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新课标高中数学人教A版必修1全册导学案及答案(105页)

1.1.1 集合与元素
军训前学校通知:8 月 13 日 8 点,高一年级在操场集合进行军训动员;试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生? 初中时你听说过“集合”这一词吗?你在学习那些知识点中提到了“集合” 这一词? 问题 1:总结出集合与元素的概念: 问题 2:集合中元素的三个特征: 问题 3:集合相等: 如果 , 则集合 A 与集合 B 中的元素是 一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 。 集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的元素用小写 的拉丁字母 a,b,c,?表示。 例 1.请用列举法表示下列集合: (1)小于 5 的正奇数。 (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数。 (3)方程 x ? 9 ? 0 的解的集合。
2

问题 4.用列举法能表示元素个数无限个的集合吗?举例说明?

问题 5. 什么样的集合适合用列举法表示? 描述法的定义: 例 2.试分别用列举法和描述法表示下列集合: 2 (1)方程 x -3=0 的所有实数根组成的集合。 (2)由大于 10 小于 30 的所有整数组成的集合。

问题 6.什么样的集合适合用描述法表示?一个集合是否既能用列举法表示,又能用描述法表 示?并举例说明。 问题 7.集合 {x | x >3 } 与集合 {t | t >3 } 是否表示同一个集合? 问题 8:元素与集合之间的关系? 例 1:设 A 表示“1----20 以内的所有质数”组成的集合,则 3、4 与 A 的关系? 关 系 属 于 不属于 问题 9:常用数集及其记法: 数集名称 符号名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 文字语言 符号语言

-1-

例 3:若 x ? N ? ,则 x ? N ,对吗? 达标检测: 1.判断以下元素的全体是否组成集合: (1)大于 3 小于 11 的偶数; ( ) (2)我国的小河流; (3)非负奇数; ( ) (4)本校 2009 级新生; (5)血压很高的人; ( ) (6)著名的数学家; (7)平面直角坐标系内所有第三象限的点 ( ) 2.用“∈”或“ ? ”符号填空: (1)8 N; (2)0 N; (3)-3 Z; (4) 2

( ( (

) ) )

Q;

(5) 设 A 为所有亚洲国家组成的集合, 则中国 A, 美国 A, 印度 A, 英国 A; 3.下面有四个语句:①集合 N 中最小的数是 1;②若 ? a ? N ,则 a ? N ;③若 a ? N ,b ? N , 则 a ? b 的最小值是 2;④ x ? 4 ? 4 x 的解集中含有 2 个元素;
2

其中正确语句的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知集合 S 中的三个元素 a,b,c 是 ? ABC 的三边长,那么 ? ABC 一定不是 ( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 5. 已知集合 A 含有三个元素 2,4,6,且当 a ? A ,有 6-a∈A,那么 a 为 ( ) A.2 B.2 或 4 C.4 D.0 2 6. 设双元素集合 A 是方程 x -4x+m=0 的解集,求实数 m 的取值范围。 2 7. 已知集合 A 由 1,x,x 三个元素构成,集合 B 由 1,2,x 三个元素构成,若集合 A 与集合 B 相等, 求 x 的值。

8.方程组 ?

?x ? y ? 2 的解集用列举法表示为________;用描述法表示为 ?x ? y ? 5
。 A (2)—7 A



9. {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} 用列举法表示为 10.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z }, 用 ? 或 ? 符号填空: (1)5

11.集合 M={(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}是指 A 第一象限内的点集 B 第三象限内的点集 C 第一、三象限内的点集 D 第二、四象限内的点集 12.用列举法将集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}可以表示为 A.{{1,1},{1,2},{2,1},{2,2}} B.{1,2} C.{(1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2)} D.{(1,2)} 13.已知集合 A={-2,-1,0,1},集合 B={y|y=|x|, x∈A},则 B= 14.已知集合 A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A 且 a∈B 则 a 为 15.试选择适当的方法表示下列集合: (1)由所有小于 10 的既是奇数又是素数的自然数组成的集合; (2)不等式 x-3>2 的解的集合; 2 (3)二次函数 y=x -10 图像上的所有的点组成的集合;

-2-

1.1.2 集合间的基本关系
1. 子集的定义: 一般地,对于两个集合 A,B, ,我们 说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集。 记作: A ? B(或B ? A) 。 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A。 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A B。 B(A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含” B A 注:Venn 图是解决复杂的关于集合问题的有力工具。 2. 真子集定义: 若集合 A ? B ,但存在 ,则称集合 A 是集合 B 的真子集, 记作: 。 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 。 空集定义: 称为空集,记作: ? 。 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

?; ?

??? ; ?0?

???

3. 几个重要的结论: (1) 空集是任何集合的子集; (2) 空集是任何非空集合的真子集; (3) 任何一个集合是它本身的子集; (4) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 说明: 1. 注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的 关系; 2. 在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 A1.填空: ? {2} (1) .2 N; N; A; (2) .已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C B2.判断题 (1)空集没有子集。 (2)空集是任何集合的子集。 (3)任一集合必有两个或两个以上的子集。 (4)若 B ? A ? ? ,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B。 B3.以下五个式子中错误的个数是
2

( ( ( ( (

) ) ) ) )

①{1} ? {1,2,3} ②{1,-3}={-3,1} ③{1,2,0} ? {1,0, 2} ④ ? ? {0,1, 2}⑤ ? ? {0} B4.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3, m
2

}.若 B ? A,则实数 m=_______.

B5.写出集合 {a, b, c} 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。 思考:集合 A 中含有 n 个元素,那么集合 A 有多少个子集?多少个真子集? C6.集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 , B
2

?

?

?

?

A,求 m 的值。

D7.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B , 求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

-3-

1.1.3 集合的基本运算
1.并集的定义: 一般地, 集。记作: 用 Venn 图表示: , 叫做集合 A 与集合 B 的并

A ? B ? ? x x ? A, 或x ? B?

(读作: “A 并 B” ) ,即

这样,在思考 1 中,集合 A,B 的并集是 C,即 A? B = C 说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。 讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B B∪A A∪B=A ? , A∪B=B ? . 巩固练习: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ; ②.设 A={锐角三角形},B={钝角三角形},则 A∪B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B= 。 2.交集的定义: 一般地, 记作 (读“A 交 B” )即: A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 与 B 的交集)

;

叫作集合 A、 B 的交集,

常见的五种交集的情况: A B

BA

A(B)

A

B

A

B

讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩Ф =

A∩B

B∩A

A∩B=A ? A∩B=B ? 巩固练习: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ; ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ; ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 。 3.全集的定义: 一般地, 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集, 记作 U,全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 4.补集的定义: 对于一个集合 A, ,叫作集合 A 相对于全集 U 的补集,记作: 读作: “A 在 U 中的补集” ,即 CU A ? x x ?U , 且x ? A 用 Venn 图表示: (阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)

?

?

-4-

讨论:集合 A 与 CU A 之间有什么关系?→借助 Venn 图分析。

A ? CU A ? ? CUU ? ?,

A ? CU A ? U , CU ? ? U

CU (CU A) ? A

巩固练习 ①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A =

, CU B =

; ; 。

②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A =

A2.已知集合 A={x|-3<x<1},B={x|x≤-3} ,则 A∪B= 。 A3.集合 A={x|x>0},B={x|x<3},则 A∩B= ( A.{x|x<0} B.{x|0<x<3} C. {x|x>3} D.R A4.设集合 A={m∈Z|-3<m<2},B={n∈Z|-1≤n≤3} ,则 A∩B= ( A.0 B.1 C. 2 D.3 B5. 若集合 A={x|x≤4},B={x|x≥a} ,满足 A∩B={4},则实数 a= B6.已知 M ? {1}, N ? {1,2} ,设 A ? {( x, y) | x ? M , y ? N} , B ? {( x, y) | x ? N , y ? M } , 求 A∩B,A∪B. C7.设集合 A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3} ,求 A∩B.

) ) 。

C8.设 A={-4,2,a-1, a }, B={9,a-5,1-a} ,已知 A∩B={9},求 a.

2

D9.已知集合 A ? x x ? mx ? m ? 19 ? 0 ,
2 2

C ? z z 2 ? 2 z ? 8 ? 0 是否存在实数 m,同时满足 A ? B ? ?, A ? C ? ? ?
A1 、 已知U为全集, M、 N ? U, 且M ∩N = N, 则 ( )

?

?

?

?

B ? y y2 ? 5 y ? 6 ? 0

?

?

A、 C U M ?C U N

B 、 C U M ?C U N

C、 C U N ?M D、 M ?C U N A2.全集与补集有什么关系呢? C A M 与 CB M 相等吗?
A2.若 S={1,2,4,8},A= ? ,则 CSA= . .

B3.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则 CU(A∩B)= B4.若 U={1,3,a +2a+1},A={1,3},CUA={5},则 a= B5.设 U=R,A={x|x>0}, B={x|x>1},则 A∩CUB= .
2

.

B6.设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={5,3,4},C={3,4},则(A∪B)∩(CUC) B7.设全集 U={2,3,m +2m-3},A={|m+1|,2},CUA={5},求 m 的值。
2

-5-

B8.已知全集 U={1,2,3,4},A={x|x -5x+m=0,x∈U},求 CUA、m. C10.设全集 U 为 R, A ? x x ? px ? 12 ? 0 ,
2

2

?

?

B ? x x 2 ? 5x ? q ? 0 ,若

?

?

(CU A) ? B ? ?2?, A ? (CU B) ? ?4? ,求 A ? B .

D11.已知集合 A={x|x<a }, B={x|1<x<2}且 A∪ CR B =R,求实数 a 的取值范围。

-6-

1.2.1 函数的概念
问题 1:回顾初中所学过的几种函数? 一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 反比例函数 y ?

k (k ? 0) x

问题 2:初中所学函数的定义是什么?(设在某变化过程中有两个变量 x 和 y, ,如果给定了一 个 x 的值,相应地确定唯一的一个 y 值,那么就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变 量) 。 (归纳以上三例,三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集 A、B 间的一种对应 关系:对数集 A 中的每一个 x,按照某个对应关系,在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应, 记作 f : A ? B 。 ) 函数的定义 1 注意:○ 2 ○ ③ 当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下情况: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是 ; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是 ; (3)如果 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是 ; (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是 (5)如果 f(x)是由实际问题列出的, 函数的定义域由 数学式子本身的意义和问题的 实际意义决定。 问题 3:初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么? 答:一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 定义域 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 定义域
2

、值域 、值域

、对应法则

对应法则

k (k ? 0) 定义域 x 1 例 1.已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? , x?2
反比例函数 y ? (1)求函数的定义域; (2)求 f ( ?3), f ( ) 的值; (3)当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。 练习 1 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2x
3

、值域

、对应法则

2 3

(1)求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值。

-7-

(2)求 f (a), f (?a), f (a) ? f (?a) 的值。 问题 4. 区间的概念 设 a、b 是两个实数,且 a<b,规定: (1)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 (2)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 (3)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 (4)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 ,表示为 ,表示为 ,表示为 ,表示为 ; ; ; ;

在数轴上,这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中,用 表示 包括在区间内的端点,用 表示不包括在区间内的端点; 实数集 R 也可以用区间表示为 , “∞”读作“ ” , “-∞”读作“ ” , “+∞”读作“ ” ,还可以把满足 x ? a, x>a, x ? b, x<b 的实数 x 的集合分别表示 为 。 1、函数的三种表示方法 (1)解析法: (将两个变量的函数关系,用一个等式表示) 。 举例:如 y ? 3x2 ? 2x ? 1, S ? ? r 2 , C ? 2? r, S ? 6t 2 等。 优点: ?

量间的关系; ?简明,全面地概括了变 意一个自变量所对应的 函数值; ?可以通过解析式求出任

(2)列表法: (列出表格表示两个变量的函数关系) : 举例: 如:平方表,三角函数表,利息表,列车时刻表,国民生产总值表等。 优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 (3)图象法: (用图象来表示两个变量的函数关系) 。

举例: 优点:直观形象地表示自变量的变化。 点拨: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个 ○ 图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; ○ 3 图象法:是否连线; ○ 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征。 ○ 映射的概念 点拨: (1)映射有三个要素:两个集合,一种对应关系,缺一不可; (2)A,B 可以是数集,也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序:符号“f: A→B”表示 A 到 B 的映射,符号“f:B→A”表示 B 到 A 的映射,两者是不同的; (3)集合 A 中的元素在集合 B 中一定有元素和它对应,并且是唯一的;但集合 B 中的元

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素在 A 中可以没有元素和它对应,即使有也可以不唯一。 举例:下列对应,哪些是集合 A 到集合 B 的一个映射(为简明起见,这里的 A、B 都是有限集 合)

注:对每个对应都要强调对应法则,集合顺序。 答:由映射定义,上述四图中 对应是 A 到 B 的映射, 的映射。对应法则分别是 思考:函数与映射的关系? 达标检测: A1.下列说法正确的是 (A)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应。 (B)函数的定义域和值域可以是空集。 (C) 函数的定义域和值域一定是非空数集。 (D) 函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了。 A2.已知函数 f ( x) ?

对应不是 A 到 B 。





x ?1 则f (2) ? x ?1





(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 B3:下列函数图像中不能作为函数 y=f(x)的图像的是





B4:依函数的定义,平行于 y 轴的直线与函数图像最多有_____个交点。 例 1.求下列函数的定义域。 (1) f ( x) ?

1 1 ;(2) f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ;(3) f ( x) ? x ? 1 ? 2 ? x (1 ? 2 x)( x ? 1)

-9-

练习 1: 求下列函数的定义域(用区间表示) 1 ① f(x)= 9 ? x + x?4

②f(x)=

x?2 ? ?3x ? 4 x ?3

例 2.下列函数中,哪个与函数 y=x 是同一函数? (1) y=( x ) ;
2

(2) y=

x2 ; x

(3) y= 3 x 3 ;

(4)y= x 2 . ( )

练习 2:判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? A. f ( x ) = (x -1) ;g ( x ) = 1 ; C.f ( x ) = x ;f ( x ) = (x + 1) 结论:判断两个函数是否相同,要看 函数才算相同。 例 3.求下列函数的值域
2 2 、 0

B. f ( x ) = x; g ( x ) =

x2
x2 这两个

D. f ( x ) = | x | ;g ( x ) =

(1) y ? 2 x ? 1, x ? ? 1,2,3,4,5 ?; (2) y ? x ? 1 (3) y ? ? x ? 2 x ? 3(?5 ? x ? ?2)
2



达标检测: A 练习:1、用区间表示下列数集。

(1)?x | x ? 1 ? ? (2)?x | 2 ? x ? 3 ? ? (3)?x | x ? 1且x ? 2 ? ?
B、求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 2(0 ? x ? 3) 的值域。

例 1:某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x ?{1, 2,3, 4,5} 个笔记本需要 y 元,试用函数的三种 表示法表示函数 y ? f ( x) 。

说明: 函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线, 但有时也可以由一些孤立点或几段线段 组成。 练习 1:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元). 试用三种方法表示此实例中的函 数。

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A2.已知 f ( x) 与 g ( x) 分别由下表给出 x 1 4 2 3 3 2 4 1

f ( x)

x

1 3

2 1

3 4

4 2

g ( x)
那么 f ( g (3)) ?

B3.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系。如果购买 1000 吨,每吨 800 元,购买 2000 吨,每吨 700 元,若一客户购买 400 吨,单价应该是 ( ) (A)820 (B)840 (C)860 (D)880

? x 2 ? 2( x ? 2) B4.设函数 f ( x) ? ? ,则 f (?4) ? ? 2 x( x ? 2)

,若 f ( x0 ) ? 8 ,则 x0 =



例 2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出 函数的图像。 2 y= 3

0? x?5 5 ? x ? 10 10 ? x ? 15 15 ? x ? 20

4 5

说明:表示函数的式子也可以不止一个(如例 1 与例 2) ,对于这类分几个式子表示的函 数称为分段函数。注意它是一个函数,不要把它误认为是“几个函数” 。 例 3.作出下列各函数的图象:

?1 ? (0 ? x ? 1) (1) f ( x) ? ? x ; ? ? x( x ? 1)

(2) f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2 x ( x ? 0)
2 ? ? x ? 2 x ( x ? 0)

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达标检测:

? x ? 1( x ? 0) ? A1.已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} = ? 0( x ? 0) ?



? x ? 2( x ? ?1) ? 2 A2 在函数 f ( x ) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) 中,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值为 ? 2 x( x ? 2) ?



B3.国内投寄信函(外埠) ,假设每封信函不超过 20g 时付邮资 80 分;超过 20g 不超过 40g 时 付邮资 160 分;依次类推,写出每封 xg( 0 ? x ? 100 )的信与所付邮资 y 之间的函数解析式, 并画出这个函数的图象。

B4 如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD 边上有一点 P,自点 B(起点)沿着折线 BCDA 向点 A (终点)运动。设点 P 运动的路程为 x,△APB 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式。并 画出这个函数的图象。

D

C

A

B

达标检测: A1 判断下面的对应是否为集合 A 到集合 B 的映射,并说明理由。 (1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9}。f: x ? 2x ? 1 ; (2)设 A=N ,B={0,1},f: x ? x除以2得的余数;
*

(3)设 A=R,

B=R,

f: x ? x取倒数;

B2.在映射 f:A

? B 中,A=B={(x,y) x, y ? R }且, f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) 则与 A 中的元

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素(-1,2)对应的 B 中的元是

1.3.1 函数的基本性质----单调性
观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 1. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ 。 2.f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________。 2 3.f(x) = x 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ 。 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ 。 学习过程: (一)函数单调性定义 1.增函数 2.函数的单调性定义 3.判断函数单调性的方法步骤:

y 1 -1 -1 y 1 -1 -1 1 x 1 x

y 1 -1 -1 1 x

注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 ;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) ( 或 ○

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ).
3 反映在图象上,若 f ( x) 是区间 D 上的增(减)函数,则图象在 D 上的部分从左到右是上 ○ 升(下降)的。

-13-

(二)典型例题 A1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一 单调区间上,它是增函数还是减函数?

A2. 求证:函数 y=

1 在区间(1,+∞)上为单调减函数。 x-1

六 达标训练: A1.证明函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是减函数。

B2. 写出 f(x)=x -4x+5 的单调递增区间,并证明。

2

C3. 讨论函数 y=x -2(2a+1)x+3 在[-2,2]上的单调性。

2

-14-

1.画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题:

1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; ○ 2 指出图象的最高点或最低点。 ○ (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2) f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ?[?1,2]

(3) f ( x) ? x 2

(4) f ( x) ? ? x 2

2.函数最大(小)值定义 (1).最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值的定义。 (2). 最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)_______________________________________________; (2)________________________________________________ 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x) ○ ≤M(f(x)≥M) 。 六、达标训练: 2 A1. (1) .函数 f(x)=2x-x 的最大值是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2).已知函数 f(x)= 3x-2+x,则它的最小值是 ( ) A.0 B.1 2 C. D.无最小值 3 2 (3).函数 f(x)=x -2ax+a+2 在[0,a]上的最大值为 3,最小值为 2,则 a 的值为 ( ) A.0 B.1 或 2 C.1 D.2 B2.已知函数 y =
2 (x ? [2,6]),求函数的最大值和最小值。 x ?1

-15-

C3. 已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[-5,5], (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使函数 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数。

2

1 2 D4. 已知函数 f(x)=- x +x,是否存在实数 m、n,m<n,使当 x∈[m,n]时,函数的值域恰 2 为[2m,2n],若存在,求出 m、n 的值;若不存在,说明理由。

-16-

1.3.2 函数的奇偶性

函数的奇偶性: (1)对于函数 f ( x) ,其定义域关于原点对称 : ......... 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为奇函数; 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为偶函数。 (2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称。 (3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 六、达标训练: A1、判断下列函数的奇偶性。 4 5 (1)f(x)=x ; (2)f(x)=x ;



(3)f(x)=x+

1 x

(4)f(x)=

1 x2

A2、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )是偶函数,则 b=___________ . B3、已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? _______ . B4、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于 ( (A) x 轴对称 (B) y 轴对称 (C)原点对称 (D)以上均不对 B5、如果定义在区间 [3 ? a,5] 上的函数 f ( x) 为奇函数,则 a =_____ . C6、若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时, f ( x) =_______ . D7、设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 )

f (47.5) 等于
(D) ? 1.5 x?m D8、定义在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) ? 2 ,则常数 m ? ____ , n ? _____ . x ? nx ? 1 (A)0.5 (C)1.5 (B) ? 0.5





-17-

函数及其表示 (习题课)
A1. 函数 f ( x) 记号的理解与运用: 已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,求 f[4] g[6].,f[g(x)],g[f(x)]。
2

B2.解析式法及应用: 例 1 求函数的解析式: 2 (1)已知 f(2x+1)=x +1,求 f(x);

1 x (2)已知 f( )= ,求 f(x). x 1-x2

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) .

1 x

方法总结:第(1)题用代入法;第(2)题用配凑法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数 法;第(4)题用方程组法。 六、达标检测: 一、选择题 1-x 1 A1.若 f(1-2x)= 2 (x≠0),那么 f( )等于 x 2 A.1 B.3 C.15 D.30 B2.已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)= A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x- 3 |x| B3.函数 y=x+ 的图象为 ( )
2

(

)

(

)

x

C4.如下图所示的四个容器高度都相同.将水 从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止. 用下面对应的图象显示该容器中水面 的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正确的有 ( ) A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个

C5.水池有 2 个进水口,1 个出水口,每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)。
-18-

给出以下三个诊断: ①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水不出水.其中一定正确的论断是 A.① B.①② C.①③ D.①②③ 二、填空题 A6.已知函数 f(x)=x+b,若 f(2)=8,则 f(0)=________. B7.已知一次函数 f(x),且 f[f(x)]=16x-25,则 f(x)=________. B8.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出 则 f[g(1)]的值为__________;当 g[f(x)]=2 时,x=__________. 三、解答题 B9 (1)已知 f(x+1)= x 2 +x-1,求 f(2)和 f(x). (2) 若 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ,求 f ( x)
王新敞
奎屯 新疆

(

)

x f(x) x g(x)

1 2 1 3

2 1 2 2

3 1 3 1

B10.作出下列函数的图象: 1 (1)y= ,x>1;

x

(2)y=x -4x+3,x∈[1,3].

2

2.1.1 指数与指数幂的运算
一、三维目标: 知识与技能:1.理解 n 次方根及根式的概念; 2.正确运用根式运算性质进行运算变换。 过程与方法:由简单的根式运算推广到一般的根式运算。 情感态度与价值观:提高学生的分析问题的能力,体会数学的魅力。 二、学习重、难点: 重点:利用根式的运算性质进行化简。 难点:条件求值问题。 三、学法指导:联系初中学习的幂值运算知识,认真阅读教材 P48---P50,对照学习目标,完成 导学案,适当总结。 四、知识链接: 1.4 的平方根是 ,4 的算术平方根是 , 4 的值是 。 个。

2.0 的平方根是 ,正数的平方根是 3. 实常数 a 的平方根、立方根是什么概念?

个,负数的平方根是

问题 1:-8 的立方根 -32 的 5 次方根 问题 2:n 次方根的概念:

,16 的 4 次方根 ,0 的 7 次方根

,32 的 5 次方根 , a 的立方根
6

, .

-19-

问题 3:负数没有 n 次方根这种说法正确吗? 问题 4:设 a 为实常数, (1)则关于 x 的方程 x =a, x =a 分别有解吗?有几个解?(2)则关 4 6 于 x 的方程 x =a, x =a 分别有解吗?有几个解?
3 5

问题 5: 当 n 是奇数时,a 的 n 次方根有几个?该如何表示?当 n 是偶数时呢?

问题 6: 4 16 ? ?2 是否正确?教材对于负数和零的 n 次方根有何说明?

A 例 1、 (1) 64 的 6 次方根是

, (2) 若 ( x ? 2) 0 有意义, 则 x 的取值范围是 , 其中 n 叫做 , a 叫做

。 。

问题 6: 我们把式子 n a (n ? N , n ? 1) 叫做 问题 7: ( 3 2)3 ?

( 5 ?2)5 ?

( 4 2)4 ?

根据以上例子试总结归纳,一般地 (n a ) n 等于什么?

问题 8:

3

(?2)3 ?
(?2) 4 ?

5

25 ?
4

4

24 ?

根据以上例子试总结归纳,一般地 n a n 等于什么?

A 例 2、求值: (1)
3

(?8) 3

(2)

( ?10 ) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

(4)

8

( a ? b) 8

A 例 3、化简:
?1 2 B(1) (? ? ? ) ? 4

C(2) 5 ? 2 6

-20-

六、达标检测: A1.

(?5) 2 ?

2 2 ; ( (?5) ) ?

; (3 ? ? ) =
2

7 ; 7 ( x ? 7) =



4 0 B2. a-2+(a-4) 有意义,则 a 的取值范围是 ( A.a≥2 C.a≠2 1 4 2 B3.若 a< ,则化简 (2a-1) 的结果是 2 ( A. 2a-1 C. 1-2a B.- 2a-1 D.- 1-2a ) B.2≤a<4 或 a>4 D.a≠4 )

B4.若 x -2x+1+ y +6y+9=0,则 y =________.

2

2

x

A5.化简: 6

1 3 3 3 ? 3 ? 0.125 . 4 8

B6.(1) 设-3<x<1,求 x 2 ? 2x ? 1 ? x 2 ? 6x ? 9 的值。

2 2 3 (2)化简: ( a ? 1) ? (1 ? a ) ? 3 (1 ? a ) .

2 4 (3)若代数式 2 x ?1 ? 2 ? x 有意义,化简 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 4 ( x ? 2) .

-21-

2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)
指数函数的概念: 1 指数函数的定义是一个形式定义; 注意:○ 2 注意指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、和零。 ○ 例 1.判断下列函数是否为指数函数?
x (1) y ? 4

(2) y ? x 4

(3) y ? ?4 x

(4) y ? 4 x?1

例 2:在同一坐标系内画出下列四个指数函数的图像。 (1)y=2
x

(2)y =3

x

(3)y=(1/2)

x

(4)y=(1/3)

x

思考:问题 3 中图象有何共同特征?当底数 0 ? a ? 1 和 a ? 1 时图象有何区别?

问题 4:指数函数性质 根据指数函数的图象特征,由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质,完成下表: a>1 0<a<1





(1)定义域: 性 (2)值 域: (3)过定点: 质 (4)单调性:

-22-

A 例 2.已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像经过点(3, ? ) ,求 f(0),f(1),f(-3) 的值。

六、达标检测: A1、某种细胞分列时,由一个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个??以此类推,写出一个这样的细 胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数解析式。

B2 说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2x 的图象的关系,并画出它们的示意图。 ⑴ y ? 2x?1 ; ⑵ y ? 2x ?2

x B3 从问题 3 画出的图象中你能发现函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关
x

1 2

x 系?可否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

-23-

A 例 1、 比较下列各题中两个值的大小。 (1) 1.7
2.5

与 1.7 ;

3

(2) 0.8

?0.1

与 0.8

?0.2



(3) 1.7

0.3

与 0 .9

3 .1

.

B 例 2、当 a ? 1 时,证明函数 y ?

ax ?1 是奇函数。 a x ?1

2、求下列函数的定义域、值域:
1

B(1) y ? 8 2 x ?1

B (2) y ? 1 ? ( )

1 2

x

C(3) y ? 3

?x

C(4) y ?

a x ?1 (a ? 0, a ? 1) ax ?1

B3 设 y1 ? 4

0.9

1 , y 2 ? 8 0.44 , y 3 ? ( ) ?1.5 ,则 2
B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2





A.y3>y1>y2

B4 若集合 M ? {y | y ? 2 x }, P ? {y | y ? x ? 1} ,则 M∩P= A. { y | y ? 1} B5 不等式 6
x 2 ? x ?2

( D. { y | y ? 0}



B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0} ___。

? 1 的解集是_

C6 函数 y=

1 的值域是_ 2 ?1
x

_______。

-24-

课题:2.2.1 对数与对数运算(1)
1. 对数的定义: 一般地, 若 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) , 那么数 叫做以 a 为底 N 的 , 记作 ,

其中, a 叫做对数的 ,N 叫做 。 特别地,将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 =2.71828 ?为底数的对数称为自然对数,并把 ,记作

, 记作 。

. 以无理数 e

B 问题 2、 在 指 数 式 a x ? N与 对 数 式 loga N ? x中 , a, x, N的 名 称

与 位 置 有 什 么 变 化 ?

对数与指数的关系:

当a ? 0, 且a ? 1时

?
B 例 1. 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 =625
4

(2) 2

?6

?

1 64

(3) ( ) ? 5.73
m

1 3

(4) log 1 16 ? ?4
2

(5) lg 0.01 ? ?2

(6) ln10 ? 2.303

B问题3.

(1)是不是所有的实数都有对数?

(2) log a 1 ?
(3)loga a ?
C 例 2.求下列各式中 x 的值:

1 (1) log 64 x ? ? ; 3

(2)log x 2 ? 6

(3) lg1000 ? x
达标检测: A1.把下列指数式写成对数式:
3 ⑴ 2 =8

(4) ? ln e3 ? x

⑵ 2 =32

5

⑶2 =

?1

1 2

⑷ 27

?

1 3

?

1 3

-25-

B2.把下列对数式写成指数式: (1) log3 9=2 ⑶ log2 解: B3.求下列各式的值。 (1) log5 25 ⑷ lg 0.01 解: ⑵ log2 ⑵ log5 125=3 ⑷ log3

1 =-2 4

1 =-4 81

1 16

⑶ lg 100 ⑹ lg 0.0001

⑸ lg 10000

C4.求下列各式的值。 (1) log15 15 ⑷ 解 ⑵ log0.4 1 ⑸ log7 343 ⑶ log9 81 ⑹ log3 243

log2.5 6.25

-26-

2.2.1 对数与对数运算
B㈠ ⑴、 1.082 ? 2 , x 的值可以表示为___________。
x

⑵、 4 ? 64 ,对数形式记作_______________。
3

⑶、 8 ? 4 ,对数形式记作____________________。 ⑷、 10
?2

2 3

? 0.01 ,对数形式记作__________________。

A㈡对数的定义及对数恒等式:

loga N ? b ?
A㈢指数的运算性质:

( a >0,且 a ≠1,N>0).

am ? an ? _______;

am ? an ? _______ ;
m

(a m )n ? ________;

an ? __________ 。

五、学习过程: A 问题 1:我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数 运算性质,得出相应的对数运算性质吗? 例如: a ? a ? a
m n m? n

, 设M ? am , N ? an ,于是 MN ? am?n , 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘。 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M B 例 1.计算: ① lg 0.01; ⑤ log2 ②

(n ? R)

log 2 (24 ? 3 4) ;

③ lg 2 ? lg 5 ;
2

④lg100

1/5

7 1 ? log2 12 ? log2 42 ? 1 ; 48 2

⑥ (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ;

-27-

2 5 ⑦㏒ ( 3 9 ? 3) ;

⑧ log3

27 2 6 ? log3 ? log3 . 5 3 5

C 例 2. 用 ㏒a x , ㏒a y , ㏒a z 表示下列各式:
2 (1) ㏒( a x yz)

(2) ㏒ a

x2 yz

(3) ㏒ a

x y z
2

(5) (loga x)n ? n loga x (6) log a x ? ? log a (7) n log a x ? B2. lg5+lg2=

( ( ( ; lg

) ) ) ;

1 x

1 log a x n

; log 35-log 315=

1 -lg25= 4

log 2(log 216)=

.

六、达标检测: A1、判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a ( ( ) )

x ? log a x ? log a y y





(4) loga xy ? loga x ? loga y





2.2.1 对数与对数运算
如何求解 1.06 ? 2 中的 x ?
x

分析: 1.06 ? 2 ? x ? log1.06 2 ;
x

1.06x ? 2 ? log10 1.06x ? log10 2

?

x ? log10 1.06 ? log10 2

?x?

log10 2 ; log10 1.06 log10 2 log10 1.06

? log1.06 2 ?

-28-

猜测: logb N ?

loga N loga b

( a ? 0 且 a ? 1, b ? 0 且 b ? 1, N ? 0 )

特例: N ? a 时, logb a ?

loga a 1 ; ? loga b loga b
; [ 来

log a α bβ =

β log a b α

a loga b = b
B 例 1、计算下列各式的值: ① log4 3 ? log9 32 ; ③ ② log16 27 log81 32 ; ④

1 1 ; ? log2 3 log13.5 3
log3 4

lg 2 lg 5 ; ? log50 10 log5 10
log9 4

⑤3

? 7log7

2



⑥3

? 5log5 2 .

C 例 2、已知 log3 2 ? a , log3 7 ? b ,试用 a 、 b 表示 log 4 7 .

1 α 1 β 2 C 例 3、已知方程 x +xlog26+log23=0 的两根为 α 和 β ,求( ) ·( ) 的值。 4 4

六、达标检测: A1.求值: ?log3 2 ? log9 2? ? ?log4 3 ? log8 3? =_________.
a A2. logc a ? logc =

.

A3. log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 2 =

.

B4.已知 log8 a ? log4 b 2 ? 5 ,且 log8 b ? log4 a ? 7 ,那么 log4
2
b

ab =______.

B5.若 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,则 log5 45 ? ________(用 a 、 b 表示)。 1 3 = ,求 x. 8 2

B6.设 log

x

-29-

B7.已知 x +y -4x-2y+5=0,求 logx y 的值。

2

2

x

C8.若 a 、 b 是方程 2 lg 2 x ? lg x 4 ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg(ab) ? ?loga b ? logb a ? 的值。

-30-

课题:2.2.2 对数函数及其性质(1)
B1. 在同一直角坐标系中画出 y ? 2x 、 y ? ( ) x 的图像,并以这两个函数为例,说说指数函数 的性质。

1 2

五、学习过程: 材料 1: 回忆学习指数函数时用的实例。某种细胞分裂时,一个分裂成为原来的两个。 细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数:y= 2 。如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以 得到 1 万个,10 万个??细胞,根据下表: y x 2 1 4 2 ?? ?? 约 10000 个 ?? 约 10000 个 约 log2 100000 ?? ?? y
x

约 log2 10000??

log2 y

A 问题 1、分裂次数 x 就是分裂后要得到的细胞个数 y 的函数吗?为什么? 材料 2 :考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用

t ? log
5730

1 2

P 估算出土文物或古遗迹的年代。根据下表:

-31-

碳 14 的含 量P 生物死亡年 数t

0.5 5730

0.3 9953

0.25 11797

0.1 19035

0.625 22920

0.125 17910

0.01 38069

0.001 57104

B 问题 2、t 是其体内碳 14 含量 P 的函数吗?为什么?

根据材料 1、2,可以得到生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数。 (一) 对数函数的概念 对数函数的定义:一般地,形如 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的函数叫做对数函数,其中 x 是 自变量,函数的定义域为 ?0,??? . B 例 1、判断下列函数是否是对数函数:[ ① y ? log x 3 ; ③ y ? 2log3 ( ( ( ) ) ) ② y ? log 1 2 x ;
2

( ( (

) ) )

x;

④ y ? log x x ; ⑥ y ? log 1 x ;
2

⑤ y ? 2log2 x ;

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? log 5 注意:○ 是对数函数,而只能称其为对数型函数。 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 ○ B 例 2、求下列函数的定义域: (1) y ? loga x3 (2) y ? loga (3 ? x)

x 不 5

a ? 1) 。

-32-

C 例 3、(1)在同一直角坐标系画出函数 y ? log 2 x 和 y ? log 1 x 的图像。
2

利用换底公式,可以得到: y ? log 1 x ? ? log 2 x ,又点 ( x, y)和点(x, ? y) 关于 x 轴对称,
2

所以 , y ? log 2 x和y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称,因此 ,我们可以根据 y ? log2 x 的图象得
2

到函数 y ? log 1 x 的图象。
2

对比指数函数相关性质猜想对数函数的相关性质,并填写下表

0<a<1


a>1



定义域 值域 性质 (1)经过定点 (2) ,即 x= 时,y= (2)

C 例 4、比较下列各组数中两个值的大小: (1) log2 3.4 ,log2 8.5 (2) log0.2 1.4 ,log0.2 2.5 (3) loga 5.4 ,loga 5.5(a ? 0, 且a ? 1) 六、达标检测: B1、在同一直角坐标系中用描点法画出函数 y ? log 1 x , y ? log 1 x , y ? log 2 x ,
2 3

y ? log3 x 的图像。

-33-

C2、 试归纳、猜想底数同样大于 1 的函数图象的规律,底数同样在 ? 0,1? 的函数图象的规律。 B3、求下列函数的定义域: (1) y ? log5 (1 ? x) ; (2) y ?

1 ; log 2 x

(3) y ? log 7 (

1 ); 1 ? 3x

B4、比较下列各题中两个值的大小: (1) log10 6 , log10 8 ; (2) log 0.5 6 , log 0.5 4 ; (3) log 2 0.5 , log 2 0.6 ;
3 3

(4) log1.5 1.6 ,0;

(5) log 2 0.5 ,1
3



(6) log 3 2 , log 2 2 .
2 3

课题:2.2.2 对数函数及其性质(2)
B1、求下列函数的定义域: (1) y ? log3 x ; (2) y ? 3 log 2 x ; (3) y ? log 0.5 (4 x ? 3) .

五、学习过程: B 例 1、如图所示曲线是对数函数 y ? log a x 的图像,已

y

4 3 1 知 a 值取 3, , , ,则相应于 C1 , C2 , C3 , C4 的 a 3 5 10
值依次为

C1
C2

0
-34-

1

x
C3 C4

B 变式训练 1:已知 a ? 0.33 , b ? 30.3 , c ? log3 0.3, d ? log0.3 3 将 a,b,c,d 四数从小到大排列 B 问题 1、说明函数 y ? log3 ( x ? 2) 与函数 y ? log3 x 的图像关系。

C 问题 2、将函数 y ? log a x 的图像沿 x 轴向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,所得到 函数图像的解析式:

C 例 2、(1)若 (log a

2 2 ) ? 1 ,求 a 的取值范围; 3

(2)解不等式: 2loga ( x ? 4) ? loga ( x ? 2) .

D 例 3、已知函数 f(x)=lg[(a -1)x +(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取 值范围。

2

2

D 例 4、已知 f ( x) ? ?

? ?(6 ? a) x ? 4a, ( x ? 1) 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围。 , ( x ? 1) ? ?log a x

D 例 5、必修一 72 页例 9,认真阅读,理解题意,在课堂上展示。

六、达标检测: A1、函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0, a ? 1) 恒过定点 B2、为了得到函数 y ? lg 平移

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有点向 10
平移
-35-

个单位长度,再向

个单位长度

B3、已知下列不等式,比较 m,n 的大小: (1) log3 m ? log3 n ; (2) log0.3 m ? log0.3 n;

(3) loga m ? loga n(0 ? a ? 1) ;

(4) loga m ? loga n(a ? 1) ;

B4、已知 log a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围 3

B5、已知函数 y ? log2 ( x ? a) 的图象经过点(1,3) ,则函数 y ? loga (2x ? a) 的取值大于 0 时,x 的取值范围为 B6、函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1) 在 ?0,1? 上的最大值与最小值之和为 a ,求实数 a 的值。

B7、解不等式 log 1 ( x2 ? x ? 2) ? log 1 ( x ?1) ?1 .
2 2

课题:2.2.2 对数函数及其性质(3)
B1.函数 y ? lg( x ? 4) 的定义域为 B2.若 logm 2 ? logn 2 ? 0 时,则 m,n 的大小关系是 五、学习过程: B 例 1、讨论函数 f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 的单调性。 思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对 a 进行讨论。 解:由 3x ? 2 x ? 1 ? 0 得函数的定义域为 ? x x ? 1或x<- ?
2

? ?

1? 3?

则当 a>1 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数,
2

∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x ? 2x ?1) 为减函数。
2

若 x< ?

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3

-36-

当 1>a>0 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数,
2

∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 (3) y ? log 1 (x 2 ? x)
2

若 x< ?

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3

B 变式训练 1:求以下函数的单调区间: (1) y ? log2 (x 2 ? 2x ? 3) (2) y ? log3 x 2

C 总结 y ? loga f (x) 单调区间的求法:

C 例 2、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, 求 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 的最大值,及此时 x 的值
2

思路分析: 要求 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 的最大值,要做两件事,一是求表达式,二是求定义域。
2
2 3

解:∵ f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, ∴y?? ? f ? x ?? ? ?f x
2 2

? ? = ? 2 ? log x ?
2

? 2 ? log 3 x 2 = ? 2 ? log 3 x ? ? 2 ? 2 log 3 x
2 2

∵函数 f ( x)的定义域为?1,9? ,

= log32 x ? 6log3 x ? 6 = ? log 3 x ? 3? ? 3

∴要使函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x

? ? 有意义,
2

?1 ? x 2 ? 9 2 就需要 ? ∴ 1 ? x ? 3, ?0 ? log3 x ? 1 ,∴ 6 ? y ? ? log 3 x ? 3? ? 3 ? 13 ?1 ? x ? 9 当 log3 x ? 1 时即 x ? 3 时 y ? 13
∴ x ? 3 时,函数取 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? 最大值 13
2

B 变式训练 2: 求函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x2 ) 的值域。
2

-37-

C 例 3、已知函数 f ( x) ? log 2

1? x , x ? ? ?1,1? , 1? x

⑴判断 f ( x ) 的奇偶性; ⑵讨论 f ( x ) 的单调性并证明。

C 问题 3:在指数函数 y ? 2 x 中,x 是自变量,y 为因变量。如果把 y 当成自变量,x 当成因 变量,那么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由。

结论:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把 这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反函数。 如:函数 y ? 2x 与对数函数 y ? log2 x 互为反函数。 C 问题 4:以 y ? 2 x 与 y ? log2 x 为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的 联系? C 问题 5:与点 ? a, b ? 关于直线 y ? x 对称的点坐标是什么? B 例 4、求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ? log6 x

六、达标检测: x B1、已知a>0,且a≠1,则在同一坐标系内函数y=a 与y=loga(-x)的图象可能是_____

y 1 -1 x 1

y

y 1 1 x -1 x -1

y 1

0
(1)

0
(2)

0
(3)

0
(4)

x

B2、已知函数 f ( x ) 的图像过点(1,2)则其反函数的图像过点 C3、函数 f ( x) ? log 2 (1 ? x) 的大致图像是 (填序号)

y

y

y

y

-1

0 (1)

x

0 (2)

1 x

0 (3)

x

0 (4)

x

-38-

C4、已知 f ( x) ?| lg x | ,则 f ( ), f ( ), f (2) 的大小关系 C5、已知函数 f ( x) ? loga | x ? 1| 在区间 (?1, 0) 上有 f ( x) ? 0 ,那么下面结论正确的 是 (填序号) ② f ( x ) 在 (??, 0) 上是减函数 ④ f ( x ) 在 (??, ?1) 上是减函数

1 4

1 3

① f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数 ③ f ( x ) 在 (??, ?1) 上是增函数

C6、已知函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? ax ? a) 在区间 ??, 2 上是增函数,求实数 a 的取值范围。
2

?

?

七、学习小结:

八、课后反思:

-39-

课题:2.3 幂函数
一、三维目标: 知识与技能:
2 3 ?1 2 (1)理解幂函数概念,会画幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 的图象;

1

(2)结合常见的幂函数图象,理解幂函数图象的变化情况和性质,并能进行简单的应用。 过程与方法: (1)通过观察、总结幂函数的性质,培养学生的识图能力和概括能力; (2)使学生进一步体会数形结合的思想方法。 情感态度与价值观: (1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生 的学习兴趣; (2)了解幂函数图象的变化规律使学生认识到数学美,从而激发学生的学习欲望。 二、学习重、难点: 重点:从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 难点:画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律。 三、学法指导: 认真阅读教材,体会幂函数与指数函数的不同,在比较过程中进一步掌握指数函数,学习 幂函数,认识和掌握五个具体幂函数的图像和性质。 四、知识链接: 1.指数函数定义: 2.对数函数定义: 五、学习过程: (一) 、问题: (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克, 则她需要付款 p (元)与 w (千克)的函数关系 式为 ; (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 s 与 a 的函数关系式为 ; (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 v 与 a 的函数关系式为 ; (4) 如 果 正 方 形 场 地 的 面 积 为 s , 那 么 这 个 正 方 形 的 边 长 a 与 s 的 函 数 关 系 式 为 ; (5)如果某人 t s 内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度 v (km/s)与 t(s)的函数关系式 为 。 思考: 若这些函数的自变量用 x 来表示,函数值用 y 来表示,则函数关系式是怎样的?它们有怎 样的特点? (二) 、幂函数的定义:一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 为常数。
?

例 1:判断下列函数是否为幂函数?

(1) y ? x 4

(2) y ? 2 x 2

(3) y ? ? x 3

(4) y ?

1 x2

(5) y ? 2.3x

探究 1:怎么判断一个函数是幂函数还是指数函数?

2 3 ?1 (三) 、请在同一坐标系内作出幂函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 , y ? x 的图象。

1

x

? ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

y?x

-40-

y ? x2 y ? x3
y?x
1 2

? ? ? ?

? ? ? ?

y ? x ?1

(四) 、请结合图像总结函数 y ? x ; y ? x ; y ? x ; y ? x ; y ? x ?1 的性质。
2 3

1 2

y?x
定义域 值 域 奇偶性 单调性 定 点

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

(五) 、 根据上表的内容并结合图象, 试总结函数 y ? x ; y ? x 2 ; y ? x 3 ;y ? x ?1 ; y ? x 2 的共同性质。 (1)函数 y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ? x 2 和y ? x ?1 的图象都通过点 (2)函数 y ? x, y ? x , y ? x 是
3 ?1
1

1

; ; (奇函数、偶函数)

,函数 y ? x 是
2
2 3 1 2

(0,+?) (3)在区间 上,函数 y ? x, y ? x ,y ? x 和y ? x 都是
函数 y ? x 是
?1 ?1

, 无限接近。
?

; (增函数、减函数) 无限接近,向右与

(4)在第一象限内,函数 y ? x 的图象向上与

探究 2: 通过对以上五个函数图象的观察和填表, 你能类比出一般的幂函数 y ? x 的性质和图 象的变化规律吗? (1)所有的幂函数在 上都有定义, 并且函数图象都经过定点 。
? (2)如果 ? ? 0 ,则幂函数 y ? x 在(0,+∞)上为 ? 如果 ? ? 0 ,则幂函数 y ? x 在(0,+∞)上为 ?

。 。

探究 3:幂函数 y ? x ,当 x∈[0,+∞)时,α >1 与 0<α <1 的图象有何不同?

-41-

例 2:比较大小:

(1)1.51.5 ,1.71.5

(2) 1.1

?

1 2

, 0 .9

?

1 2

六、达标检测: A1.在下列函数中,定义域为 R 的是

(

)

A. y ? x

3 2

B. y ? x

1 ? 3

C. y ? 2x

D. y ? x ?1
( )

1 2 1 2 1 1 3 3 B2. 若T1 ? ( ) , T2 ? ( ) , T3 ? ( ) 3 ,则 2 5 2 A. T1 ? T2 ? T3 B. T3 ? T1 ? T2
A3. 幂函数 y ? x 5 在[?1,1]上是 A.增函数且是奇函数 C. 减函数且是奇函数
3

C. T2 ? T3 ? T1

D. T2 ? T1 ? T3
( )

B. 增函数且是偶函数 D. 减函数且是偶函数

B4. 如图所示, 曲线 C1、 C2、 C3、 C4 为幂函数

y ? x ? 在第一象限内的图象, 已知 ?
C1

1, ?2 取 ,,
( C2 )

四个值,则相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的解析式中的指数 ? 依次可取

4 3 3 4

A. C.

4 3 , 1 ,, ?2 3 4 3 4 ? 2, 1 ,, 4 3

B.

4 3 ? 2, 1 ,, 3 4 4 3 D. ,, 1 , ?2 3 4

C3 C4

B5.比较大小
1 1

(1) 3.142 , ? 2

(2) (?0.38) 3 , ?? 0.39?

3

(3) 1.25 , 1.22

?1

?1

(4) ( )

1 3

? 0.25

,( )

1 3

? 0.27

B6.函数 y ? (m2 ? m ? 1) x m
1

2

?2m?1

是幂函数,实数 m 的值为

A7.函数 y ? x 2 ? x B8.已知 (a ? 3)
? 3 5

?

3 5

? ( x ? 2) 0 的定义域为
? 3

? (1 ? 2a) 5 ,求实数 a 的取值范围。

B9.(1)已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, 2 ) ,试求出这个函数的解析式。 (2) 若幂函数y ? f ( x)的图象经过点(9, ), 求f (25)的值 。

1 3

B10.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方成正比: (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 3 400cm /s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流量速率 R 的表达式; (3)已知(3)中的气
-42-

体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率。

七、学习小结: 1.一般地,
?

叫做幂函数,其中 。

是自变量,

是常数。

2.幂函数 y ? x 图象过定点

3.幂函数 y ? x? ,当 ? ? 0 时,图象在第一象限单调递 ;当 ? ? 0 时,图象在第一象限单 调递 ,向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近。

八、课后反思:

-43-

课题:3.1.1 方程的根与函数的零点
一、三维目标: 知识与技能: 结合二次函数的图象, 理解函数的零点概念, 领会函数零点与相应方程根的关系; 过程与方法:掌握判定函数零点存在的条件,并能简单应用; 情感态度与价值观:通过学习,体会数形结合的思想从特殊到一般的思考问题的方法。 二、学习重、难点: 函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。 三、 学法指导: 认真阅读教材, 在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上, 结合二次函数图象, 由特殊到一般逐渐理解零点的概念,并会判断零点的存在。 四、知识链接: 五、学习过程: (一) 、认真阅读教材 P86---P87 页内容,思考: 1.通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与 x 轴的交点的关系归 纳一元二次方 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根与相应的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图
2

象有什么关系?

2.函数的零点的概念: 对于函数 y=f(x),把 叫做函数 y=f(x)的零点。 注: 函数的零点是一个实数,而不是一个点。 3.方程、函数、图象之间的关系: 方程 f(x)=0 ?函数 y=f(x)的图象 ?函数 y=f(x) 。 练习: Al.函数 y=x-1 的零点是 ( A.(1,0) B.(0,1) C.0 D.1 A2.函数 f(x)=x2-3x-4 的零点是________

)

-44-

B3.若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 C4.已知函数 f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.不能确定 (二) 、 认真阅读教材 P87---P88 页内容, 探究: 函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? 1 观察二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象 我们发现函数 y ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [?2,1] 上有零 点。 计算 f (?2) 和 f (1) 的乘积, 你能发现这个乘积有什么特点?在区间 [2,4] 上是否也具有这 种特点呢?

2 猜想:若函数在区间[a,b]上图象是连续的,如果有 成立,那么函数在 区间(a,b)上有零点。 3.函数零点存在定理:如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在 c∈(a, b),使 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x) = 0 的根。 思考:若函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点,一定能得出 f(a)·f(b)<0 的结论吗?

A 例 1、求证:函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点。



A 例 2 、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数。

六、达标检测: 2 A1.函数 f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是

x

( D.(e,+∞)

)

A.(1,2)

B.(2,3)

1 C.(1, )和(3,4)

e

B2.函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,求函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点。

C3.讨论函数 y=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点。
-45-

D4 若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________。

x

七、学习小结: 1.函数零点的定义。 2.等价关系。 3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断。

八、课后反思:

-46-

课题:3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、三维目标: 知识与技能: 能够借助计算器用二分法求方程的近似解,了解二分法是求方程近似解的常 用 方法;理解二分法的步骤与思想。 过程与方法:了解用二分法求方程的近似解的特点,学会用计算器或计算机求方程的近似 解, 初步了解算法思想。 情感态度与价值观: 回忆解方程的历史,了解人类解方程的进步历史,激发学习的热情和 学 习的兴趣。 二、学习重、难点:用二分法求方程的近似解。 三、学法指导:认真阅读教材 P89—90,了解用二分法求方程近似解的步骤与思想。 四、知识链接: 1 函数零点的概念: 2.等价关系:方程 f(x)=0 ?函数 y=f(x)的图象 ?函数 y=f(x) 3.函数零点存在定理:

4.30 枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币,用天平最少需几次称量才能将假币区分出来?(请 写出具体过程)

五、学习过程: 今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程. 请学生们思考下面的问题: 能否求解 2 3 下列方程: (1)x ?2x?1=0; (2)lgx=3?x; (3)x ?3x?1=0。 实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值, 学完本节课, 你将对如何求一元方程的近 似解有新的收获。认真阅读 P89—90 页,回答下面问题: 1、 什么叫做二分法:

2、用二分法可求所有函数零点的近似值吗?利用二分法求函数零点必须满足什么条件?

A 例 1、下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是

(

)

-47-

注:(1)准确理解“二分法”的含义:二分就是平均分成两部分;二分法就是通过不断地将所 选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度, 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。 (2)“二分法”与判定函数零点的定理密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在 该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点。 3.给定精确度ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定 ,验证 ,给定 ; (2)求区间 ;(3)计算 ; ①若 ,则 c 就是函数的零点; ②若 ,则令 (此时零点 x0∈(a,c)); ③若 ,则令 (此时零点 x0∈(c,b))。 (4)判断是否达到精确度ε : 即若 , 则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复(2)~(4). 4.求函数零点的近似值时,所要求的 精确度 不同,得到的结果也不相同,精确度ε 是指 在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若 |a-b|<ε ,即认为已达到所要求的精确度,否则 应继续计算,直到达到精确度为止。 5.用二分法求函数零点的近似值时,最好是将计算过程中所得到的各个中点坐标、 计算中点 的函数值、所取区间等列在一个表格中,这样可以更清楚地发现零点所在区间。 B例2、用二分法求方程lgx=3?x的近似解(精确度为0.1) 。 如何判断根所属的区间: 可先把方程转化为 lgx+x?3=0,再设 f(x)=lgx+x?3,由 f(2.5)<0,f(3)>0,可判断根 在区间(2.5,3)内.解决了这个困难,顺利进入了不断二分区间的环节,建议可用表格形式 来完成求解过程,即: 根所在区间 (2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) 区间端点函数值符号 中点值 2.5 2.75 2.625 2.5625 中点函数值符号

f (2) <0, f (3) >0
f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 f(2.5)<0,f(2.625)>0

f (2.5) <0

f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0

(2.5625,2.625) f(2.5625)<0,f(2.625)>0 由于 2.5625 ? 2.625 ? 0.0635 ? 0.1,所以原方程的近似解为 x1≈2.5625 注:(1)若方程的根可以转化为两个函数图象交点的横坐标,也可以通过两个函数图象的 交点,确定原方程的根所在的大致区间,再用二分法求解。 (2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值。用二分法求解时要注意给定函数的符号、 二分法求解的条件及要求的精确度。 六、达标检测: A1 下 列 函 数 中 能 用 二 分 法 求 零 点 的 是 ( )

-48-

A2.设 f(x)=3x+2x-8,用二分法求方程 3x+2x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根在区间 ( ) A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 B3.求函数 f(x)=x3+2x2-3x-6 的一个为正数的零点(精确度 0.1)。

C4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52” ,主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的 售价的机会,如果猜中,就把物品奖励给选手,同时获得一枚商标.某次猜一种品牌的手机, 手机价格在 500~1000 元之间。选手开始报价:1000 元,主持人回答:高了;紧接着报价 900 元,高了;700 元,低了;800 元,低了;880 元,高了;850 元,低了;851 元,恭喜你,你 猜中了。表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际中,游戏报价过程体现了“逼近”的 数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?

七、学习小结: 八、课后反思:

-49-

课题:3.1 函数与方程习题课
一、三维目标:巩固函数零点与用二分法求方程的近似解的应用等有关知识。 二、知识链接: 1.函数的零点的概念: 2.方程、函数、图象之间的关系: 方程 f(x)=0 ?函数 y=f(x)的图象 ?函数 y=f(x) 3.函数零点存在定理:

4.利用二分法求函数零点必须满足什么条件?

5.给定精确度ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下:

三、巩固训练 (一) 、选择题 2 1.函数 f(x)=-x +5x-6 的零点是 ( A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3 2.函数 f(x)=x- 没有零点,则 a 的取值范围是 ( A.a<0 B.a≤0 C.a>0 3 3.用二分法求函数 f(x)=x +5 的零点可以取的初始区间是 D.a≥0 ( A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] x 4.根据表中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间为 ) ) )

a x

x
e x+2
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

(

)

A.(-1,0) C.(1,2)
2

B.(0,1) D.(2,3)

? ?x +2x-3,x≤0 5.函数 f(x)=? ?-2+lnx,x>0 ?

的零点个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 2 6.若方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是 A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1

D.3 ( )

D.0≤a<1

-50-

7 .已知函数 f(x) 的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 ( )

A.4,4 B.3,4 x 8 函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是

C.5,4

D.4,3

( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 3 9.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经过计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得 其中一个零点 x0∈________;第二次应计算________,以上横线上应填的内容为 ( ) A.(0,0.5),f(0.25) B. (0,1), f(0.25) C. (0.5,1), f(0.75) D. (0,0.5), f(0.125) (二) 、填空: 10.在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0, f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度为 0.1)。 2 11.若函数 f(x)=ax-b 有一个零点是 3,那么函数 g(x)=bx +3ax 的零点是________。 2 12.已知方程 2x +(m+1)x+m=0 有一正根一负根,则实数 m 的取值范围是________。 13.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这 个零点(精确度为 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次。 x 14.(2009·山东卷)若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是________。 2 15.已知 m∈R 时,函数 f(x)=m(x -1)+x-a 恒有零点,求 a 的范围。

16.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=lnx+2x-6,试判断函数 f(x) 的零点个数。

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17.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,m,n 是方程 f(x)=0 的两根,且 a<b,m<n,则实数 a,b, m,n 的大小关系应该是怎样?为什么?

总结:自己归纳一下此部分的题型和处理方法。

-52-

课题:3.2 函数模型
一、三维目标 知识与技能:进一步学习和掌握基本初等函数性质并能熟练应用。 过程与方法:运用所学的函数知识和方法解决实际问题.培养学生用数学的意识分析问题解决 问题的能力。 情感态度与价值观:根据已知条件建立函数关系式,培养数学建模意识。 二、学习重、难点:用数学的意识分析问题解决问题 的能力。 三、学法指导:解决应用题的一般程序是: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义。 四、知识链接: 指数函数定义: 对数函数定义: 幂函数定义: 五、学习过程: ※ 典型例题 函数模型的应用实例 题型一:几类不同增长的函数模型 A1.假设你是一个投资家,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每年比前一年多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案?

题型二:分段函数模型 A 例二: 学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间:开始时学生的兴趣激增, 中间有一段不太长的时间学生的兴趣保持较理想的状态 ,随后学生的注意力开始分散.分析结 果和实验表明,用 f ( x ) 表示学生的接受能力与时间 x 有如下的关系:

??0.1x 2 ? 2.6 x ? 43 (0 ? x ? 10) ? f ( x) ? ?59 (10 ? x ? 16) ? ??3x ? 107 (16 ? x ? 30)
(1)开讲后多长时间学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,要 55 的接受能力及 13 分钟时间,老师能否及时在学生一直达到所需接受能 力的状态下讲完这个难题?

-53-

题型三:指(对)数函数模型 B 例三:人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律,可以为有效控 制人口增长提供依据。早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长 模型: y ? y0ert 其中 t 表示经过的时间, 表示 t =0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长 率。下面是 1950~1959 年我国的人口数据资料: 年份 人数/ 万人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1959 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001), 用马尔 萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型, 并检验所得模型与实际人口数据 是否相符; (2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到 13 亿?

题型四:幂函数模型 B 例四:在固定电压下,当电流通过圆柱体电线时,其电流强度 I 与电线半径 r 的三次方成正 比.(1)写出 I 与 r 之间的函数关系式。 (2)如电流通过半径为 4 mm 的电线时,电流强度为 320A,求电流通过半径为 r mm 的电线 时,电流强度的表达式。 (3)如(2)中电流通过的电线半径为 5 mm ,求此时的电流强度。

六、达标检测: A1.某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如 果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如 果从 2000 年底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地 区沙漠面积减少到 90 万公顷? 观测时间 该地区沙漠比原有面 积增加数(万公顷) 1996 年底 0.2000 1997 年底 0.4000 1998 年底 0.6001 1999 年底 0.7999 2000 年底 1.0001

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A2.某公司为实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利 润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元) 的 增 加 而 增 加 但 奖 金 不 超 过 5 万 元 , 同 时 奖 金 不 超 过 利 润 的 25% . 现 有 三 个 奖 励 模 型: y ? 0.25x, y ? log7 x ? 1, y ? 1.002x ,问:其中哪个模型能符合公司的要求?

B3.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图:(见课本 102 页) (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义。 (2)假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立汽车行驶这段路程时 汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式,并作出相应的图像。

B4.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售 单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

-55-

七、学习小结:

八、课后反思:

-56-

参考答案
1.1(1)集合的含义与表示 参考答案 例 1:3 ? A,4 ? A 例 2:对 六、达标检测: 1.(1)是(2)否(3)是(4)是(5)否(6)否(7)是 2.(1) ? (2) ? (3) ? (4) ? (5) ? , ? , ? , ? 3.A 4.D 5.B 6.解:由题意得,该方程有两个不等的实根,即 ? ? 16 ? 4m ? 0 解得, m ? 4 实数 m 的取值范围为 m ? 4 7.解:由题意得, x ? 2 ,解得, x ? ? 2
2

当x? 意;

2 时,集合 A 中的元素为:1 2 ,2,集合 B 中的元素为:1,2, 2 ,符合题

当 x ? ? 2 时,集合 A 中的元素为:1, ? 2 ,2,集合 B 中的元素为:1,2, ? 2 , 符合题意; 所以 x 的值为 ? 2 1.1(2)集合的含义与表示 参考答案 例 2.(1)列举法: { 3, ? 3} ,描述法: {x (2)列举法: {11,12,13,14 达标检测: 1.课后习题 3.(1) {2,3, 4,5} 课后习题 4.(1) {x 2. {( , ? )} , {( x, y) (2) {1, ?2} (3) {0,1, 2}

x2 ? 3 ? 0, x ? R}

29},描述法: {x ? Z 10 ? x ? 30}

4 y ? x2 ? 4, x ? R} (2) {x x ? 0} (3) {x x ? } 5

7 2

3 2

x ? y ? 2且x ? y ? 5}

3. {(0,6),(1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1),(6, 0)} 4. ? , ? 5.C 6.C 7. {2,1, 0} 8. (2,5) 9.(1) {3,5,7} (2) {x

x ? 5}(3) {( x, y) y ? x2 ?10, x ? R}
-57-

1.1.2 集合间的基本关系 参考答案 达标检测 1.(1) ?

? (2) =

?

2. 错 对 错 对 3.3 个 4.m=1 {a}、 {b}、 {c}、 {a, b}、 {a, c}、 {b, c}、 {a, b, c} 5.解: (1) ?、 (2)n 个元素,子集 2 个 真子集 ( 2 -1) 个 6.解: A ? {2,3} , B ? {x mx ? 1} 分情况讨论(1) B ? ? 时,m=0 (2)B 非空时,若 x=2,则 2m+1=0,m= ?
n n

1 2 1 若 x=3,则-3m+1=0,m= ? 3 1 1 所以,m=0,m= ? ,m= ? 2 3

7.m ? 3 1.1.3 集合的基本运算(一)参考答案 学习过程 3.适当符号填空: 0 ? {0}; 0 ? Φ ; Φ ={x|x +1=0,x∈R}
2

{0} ? {x|x<3 且 x>5}; {x|x>6} ? {x|x<-2 或 x>5} ;

{x|x>-3} ? {x>2}

4.已知集合 A={1,2,3,},B={2,3,4},写出由集合 A,B 中的所有元素组成的集合 C。 解:C={1,2,3,4} 达标检测 1. 略 2. x x ? 1 3. B 4. D 5. 4 6. A

?

?

B=?(1,1)?,A B= ?(1,1),(1,2),(2,1)?
B=?
B= ? x 1<x<a ? B= ? x 1<x <3?

7. 分情况讨论 (1) a ? 1 时, A (2)1<a<3 时, A (3) a ? 3 时, A

8. a=10 9.m=-2 1.1.3 集合的基本运算(二)参考答案 巩固练习

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①.U={2,3,4},A={4,3},B=φ ,则 CU A = ?2? , CU B =U; ②.设 U={x|x<8,且 x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则 CU A = ?0,1,3,6,7? ; ③.设 U={三角形},A={锐角三角形},则 CU A = 非直角三角形 。 达标检测 1. A 2. 补集是全集的一个相对概念,不一定相等。 3. ?1,4,5? 4. 5. x 0 ? x ? 1 6. 2,5? 7. m=2 或 m= - 4 8. 当 m=4 时 CUA= 2,3? ,当 m=6 时 CUA= 1, 4? 9. 略 10. A

?

?

?

?

?

?

?

B ? ?2,3, 4?

11. a ? 2 §1.2.1 函数的概念(1) 参考答案 五、学习过程: 问题 3、125,525,800,600;问题 4、1991,1979≤t≤2001; 问题 5 、时间 t 的变化范围是数集 A={1979 ≤ t ≤ 2001} ,恩格尔系数的变化范围是数集 B={53.8,52.9,50.1,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9},并且,对于数集 A 中的每一个 时间 t,按照表格,在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 问题 8、一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 定义域 R、值域 R、对应关系: y ? kx ? b(k ? 0) ;二次 函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 定义域 R 、值域 : 当 a>0 时, ? f ? ?
2

? ? b ? ? ?,??? ;当 a ? 0 时, ? ? 2a ? ?

k ? ? b ?? 2 ?? ?, f ? ? 2a ?? 对应关系: y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;反比例函数 y ? x (k ? 0) 定义域{x∣ ? ?? ?
x≠0}、值域{y∣y≠0}、对应关系: y ?

k (k ? 0) . x
;( 2 ) f ?? 3? ? ?1 , f ? ? ?



1 、( 1 )

?x x ? ?3且x ? ?2 ?

? 2? ?3?

3 33 ; ? 8 8

(3) f ?a ? ?

a?3 ?

1 1 , f ?a ? 1? ? a ? 2 ? . a?2 a ?1
3

练习 3、 ( 1 ) f ?2? ? 28 ; f ?? 2? ? ?28 ; f ?2? ? f ?? 2? ? 0 ; ( 2 ) f ?a ? ? 3a ? 2a ;

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f ?? a ? ? ?3a 3 ? 2a ; f ?a ? ? f ?? a ? ? 0 。
达标检测: 1、C;2、A;3、D;4、1 ;5、略;6、略

§1.2.1 函数的概念(2) 参考答案 知识链接:2、自然语言法、列举法、描述法、韦恩图。 例 1、? x x ?

? ?

1 4? ? (1)?4,9? ;? ? ?, ? 。 且x ? ?1 ?;?x x ? 4 ?;?x x ? ?1且x ? 2 ? 。练习 1、 2 3? ?

例 2、 (3) 是与函数 y=x 是同一函数, y=x 的定义域是 x x ? R (2)的定义域是 x x ? 0

?

?,而(1)定义域是 ?x x ? 0 ?,

?

(4)的定义域是 ?x x ? R ?,但是其对应关系是 y ? x 。 ?,

?; 练习 2:D。例 3、 (1) ? (2) ?1,??? ; (3) ? ?12,3? 3,5,7,9,11
达标检测:1、 (1) ?1,??? ; (2) ?2,3? ; (3) ?1,2? ? ?2,??? ;2、 (1)不是, (2)不是, (3) 是;3、值域是 ?1,5? ;4、 (1) ?? 5,0? ? ?2,6? ; (2) ?0,??? ; (3) r ? ?0,2? ? ?5,??? 。 §1.2.2 函数的表示方法(1) 参考答案 达标检测:1、 (1) y ? x ? 502 ? x 2 (0 ? x ? 50) ; (2)D,A,B,略;2、1;3、C;4、18;4 或 ? 6 ;5、略 §1.2.2 函数的表示方法(2)的答案

?80 ? 0 ? x ? 20 ? ? ?160 ? 20 ? x ? 40 ? ? 达标检测:1、 ? ? 1 ;2、 3 ; 3、3、 y ? ?240 ? 40 ? x ? 60 ? ? ?320 ? 60 ? x ? 80 ? ?400 ? 80 ? x ? 100 ? ?

4、

§1.2.2 函数的表示方法(3) 参考答案 达标检测:1、 (1)是; (2)是; (3)不是,0 没有倒数;2、 ?? 3,1? ;3、8 个。 §1.2 函数及其表示习题课的答案
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例 2、解:是函数,因为对于集合{1,2,?,12}中任一个值,由表可知 y 都有唯一确定的值 与它对应,所以由它可确定为 y 是 t 的函数。 例 3、解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 y=1+x 上,如下图(1); (2)因为 0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线 y=x2-2x 介于 0≤x<3 之间的一部分,如图 (2);

达标检测: 一、选择题: 1- t 1、C 解法一:令 1-2x=t, 则 x= (t≠1), 2 4 1 ∴f(t)= ∴f( )=16-1=15. 2-1, (1-t) 2 1 2 1-( ) 4 1 1 1 解法二:令 1-2x= ,得 x= , ∴f( )= =15. 2 4 2 1 2 ( ) 4 2、B 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0), ∵2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1, ? ? ?k-b=5 ?k=3 ∴? ,∴? , ∴f(x)=3x-2. ?k+b=1 ?b=-2 ? ?
?x+1 |x| ? 3、C,y=x+ =? x ? ?x-1

(x>0) (x<0)

4、A 解析:对于一个选择题而言,求出每一幅图中水面的高度 h 和时间 t 之间的函数解析式 既无必要也不可能,因此可结合相应的两幅图作定性分析,即充分利用数形结合思想. 对于第一幅图,不难得知水面高度的增加应是均匀的,因此不正确; 对于第二幅图,随着时间的增加,越往上,增加同一个高度,需要的水越多,因此趋势愈 加平缓,因此正确;同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的. 故只有第一幅图不正确,因此选 A. 5、A 解析:由图甲、乙可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口 1 速度的一半, 即 v 进水= v 出水.由图丙可看出在 0 点到 3 点之间蓄水量以速度 2 匀速增加,所以 2 在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确;在 3 点到 4 点之间蓄水量以 速度 1 匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确;在 4 点到 6 点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,故③不正 确. 综上所述,论断仅有①正确. 二、填空题: 6、6;解析:∵f(2)=8,∴2+b=8,∴b=6. ∴f(x)=x+6.∴f(0)=6. 25 7、4x-5 或-4x+ ;解析:(待定系数法)设 y=kx+b(k≠0) 3
? ?k =16 由 f[f(x)]=k(kx+b)+b=k x+kb+b=16x-25 得? ?kb+b=-25 ?
2 2

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25 解得 k=4,b=-5,或 k=-4,b= 3 8、1,1。 三、解答题: 2 9、 (1)令 x=1,得 f(2)=1 +1-1=1,令 x+1=t,则 x=t-1, 2 2 ∴f(t)=(t-1) +(t-1)-1=t -t-1, 2 从而 f(x)=x -x-1. (2) 10、解:(1)当 x=1 时,y=1,所画函数图象如图 1 所示; 2 2 (2)y=x -4x+3=(x-2) -1, 且 x=1,3 时,y=0; 当 x=2 时,y=-1, 所画函数图象如图 2 所示.

11、解:因为对任意实数 x,y,有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 所以令 y=x, 有 f(0)=f(x)-x(2x-x+1), 即 f(0)=f(x)-x(x+1). 又 f(0)=1, 2 ∴f(x)=x(x+1)+1=x +x+1. 1.3.1(1)函数的基本性质----单调性 参考答案 1、函数 y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,因此[-5,-2],[1,3]是函数 y=f(x)的单调减区间;在区间[-2,1],[3,5]上是增函数,因此[-2,1],[3,5]是函数 y=f(x)的单调增区间. 2、证明:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则 1 1 x2-x1 f(x1)-f(x2)= - = , x1-1 x2-1 (x1-1)(x2-1) 因为 1<x1<x2, 所以(x1-1)(x2-1)>0,x2-x1>0, 故 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 所以函数 y= 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x-1 达标训练 1、证明:设 x1,, x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1,< x2, f(x1,)-f(x2)=(-3 x1, +2)-(-3 x2+2)= 3(x2- x1,) 由 x1,< x2 ,得 x2- x1,>0 于是 f(x1,)-f(x2)>0 即 f(x1,)>f(x2) 所以,函数 f(x)=-3x+2 在 R 上是减函数。 2 2 2、解:由 f(x)=x -4x+5=(x-2) +1 2 可知 f(x)=x -4x+5 的单调递增区间为[2, +∞)

2 ? x1 ? x2时有: 证明: 设x1 , x2 ? [2,??)上的任意两个实数,当
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? 4x1 ? 5 ? ( x2 ? 4x2 ? 5) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ? 4)

-62-

由 2 ? x1 ? x2 得 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 4

于是( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ? 4) ? 0
所以 f(x)=x2-4x+5 的单调递增区间为[2, +∞) 3 3、解:∵函数图象的对称轴 x=2a+1,当 2a+1≤-2,即 a≤- 时,函数在[-2,2]上为 2 3 1 增函数;当-2<2a+1<2,即- <a< 时,函数在[-2,2a+1]上是减函数,在[2a+1,2]上是增 2 2 1 函数;当 2a+1≥2,即 a≥ 时,函数在[-2,2]上是减函数. 2 1.3.1(2)函数的最大(小)值 参考答案 达标训练: 1、(1)C (2)C (3) C 2、解:设 x1、x2 是区间[2,6]上的任意两个数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

2( x2 ? x1 ) 2 2 = ? x1 ? 1 x 2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

则 2<x1<x2<6 得: x2 ? x1 ? 0 , ( x1 ? 1)(x2 ? 1) >0 所以,f(x1)>f(x2),因此,函数 y ?

2 在区间[2,6]上是减函数。 x ?1

当 x=2 时,函数取得最大值为 2; 当 x=6 时,函数取得最小值为 0.4。 2 3、解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x -2x+2 的图象的对称轴为直线 x=1. ∴f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(-5)=37. 2 (2)∵函数 f(x)=x +2ax+2 在[-5,5]上是单调函数, ∴区间[-5,5]一定都在抛物线的 对称轴 x=-a 的同一侧. ∴-a≤-5 或-a≥5,即 a≥5 或 a≤-5. ∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 4、解:假设存在 m、n 使当 x∈[m,n]时,y∈[2m,2n].则在[m,n]上函数的最大值为 2n. 1 而 f(x)在 x∈R 上的最大值为 , 2 1 1 ∴2n≤ ,∴n≤ . 2 4 而 f(x)在(-∞,1)上是增函数, ∴f(x)在[m,n]上是增函数.
? ?f(m)=2m, ∴? ? ?f(n)=2n,

1 - m +m=2m, ? ? 2 即? 1 ? ?-2n +n=2n.
2 2

∴?

? ?m=0,或m=-2, ?n=0,或n=-2. ?

∵m<n,∴m=-2,n=0. ∴存在实数 m=-2,n=0,使当 x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0]. 1.3.2 函数的奇偶性 参考答案
-63-

1、 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 (4)偶函数 2、0 3、17 4、B 5、8 6、 x(1 ? 3 x ) 7、B 8、0;0 2.1.1 指数与指数幂的运算 参考答案 例 1: (1) ?2 , (2) x ? 2 例 2.(1)-8 (2)10 (3) ? ? 3 (4) a ? b 例 3.(1) ? ?

1

?

(2) 3 ? 2

达标检测: 1.5,25, ? ? 3 ,x-7 2.B 3.C 4.-3 5.

3 2
(2)3

6.(1) a ? 1

2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)参考答案 例1 1 是 2、3、4、不是 例2 达标检测 1 2 、y=2 (x∈N ? )
x

f(0)=1 ,f(1) = ∏

1/ 3

,f(-3)= ∏

?1

、 y ? 2x 的图象向左平移 1 个单位得到 y ? 2x?1 的图象。

y ? 2x 的图象向右平移 2 个单位得到 y ? 2x?2 的图象。
3
x 、函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称。
x

1 2

可以

课题:2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)参考答案 例1 例2 < < >

-64-

达标训练 1、略 2(1)定义域{x︳x≠

1 } 2

值域{y︳y>0 且 y≠1}

(2)定义域

{x︳x≥0}

值域{y︳ 0 ≤y<1}

(3)定义域 R 值域{y︳ 0 <y<1} (4) 定义域 R 值域{y︳-1 <y<1} 3 、D 4、C

5 、(-1,2) 6、 {y︳ 0 <y<1} 课题:2.2.1 对数与对数运算(1) 参考答案 例 1. (1) log5 625 ? 4 (4) ( 1 ) ?4 ? 16 (2) log 2

1 ? ?6 64

(3) log 1 5.73 ? m
3

2

(5) 10?2 ? 0.01

(6) e2.303 ? 10

例 2.求下列各式中 x 的值:

(1) x ? 64

1 ? ; 3

(2) x ? 6 2

(3) x ? 3

(4) x ? ?3
1

达标检测: 1. (1) 2 =8
3

(2) 2 =32 (3) 2 =

5

?1

? 1 1 (4) 27 3 ? 2 3

2.把下列对数式写成指数式 (1)

32 ? 9 (2) 53 ? 125 (3) 2?2 ?

1 4

(4) 3

?4

? 81

3.求下列各式的值 (2) 2 (2) ?4 (3) 2 (4) ?2 (5) 4 (6) ?4 4.求下列各式的值 (1) 1 (2) 0 (3) 2 (4) 2 (5) 3 (6) 5 课题:2.2.1 对数与对数运算(2)参考答案 例 1.计算:
-65-

① ?2 ; ②

2 4 ; 3

③ 1;



2 5

⑤ ?

3 ;⑥ 2 2

⑦9

⑧1 ;

例 2. 用㏒ ax, ㏒ ay ㏒ az 表示下列各式: (1) 2loga x ? loga y ? loga z (3) (2) 2loga x ? loga y ? loga z

1 log a x ? 2 log a y ? log a z 2

六、达标检测: 1、 (1)× (2)×(3)× (4)×(5)×(6)√(7)× -2, 2 2、 1 ,- 1 , 3、 (1) lg x ? lg y ? lg z ⑶ lg x ? 3lg y ? ⑵ lg x ? 2lg y ? lg z ⑷

1 lg z 2

1 lg x ? 2 lg y ? lg z 2

课题:2.2.1 对数与对数运算(3)参考答案 例 1:计算下列各式的值: ①

5 ; 4



15 ;③ 3 ; 16

④ 1;

⑤4?

2

⑥ 18

例 2: log 4 7 ? 例 3:解:
? ?

1 1 log3 7 b log 2 7 ? ? 2 2 log3 2 2a

? ? ? ? ? log2 6
? ??

?1? ?1? ?1? ?? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 4? ? 4?
六、达标检测: 1.

?1? ?? ? ? 4?

? log2 6

? 4log2 6 ? 2log2 36 ? 36

5 4 a b

2. 1

3. 1

4.

9 4

5. 1 ?

6. x ?

1 4

7. 0

8.12

课题:2.2.2 对数函数及其性质(1) 参考答案 例 1、 ① 不是 ② 不是源:③ 是 ④ 不是 ⑤ 是 ⑥ 不是源:

例 2、 (1) 定义域为 x x ? 0

?

?

(2) 定义域为 x x ? 3

?

?
-66-

例 3、略 例 4、 (1) log2 3.4 ? log2 8.5 (2) log0.2 1.4 ? log0.2 2.5 (3) a ? 1,loga 5.4 ? loga 5.5 六、达标检测: 3、(1) 定义域为 x x ? 1 ; (2) 定义域为 x x ? 0且x ? 1 ;; (3) 定义域为 ? x x ? ? ;;

1 ? a ? 0,loga 5.4 ? loga 5.5

?

?

?

?

? ?

1? 3?

4、(1) log10 6 < log10 8 ; (4) log1.5 1.6 >0;

(2) log 0.5 6 < log 0.5 4 ; (5) log 2 0.5 >1 ;
3

(3) log 2 0.5 > log 2 0.6 ;
3 3

(6) log 3 2 > log 2 2 ;
2 3

课题:2.2.2 对数函数及其性质(2) 参考答案 例 1、

4 1 3 , 3, , 3 10 5

变式训练 1: c ? d ? a ? b 例 2、(1) ?a a ?

? ?

3 2 ? 或 ? a ? o? 2 3 ?

(2)当 a ? 1 时, x x ? 6 , 例 3、 ?a a ?

?

?

当 0 ? a ? 1 时, x 6 ? x ? 4

?

?

? ?

5 ? 或a ? ?1? 3 ? 6? ? 5?

例 4、 ?a 6 ? a ?

? ?

六、达标检测: 1、 ? ?1,1? 2、左 3 下 1 3、 (1) m ? n ; 4、 a ? 1或 5、 x ? ?3 6、 a ? (2) m ? n (3) m ? n; (4) m ? n;

2 ?a?0 3

1 2
-67-

7、 x 3 ? x ? 2

?

?
? ? 1? 3?

课题:2.2.2 对数函数及其性质(3)参考答案 例 1、解:由 3x ? 2 x ? 1 ? 0 得函数的定义域为 ? x x ? 1或x<- ?
2

则当 a>1 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数,
2

∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。

若 x< ?

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3
2

当 1>a>0 时, 若 x>1,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为增函数, 若 x< ? ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为减函数。 ∴ f ( x) ? loga (3x2 ? 2x ?1) 为增函数。

1 2 ,∵u= 3x ? 2 x ? 1 为减函数, 3

变式训练 1:求以下函数的单调区间 (1) y ? log2 (x 2 ? 2x ? 3) 在 ?1, ?? ? 单调递增;在 ? ??,1? 单调递减. (2) y ? log3 x 2 在 ? 0, ??? 单调递增;在 ? ??,0? 单调递减.

(3) y ? log 1 (x 2 ? x) 在 ?1, ?? ? 单调递减;在 ? ??,0? 单调递增.
2

例 2、解:∵ f ( x) ? 2 ? log3 x, x ??1,9?, ∴y?? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? = ? 2 ? log x ?
2
3

2

? 2 ? log 3 x 2 = ? 2 ? log 3 x ? ? 2 ? 2 log 3 x
2
2

∵函数 f ( x)的定义域为?1,9? ,
2

= log32 x ? 6log3 x ? 6 = ? log 3 x ? 3? ? 3

∴要使函数 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x 就需要 ?

? ? 有意义,
2
2

?1 ? x 2 ? 9

?1 ? x ? 9 当 log3 x ? 1 时即 x ? 3 时 y ? 13
2

∴ 1 ? x ? 3, ?0 ? log3 x ? 1 ,∴ 6 ? y ? ? log 3 x ? 3? ? 3 ? 13

∴ x ? 3 时,函数取 y ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

变式训练 2: 求函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x2 ) 的值域是 ? ?2, ?? ? 。 例 3、求下列函数的反函数: (1) y ? log3 x ; 六、达标检测: 1、⑶、⑷ 5、③ 2、 ? 2,1? 3、⑷ 4、 f ( ) ? f ( ) ? f (2) (2) y ? 6
x

? ? 最大值 13
2

1 4

1 3

6、 2 2 ? a ? 2 ? 2 2
-68-

2.3 幂函数 参考答案 例 1:(1)(4)是幂函数;(2) (3) (5)不是幂函数 例 2: (1)1.5 ? 1.7 达标检测 1-4 C D A A
1.5
1 1

1.5

(2) 1.1

?

1 2

? 0 .9

?

1 2

5.

(1) 3.142 < ? 2 (3) 1.25 < 1.22
?1 ?1

(2) (?0.38) 3 > ?? 0.39? (4) ( )

3

6. 2 或-1
1

7.

?x x ? 0且x ? 2?
(2) f (25) ?

1 3

? 0.25

<( )

1 3

? 0.27

8. a< - 4

9.

(1) y=x 2 ,( x ? 0)

1 5

10. (1)

v? v? v?

81 ? 54 ? 3086(cm3 / s), ( k ? 0) v ? k ? r 4 ,(k ? 0) 400

(2)

81 ? r4 400 81 ? 54 ? 3086(cm3 / s ) 400

(3)

3.1.1 方程的根与函数的零点 参考答案 练习:1 D 2 4、-1 3 B 4 A 2 达标检测:1、B.2、解:由题意知方程 f(x)=x -ax-b 的两个根是 2 和 3,所以 a=5,b=-6, 2 故 g(x)=-6x -5x-1=0,解得两根为 -1/2,-1/3.因此零点为-1/2,-1/3. 3、解:(1)当 a=0 时,函数为 y=-x+2,则其零点为 x=2; 1 1 (2)当 a= 时,则由( x-1)(x-2)=0,解得 x=2,则其零点为 x=2; 2 2 1 1 1 (3)当 a≠0 且 a≠ 时,则由(ax-1)(x-2)=0,解得 x= 或 x=2,则其零点为 , 2. 2 a a x x 4、解析:由 f(x)=a -x-a=0,可得 a =x+a, x 设 y1=a ,y2=x+a,由题意可知,两函数的图象有两个不同的交点,分两种情况: ①当 0<a<1 时,如下图: ②当 a>1 时,如下图:

不合题意; 综述,a 的取值范围为(1,+∞).

符合题意.

3.1.2 用二分法求方程的近似解 参考答案 达标检测: 1C 2A
-69-

3、解:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算,列表如下:

由上表的计算可知, 区间[1.6875,1.75]的长度 1.75-1.6875=0.0625<0.1, 所以 x4=1.6875 就是函数的一个正数零点的近似值. 4 解:取价格区间[500,1000]的中点 750,如果主持人说低了,就再取[750,1000]的中点 875; 否则取另一个区间(500,750)的中点;若遇到小数取整数.照这样的方案,游戏过程猜测价如 下:750,875,812,843,859,851,经过 6 次可猜中价

3.1 函数与方程习题课 参考答案 达标检测: 2 一选择题:1、B 解析:令-x +5x-6=0,得 x1=2,x2=3. 2 a x -a 2、B 解析:f(x)=x- = 其定义域为{x|x∈R 且 x≠0}故 a≤0 即可. x x 3、A 解析:∵f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,故 可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算. x 4、C 解析:设 f(x)=e -(x+2),则由题设知 f(1)=-0.28<0,f(2)=3.39>0,故有一个根 在区间(1,2)内.
?x +2x-3=0 ? 5、C 解析:由? ? ?x≤0
2 2

?-2+lnx=0 ? 得 x=-3,由? ? ?x>0

得 x=e ,故有两个零点.

2

6、 B 解析: 令 f(x)=2ax -x-1, ∴f(x)=0 在(0,1)内恰有一解, ∴f(0)·f(1)<0, 即-1·(2a -2)<0,∴a>1. -2 -1 0 7、D 8、C 解析:∵f(-2)=e -4<0,f(-1)=e -3<0,f(0)=e -2<0,f(1)=e-1>0. x ∴f(x)=e +x-2 的零点所在区间是(0,1).故选 C. 9、A 二、填空题 10、解析:因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以 0.75 或 0.6875 都可作为方程的近似解. 答案:0.75 或 0.6875 2 11、 解析:函数 f(x)=ax-b 的零点是 3,所以 3a-b=0,即 b=3a,于是函数 g(x)=bx 2 +3ax=bx +bx=bx(x+1),令 g(x)=0,得 x=0,或 x=-1. 答案:0,-1 ?x1x2<0, ? 12、解析:由韦达定理得? 即 ?Δ >0, ?

-70-

m ? ? <0 ?2 ? ?(m+1)2-8m>0

?m<0 ? ?? 2 ? ?m -6m+1>0

?m<0 ?? ?m<3-2 2,或m>3+2 2

?m<0.

∴m 的取值范围是(-∞,0). 答案:(-∞,0) 0.1 n 13、解析:由 n <0.01,得 2 >10, 2 ∴n 的最小值为 4. 答案:4 x x 14、解析:由 f(x)=a -x-a=0,可得 a =x+a, x 设 y1=a ,y2=x+a,由题意可知,两函数的图象有两个不同的交点,分两种情况: ①当 0<a<1 时,如下图:

不合题意; ②当 a>1 时,如下图:

符合题意. 综述,a 的取值范围为(1,+∞). 2 15、解:∵f(x)=mx +x-a-m,当 m=0 时, f(x)=x-a, a∈R 时,f(x)有零点,当 m≠0 时, 2 2 Δ =1 -4m(-a-m)=4m +4am+1≥0,恒成立, 2 则有 16a -16≤0,∴-1≤a≤1. 16、解法一:∵函数 f(x)为奇函数,且 x>0 时, f(x)=lnx+2x-6. ∴当 x<0 时,-x>0, f(-x)=ln(-x)-2x-6 即-f(x)=ln(-x)-2x-6, ∴f(x)=-ln(-x)+2x+6, ∴函数 f(x)的解析式为: lnx+2x-6 (x>0) ? ? (x=0) f(x)=?0 ? ?-ln(-x)+2x+6 (x<0) .

易得函数 f(x)有 3 个零点. 解法二:当 x>0 时,在同一坐标系中作出函数 y=lnx 和 y=6-2x 的图象,由图象的对称性以 及奇函数性质可知,函数 f(x)在 R 上有 3 个零点. 17、解:据题意有 f(m)=0,f(n)=0,且 f(a)=-2,f(b)=-2,画出 f(x)的草图如右图:

-71-

观察图象可知,a 与 b 一定在区间(m,n)上,因此实数 a,b,m,n 的大小关系应为 m<a<b<n. 3.2 函数模型 参考答案 1.解析: (1)由表观察知,沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数

y=kx+b 的图象
将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b, 求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 2.教材 P97 例 2 3.教材 P102 例 3 4.教材 P104 例 5

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