求 AD 的长.

0

21、 (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 为等差数列, a3 ? 5 , a7 ? 13 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且有

S n ? 2bn ? 1
(1)求 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? an bn , ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

22、 (本题满分12分)对于函数 y ? f (x ) ,若存在 x 0 ? R ,使得 f (x 0 ) ? x 0 成立,称 x 0 为不动点,已 知函数 f (x ) ? ax ? (b ? 1)x ? (b ? 1), (a ? 0)
2

(1) 当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f (x ) 不动点; (2) 若对任意的实数 b ,函数 f (x ) 恒有两个相异的不动点,求a的取值范围; (3) 在(2)的条件下,若 y ? f (x ) 图象上A,B两点的横坐标是函数 f (x ) 不动点,且 A , B 两点 关于直线 y ? kx ?

1 2a ? 1
2

对称,求b的最小值.

衡水中学 2010—2011 学年度第二学期期末考试(理科答案)

1-12AABCB 13、4 17、

DBBCA 14、

BC 15、 2 16、 ?? 14.20?

2 3

18、

? 19、解:设直线方程为 ?x ? ? ?

?

10 ? t cos? ,将其代入 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,并整理得, 2 y ? t sin ?
3 3 ? 0 ,则 PM PN ? t 1t 2 ? 2 2(1 ? sin 2 ? )
2

?1 ? sin ? ?t
2

2

? 10t cos ? ?

又直线与曲线相交,则 ? ? 10 cos ? ? 4 ? 得 sin ? ?
2

3 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 0 2

1 4 1 ? 5? 而当 sin ? ? (0 ? ? ? ? ) ,即 ? ? 或 时, 2 6 6 6 PM PN 有最小值 5

20. (1)证明:∵AD 平分 ?AEC ,∴ ?EAD ? ?DAC , ∵ 四边形 AFBC 内接与圆,∴ ?EAD ? ?FAB ? ?FCB ∴ ?FBC ? ?FCB ∴ FB ? FC (2) ∵ ?FBC ? ?FAB ? ?FCB ?AFB ? ?BFD ∴ ?FBA 与 ?FDB ,

FB FA 2 ? ,∴ FB ? FA ? FD FD FB
0

(3) AB 是 ?ABC 外接圆的直径,∴ ?ACB ? 90
0 ∵ ?EAC ? 120 ,∴ ?DAC ?

1 ?EAC ? 60 0 , ?BAC ? 600 2

∴ ?D ? 30

0

∵ BC ? 6, AC ? 2 3 , AD ? 2AC ? 4 3

21、解: (1)∵ ?an ? 是等差数列,且 a3 ? 5 , a7 ? 13 ,设公差为 d 。 ∴?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 , 解得 ? ?d ? 2 ?a1 ? 6d ? 13
(n? N )
?

∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 在 ?bn ? 中,∵ S n ? 2bn ? 1

?2 分

当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1 ,∴ b1 ? 1 当 n ? 2 时,由 S n ? 2bn ? 1 及 S n?1 ? 2bn?1 ? 1 可得

bn ? 2bn ? 2bn?1 ,∴ bn ? 2bn?1
∴ ?bn ? 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 ∴ bn ? 2 n?1 (n? N )
?

?4 分

(2) cn ? an bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1

Tn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1



2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n

2(1 ? 2 n ?1 ) ? 1? 2? ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 4(2 n?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n

? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n
∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 (n? N )
2
?

-----8 分

22、解: (1)当 a ? 1, b ? ?2 时, f (x ) ? x 所以 f (x ) 的不动点是-1,3

? x ? 3 ,令 x ? x 2 ? x ? 3 ,解之得 x 1 ? ?1, x 2 ? 3

(2) f (x ) ? ax 2 ? (b ? 1)x ? (b ? 1) 恒有两个不动点,所以 x ? ax 2 ? (b ? 1)x ? (b ? 1) , 即 ax 2 ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒 有 两 个 相 异 实 根 , 得 ? ? b ? 4ab ? 4a ? 0 恒 成 立 。 于 是
2

?' ? ?4a ? ? 16a ? 0 解得 0 ? a ? 1
2

所以a的取值范围为 0 ? a ? 1 (3)由题意,A、B两点应在直线 y ? x 上, 设A ?x 1 , x 1 ?, B ?x 2 , x 2 ? ,因为AB关于直线 y ? kx ?
2

1 2a ? 1
2

对称,所以 k ? ?1

设AB中点为M ?x 0 , y 0 ? ,因为 x 1 , x 2 是方程 ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 的两个根。 所以 x 0 ? y 0 ?

x1 ? x 2 b ?? 2 2a
1 2a ? 1
2

于是点M在直线 y ? ? x ?

上,代入得 ?

b b 1 ? ? 2 2a 2a 2a ? 1

即b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 2 2

??

2 4

当且仅当 2a ?

1 2 即a ? ? ?0,1?时取等号。 a 2

故 b 的最小值为 ?

2 4