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1.2独立性检验的基本思想及其初步应用1


高二数学学案选修 1-2(文科) 命制人: 审核人: 使用时间:

课题:独立性检验的基本思想及其初步应用 学习目标:1. 通过对典型例题的探究,了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想及初步应用; 2. 通过对典型例题的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想及初步应用; 重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤 难点: (1)了解独立性检验的基本思想; (2)了解随机变量 K 的含义 一、相关概念 1.分类变量: 2.列联表: 3.等高条形图: 二、探究新知 探究 1 为研究吸烟是否对患肺癌有影响, 某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人, 得到如下结果 (单位: 人) : 表 1 吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 那么吸烟是否对患肺癌有影响? 【分析】首先判断不同群体患肺癌的可能性大小,得到直观判断;然后对判断进行诊断,来分析其是否可 靠.
2

通过数据和图形分析,我们得到直观判断是 问题:我们做出的上述判断是否可靠呢?

探究 2 随机变量 K 与独立性检验的基本思想 1、为了回答上述问题,我们先假设 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系, 看看能够得到什么样的结论. 把表 1 中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表(表 2) : 表 2 吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a?b a b 吸烟 c ?d c d 总计 a?c b?d a ?b?c?d 如果“吸烟与患肺癌没有关系” ,那么吸烟样本中不患肺癌的比例应该与不吸烟样本中相应的比例差不多, 即 1

2

只有比别人更勤奋,才能品尝成功的滋味 a c , a(c ? d ) ? c(a ? b) , ad ? bc ? 0 ? a?b c?d
因此 | ad ? bc | 越小,说明 ; | ad ? bc | 越大,说明 .

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量

n(ad ? bc) 2 , K ? (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. 若 H 0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系” ,则 K 2 应该很小,根据表 1 中的数据利用上述公式计算得到 K 2 的观测值为 k ?

9965 ? (7775 ? 49 ? 42 ? 2099 ) ? 56.632 . 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91

这个值能够告诉我们什么呢?

2、独立性检验的基本思想: ① 独立性检验的必要性(为什么不能只凭列联表的数据和图形下结论?)

② 师生共同总结“探究”的解决步骤:

思考: 在吸烟与患肺癌的例子中,由 k≈56.632≥6.635 得结论“吸烟与患肺癌有关系”,并且这个结论 犯错误的概率不会超过 0.01。另一方面,由下表可知 2 P(K ≥10.828)≈0.001, 因此由 k ≈56.632≥10.828 也可得结论“吸烟与患肺癌有关系” ,并且这个结论犯错误的概率不会超过 0.001。 这里用到的是同样的数据,得到的是相同的结论,为什么会得到不同的犯错误概率的上界估计?两个 估计中哪一个正确? 附:临界值表 P(K ≥ k 0 )
2

0.50 0.455

0.40 0.70 8

0.25 1.32 3

0.15 2.07 2

0.10 2.70 6

0.05 3.84 1

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001 10.82 8

k0

例 1 在某医院,因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中,有 214 人秃顶;而另外 772 名不是因为患心脏 性而住院的男性病人中,有 175 人秃顶.利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系.能否在犯错误的概率不 2

超过 0.010 的前提下认为秃顶与患心脏病有关系?

跟踪练习:在吸烟与患肺病是否相关的判断中,有下面的说法: ① 若 K 的观测值 k ? 6.635 , 则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下, 认为吸烟与患肺病有关系, 那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ② 从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为吸烟与患肺病有关系时,若某人 吸烟,则他有 99%的可能患有肺病; ③ 从独立性检验可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为吸烟与患肺病有关系时,是指有 5%的可能性使得推断错误. 其中说法正确的是 .
2

当堂检测 1.以下有关分类变量的说法正确的是( ) A. 分类变量是表示个体所属的不同类别的两个变量 B. 分类变量的取值是离散的,不同取值表示个体所属不同类别 C. 分类变量不同取值可以用数字表示,这时的数字除分类外还有其他意义 D. 以上答案均不正确 2.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了一些学生的专业情况,得到如下列联表(单位:人) : 非统计专业 统计专业 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 为了判断主修统计专业是否与性别有关, 根据表中的数据得到 K 的观测值 k ? 4.84 .因为 k ? 3.841 ,
2

所以认为“主修统计专业与性别有关系”.这种判断出错的概率不超过 课后作业 A组 1.下列有关列联表的结论正确的是(

.

)

A.列联表只是两个分类变量的汇总统计表 B.列联表中能显示出分类变量的频数 C.列联表能粗略估计两分类变量是否有关 D.以上均不对 2.在吸烟与患肺癌是否有关的研究中,下列属于两个分类变量的是( A.吸烟、不吸烟 B.患肺癌、不患肺癌 3 )

只有比别人更勤奋,才能品尝成功的滋味
C.是否吸烟、是否患肺癌 3.在列联表中,两个比值( A. D.以上都不对 )相差越大,两分类变量之间的关系越强. C.

a c 与 a?b c?d

B.

a c 与 c?d a?b

a c 与 a?b b?c

D.

a c 与 b?d a?c

4.为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下列联表: 药物效果与动物试验列联表 患病 服用药 没服用药 总计 10 20 30 未患病 45 30 75 总计 55 50 105

能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为药物有效?

B组 考察表 2,定义 W ?|

a c ? | ,根据独立性检验原理,如何构造一个判断 X 和 Y 是否有关系的规则, a?b c?d

使得在该规则下把“X 和 Y 没有关系”错判成“X 和 Y 有关系”的概率不超过 0.010?

4


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