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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数)


第4讲 指数与指数函数

【2013年高考会这样考】 1.考查指数函数的图象与性质及其应用. 2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图 象的应用. 3.以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算或 比较大小.

【复习指导】 1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运 算能力是高考得分的保障,所以熟练掌握这一基本技能是重中 之重. 2.本讲复习,还应结合具体实例了解指数函数的模型,利用 图象掌握指数函数的性质.重点解决:(1)指数幂的运算;(2) 指数函数的图象与性质.

基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n>1且,n∈N*),那么这个数叫做a 的n次方根.也就是,若 中n>1且n∈N .式子 被开方数.
*

xn=a

,则x叫做a的n次方根,其

n

a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做

(2)根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根 是一个负数,这时,a的n次方根用符号 n a 表示.

②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这 时,正数的正的n次方根用符号 n n a 表示,负的n次方根用符号

n - a 表示.正负两个n次方根可以合写为± a(a>0).

? ③? n ?

?n ? a? =

a

. n .
?a ? ? ?-a ?

④当n为奇数时, an= a 当n为偶数时, a = |a|= ⑤负数没有偶次方根. n
n

?a≥0?, ?a<0?.

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an= ②零指数幂:a0=1(a≠0). 1 ③负整数指数幂:a = p (a≠0,p∈N*). a
-p

(n∈N*).

m n m ④正分数指数幂:a = a (a>0,m、n∈ N*,且n>1). n

m 1 ⑤负分数指数幂:a- n = m = an >1).

1 n am

(a>0,m、n∈N*,且n

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras= ②(a ) = ③(ab) =
r r s

ar+s ars
arbr

(a>0,r、s∈Q). (a>0,r、s∈Q). (a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 值域

R

(0,+∞)

过定点 当x>0时, 当x>0 ;

(0,1)

y>1
性质

时, 0<y<1 x<0时, y>1



x<0时,0<y<1

在(-∞,+∞)上 在(-∞,+∞)上是 是 增函数

减函数

一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相 互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算. 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通 常对底数a按:0<a<1和a>1进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围.

三个关键点 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
? 1? (1,a),(0,1),?-1,a?. ? ?

双基自测 1.(2011· 山东)若点(a,9)在函数y=3 的图象上,则tan 为( A.0 解析 答案
a x

aπ 的值 6

). 3 B. 3 C.1 D. 3

aπ π 由题意有3 =9,则a=2,∴tan =tan = 3. 6 3 D

2.(2012· 郴州五校联考)函数f(x)=2|x 1|的图象是(



).

?2x 1,x≥1, ? 解析 f(x)=??1?x-1 故选B. ??2? ,x<1, ?? ?


答案 B

1 3.若函数f(x)= x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( 2 +1 A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值 解析 设y=f(x),t=2x+1, B.单调递减有最小值 D.单调递增有最大值

).

1 则y= t ,t=2x+1,x∈(-∞,+∞) t=2x+1在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞). 1 因此y= t 在(1,+∞)上递减,值域为(0,1). 答案 A

4.(2011· 天津)已知a=5log23.4,b=5log43.6,c= 则( ).

?1? ? ? ?5?

log30.3,

A.a>b>c C.a>c>b 解析 c=
?1? ? ? ?5?

B.b>a>c D.c>a>b 10 log30.3=5-log30.3=5log3 3 ,log23.4>log22=

10 1,log43.6<log44=1,log3 3 >log33=1, 10 10 10 又log23.4>log2 3 >log3 3 ,∴log2 3.4>log3 3 >log4 3.6 又∵y=5x是增函数,∴a>c>b. 答案 C

1 1 5.(2012· 天津一中月考)已知a +a- =3,则a+a-1= 2 2 ______;a2+a-2=________. 1 12 解析 由已知条件(a +a- ) =9.整理得:a+a-1=7 2 2 又(a+a 1)2=49,因此a2+a 2=47. 答案 7 47
- -

考向一

指数幂的化简与求值

【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数).

[审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键.

化简结果要求 (1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; (2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表 示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又 有负指数幂.

【训练1】 计算:

考向二 指数函数的性质
? 1 1? 3 ? 【例2】?已知函数f(x)=?ax-1+2?· (a>0且a≠1). ?x ? ?

(1)求函数f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的奇偶性; (3)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立. [审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变

形;恒成立问题可通过求最值解决.

解 (1)由于ax-1≠0,且ax≠1,所以x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}. (2)对于定义域内任意x,有
? 1 1? ? f(-x)=?a-x-1+2?(-x)3 ? ? ? ? ax ? 1? 1 1? ? ? ? 3 =?1-ax+2?(-x) =?-1-ax-1+2?(-x)3 ? ? ? ? ? ? 1 1? 3 ? =?ax-1+2?x =f(x), ? ? ?

∴f(x)是偶函数.

(3)当a>1时,对x>0,由指数函数的性质知ax>1, 1 1 ∴a -1>0, x + >0. a -1 2
x

1 1? 又x>0时,x >0,∴x ?ax-1+2?>0, ? ? ?
3 3?

?

即当x>0时,f(x)>0. 又由(2)知f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x), 则当x<0时,-x>0,有f(-x)=f(x)>0成立. 综上可知,当a>1时,f(x)>0在定义域上恒成立.

?ax+1?x3 当0<a<1时,f(x)= x . 2?a -1? 当x>0时,1>ax>0,ax+1>0, ax-1<0,x3>0,此时f(x)<0,不满足题意; 当x<0时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上可知,所求a的取值范围是a>1.

(1)判断此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变 f?x? 形,以达到所需要的形式,另外,还可利用f(-x)± f(x), f?-x? 来判断. (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立 问题的常用方法.

e x a 【训练2】 设f(x)= a + -x是定义在R上的函数. e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性. 解 (1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,
?e a? ex a ? ∴f(-x)=-f(x),即 + x=-? a + -x?, a e e ? ? ?
-x



? 1? x -x 整理得?a+a?(e +e )=0, ? ?

1 即a+a=0,即a2+1=0显然无解. ∴f(x)不可能是奇函数.

(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
x ex a e a 即 a +ex= a + -x, e


? 1? x -x 整理得?a-a?(e -e )=0, ? ?

1 又∵对任意x∈R都成立,∴有a-a=0,得a=± 1. 当a=1时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性,

任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1- ex2-e-x2 ?ex1-ex2??ex1+x2-1? = , ex1+x2 ∵x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2, ∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), e-x a ∴函数f(x)= a + -x, e 当a=1时在(0,+∞)为增函数, 同理,当a=-1时,f(x)在(0,+∞)为减函数.

考向三 指数函数图象的应用 ex+e-x 【例3】?(2009· 山东)函数y= x -x的图象大致为( e -e ).

[审题视点] 性、单调性.

函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶

解析

e2x+1 2 y= 2x =1+ 2x ,当x>0时,e2x-1>0且随着x的 e -1 e -1

2 增大而增大,故y=1+ 2x >1且随着x的增大而减小,即函 e -1 数y在(0,+∞)上恒大于1且单调递减,又函数y是奇函数,故 选A. 答案 A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象 ax-1 ex-e-x 和性质,比如:函数y= x ,y= 2 ,y=lg(10x-1)等. a +1

【训练3】 已知方程10x=10-x,lg x+x=10的实数解分别为 α和β,则α+β的值是________. 解析 作函数y=f(x)=10x,y=g(x)=lg x,y=h(x)=10-x的

图象如图所示,由于y=f(x)与y=g(x)互为反函数, ∴它们的图象是关于直线y=x对称的. 又直线y=h(x)与y=x垂直, ∴y=f(x)与y=h(x)的交点A和y=g(x)

与y=h(x)的交点B是关于直线y=x对称的.而y=x与y=h(x)的 交点为(5,5).又方程10x=10-x的解α为A点横坐标,同理,β 为B点横坐标. α+β ∴ =5,即α+β=10. 2 答案 10

难点突破3——如何求解新情景下指数函数的问题
高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景 中的问题,题目除最基本问题外,注重考查一些小、巧、活的 问题,突出考查思维能力和化归等数学思想.

一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011· 福建五市模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)

内有定义.对于给定的正数K,定义函数fK(x)=
?f?x?,f?x?≥K, ? ? ?K,f?x?<K, ?

取函数f(x)=2+x+e x,若对任意的x



∈(-∞,+∞),恒有fK(x)=f(x),则K的最大值为________.

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】? 若f1(x)=3|x 1|,f2(x)=2·|x a|,x∈R,且f(x)= 3
?f ?x?,f ?x?≤f ?x?, ?1 1 2 ? ?f2?x?,f1?x?>f2?x?, ?
- -

则f(x)=f1(x)对所有实数x成立,则实数a

的取值范围是________.

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