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河北省衡水中学11-12学年高二下学期期末考试(数学理)

2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试 高二年级(理科)数学试卷
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1.已知 Z 1
? 3 ? i , Z 2 ? 1 ? i , Z 1 是 Z 1的共轭复数 , i 为虚数单位 ,则 Z1 Z2 ?





A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i ( )

2.若 m ? 0 ,则 | x ? a |? m 和 | y ? a |? m 是 | x ? y |? 2 m 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. ? ( 1 ? x ? x ) dx ?
2 ?1 1

B.必要而不充分条件 D.既不充分有必要条件 ( ) C. ? ? 1 D. ? ? 1

A. ?

B.

?
2

π 4. 在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sinθ ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切线长 6 为( A.4 5. a ? ) B. 7 C.2 2 D.2 3 )

?

2 0

xd x , b ? ? e d x , c ?
x 0

2

?

2 0

sin xd x , 则 a、 b、 c 大小关系是(

A a?c?b

Ba ? b ? c

C c?b?a

Dc ? a ? b

6 .如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线分别与AE、 BE相交于C、D,若∠AEB= 30 0 ,则∠PCE等于( A 150
0

) D 60 0

P B D E C 第6题 A

B 75 0

C 105

0

7.关于 x 的不等式 | cos x ? lg(1 ? x ) |? | cos x | ? | lg(1 ? x ) | 的解集为
2 2





A.(-1,1)

B. ( ?

?
2

, ? 1) ? (1,

?
2

)

-1-

C. ( ?

? ?
, 2 2

)

D.(0,1)

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 8..直线 ? (t 为参数)和圆 x 3 ? y ? ?3 3 ? t ? ? 2

2

? y

2

? 1 6 交于 A、 两点, AB 的中点坐标为 B 则

( ) A.(3,-3) B.(- 3,3) C.( 3,-3) D.(3,- 3)

9.如图所示, 是圆 O 的直径, AB 直线 MN 切圆 O 于 C, CD⊥AB, AM⊥MN, BN⊥MN,则下列结论中正确的个数是( ①∠1=∠2=∠3 ③CM=CD=CN A. 4 ②AM· CN=CM· BN ④△ACM∽△ABC∽△CBN. B.3 C.2
1 3
3

)

D.
x ? 1 2

1
| a | x ? a ? b x 在 R 上有极
2

10.已知非零向量 a , b 满足: | a |? 2 | b | ,若函数 f ( x ) ? 值,设向量 a , b 的夹角为 ? ,则 co s ? 的取值范围为( A.[ [ ,1]
2 1

) D. [ ? 1, )
2 1

B. ( ,1]
2

1

C. [ ? 1, ]
2

1

11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r ,则 r=

2S ; a+b+c

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=( A. V S1+S2+S3+S4 ) B. 2V S1+S2+S3+S4

3V C. S1+S2+S3+S4 12.若实数 x , y , z 满足 x A.[-1,1]
2

4V D. S1+S2+S3+S4
? y
2

?z
1 2

2

? 1 则 x y ? y z ? z x 的取值范围是


1 1 , ] 2 2



B.[ ?

,1]

C.[-1, ]
2

1

D. [ ?

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 13. 以 R t ? A B C 的直角边 A B 为直径作圆 O ,圆 O 与斜边 A C 交于 D ,过 D 作圆 O 的切线与 B C 交于 E ,若 B C ? 3 , A B ? 4 ,则 O E =_________ ? 14. 已 知 曲 线 C 1 、 C 2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ? ? ? 2 co s(? ? ) ,
2 2 ? co s(? ?

?
4

) ? 1 ? 0 ,则曲线 C 1 上的点与曲线 C 2 上的点的最远距离为

-2-

15.设 a ?

x ? xy ? y , b ? p
2 2

xy , c ? x ? y ,若对任意的正实数 x , y ,都存在以 a , b , c 为三边

长的三角形,则实数 p 的取值范围是

.

16.在求某些函数的导数时,可以先在解析式两边取对数,再求导数,这比用一般方法求导 数更为简单,如求 y ? x
e
x

的导数,可先在两边取对数,得 ln y ? ln x
1 y ?y
'

e

x

?e

x

ln x ,再
x

在两边分别对 x 求导数,得

?e

x

ln x ? e

x

?

1 x

即为 y

' x

? ? y ?e ?

x

ln x ? e

?

1 ? ? ,即 x ?

导数为 y ? x

e

x

? ?e ? ?

x

ln x ?

e

? ?。 若根据上面提供的方法计算函数 y ? x x ? ?
x

x

的导数, y ? 则
'

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)已知 a ? b ? 1 ,对 ? a , b ? (0, ? ? ) , 求 x 的取值范围。
1 a ? 4 b ? | 2 x ? 1 | ? | x ? 1 | 恒成立,

18.(本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ? 2 ? 3t ? y ? 2 ? 4t

( t为 参 数 )

( 它与曲线 C: y - 2 ) ? x ? 1 交于 A、B 两点。
2 2

(1)求|AB|的长 (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 ( 2 2 , 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。
3? 4 ),

19. (本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺 绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样 的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f ( 2 ) , f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 5 ) 并猜测 f ( n ) 的表达式;

P

C

A -3D E

.

O

B

1 1 1 1 3 ? . (2)求证: + + +…+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1 2

20. 本题满分 10 分)如图, ? ABC 内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA 是过点 A 的直线, 且 (
? PAC ? ? ABC .

(Ⅰ) 求证: PA 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,
CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求 sin ? BCE .

21.(本题满分 14 分)某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数,单位为米)为半径的半 圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形 C M D C 区域用于观赏样板 地, ? O C D 区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已 知观赏样板地的成本是每平方米 2 元,花木的利润是每平方米 8 元, .. .. 草皮的利润是每平方米 3 元. 1) ? CD ( 设 O ..
? ? (单 位 : 弧 度 ) 用 ? 表 ,

M C

D

示弓形 C M D C 的面积 S 弓 ? f (? ) ;(2)园林公司应该怎样规划这块土 地,才能使总利润最大? 并求相对应的 ? (参考公式:扇形面积公式 S ?
1 2 R ? ?
2

A

O

B

1 2

R l , l 表示扇形的弧长)

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2

a x ? (2 a ? 1) x ? 2 ln x ( a ? R )
2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x ) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2 ] ,均存在 x 2 ? (0, 2 ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) ,求 a
2

的取值范围.

-4-

-5-

高二年级(理科) 期末数学答案
一、选择题:DABCD 二、填空题 13.
5 2

CADBD CB 14. 2 ? 1 15. (1,3) 16. x
x

(1 ? ln x )

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)解:∵ a>0,b>0 且 a+b=1 ∴ 故 分 因为对 a,b∈(0,+∞),使 分
1 a 1 a 1 a

+

4 b

=(a+b)(

1 a

+

4 b

)=5+

b a

+

4a b

≥9,

+

4 b

的最小值为 9,

------------------------5

+

4 b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以,|2x-1|-|x+1|≤9, -7

-6-

当 x≤-1 时,2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1, ∴ -1<x< 10 分
1 2

当 -1<x< ∴
1 2

1 2

时,-3x≤9, -------------

,当 x≥

1 2

时,x-2≤9,

≤x≤11,∴ -7≤x≤11

18. 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得
7 t ? 12 t ? 5 ? 0
2

设 A , B 对应的参数分别为 t 1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ?

12 7
2

, t1 t 2 ? ?

5 7


71 7

……3 分

所以 AB ?

( ? 3 ) ? ( ? 4 ) t1 ? t 2 ? 5 ( t1 ? t 2 ) ? 4 t1 t 2 ?
2 2

10



……5 分

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 ( ? 2 , 2 ) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中点
M 对应的参数为

t1 ? t 2 2

?

6 7



……8 分

所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为
PM ? ( ? 3) ? ( ? 4 ) ?
2 2

6 7

?

30 7



……10 分

20. 解: (1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴ f(5)=25+4×4=41. ∵ f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4· (n- 2), f(n-2)-f(n-3)=4· (n-3),… f(2)-f(1)=4×1, ∴ f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)· n,∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2), 又 n=1 时,f(1)也适合 f(n). ∴ f(n)=2n2-2n+1. 1 1 1 1 1 (2)当 n≥2 时, = 2 = ?n-1-n?, ? f?n?-1 2n -2n+1-1 2? ∴ 1 1 1 1 + + +…+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1 --------6 分

1 1 1 1 1 1 =1+ ?1-2+2-3+…+n-1-n? 2? ? 1? 1? 3 1 =1+ ?1- ?= - . 2? n? 2 2n ---------------12 分

-7-

20. (Ⅰ)证明: AB

为直径,? ? ACB ?
?
2

?
2

,

P

C

? CAB ? ? ABC ?

? ? PAC ? ? ABC ? ? PAC ? ? CAB ?

?
2

A E

.

O

B

? PA ? AB , AB 为直径,? PA 为圆的切线

D

…………………… 3 分 (Ⅱ) CE ? 6 k , ED ? 5 k , , AE ? 2 m , EB ? 3 m
? AE ? EB ? CE ? ED ? m ?
? ? AEC ∽ ? DEB ?
? ? CEB ∽ ? AED ?

5k
3m 6k ? BD ? 4 5
2 2

BD 8
2 2

?

BC AD

?

25 m 25 m

? 64 ? 80

? (

3k m

) ? m ? 2, k ?
2

2 5 5

? AB ? 10 , BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ? BAD ?

BD AB

?

4 5 10

?

2 5 5

? ? BCE ? ? BAD ? s i n? B C E ?
1 2

2 5 5

…………………… 10 分
1 2

21 【解析】 (1) S 扇 ?

R ? , S ?OCD ?
2

1 2

R sin ?
2

,

S 弓 ? f (? ) ?

R (? ? sin ? )
2

.………3 分

(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y 1 元,花木地利润为 y 2 ,观赏样板地成本为 y 3
1 1 2 1 2 1 2 2 y1 ? 3( ? R ? R ? ) , y 2 ? R sin ? ? 8 , y 3 ? R (? ? sin ? ) ? 2 , 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ? y ? y 1 ? y 2 ? y 3 ? 3( ? R ? R ? ) ? R sin ? ? 8 ? R (? ? sin ? ) ? 2 . 2 2 2 2 ? 1 2 R [3? ? (5? ? 1 0 sin ? )]
2

M C

D

……8 分 设 g (? ) ? 5? ? 10 sin ?
g (? ) ? 5 ? 10 cos ?
'

? ? (0, ? ) .
1 2 , g (? ) 在 ? ? 0 , (

A

O

B

, g ' (? ) ? 0, c os ? ?
, g (? ) 在 ? ? (

?
3

)上为减函数;

g (? ) ? 0, c os ? ?
'

1 2

?
3

, ? )上为增函数.

……12 分

当? ?

?
3

时, g (? ) 取到最小值,此时总利润最大.
?
3

答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 22.解: f ? ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) ?
2 x
( x ? 0) .

时,总利润最大. ---------2 分

………14 分

-8-

(Ⅰ) f ? (1) ? f ? (3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ? ( x ) ?
( a x ? 1)( x ? 2 )

2 3

. ---------3 分

( x ? 0) . x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2 ) 上, f ?( x ) ? 0 ;在区间 (2, ? ? ) 上 f ?( x ) ? 0 ,

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2 ) ,单调递减区间是 (2, ? ? ) . ②当 0 ? a ?
f ?( x ) ? 0 ,
1 2

时,

1 a

? 2 , 在区间 (0, 2 ) 和 (

1 a

, ? ? ) 上, f ?( x ) ? 0 ;在区间 ( 2 ,

1 a

)上

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2 ) 和 ( , ? ? ) ,单调递减区间是 ( 2 , ) .
a a

1

1

③当 a ? ④当 a ?
f ?( x ) ? 0 ,

1 2 1 2

时, f ? ( x ) ? 时, 0 ?
1 a

( x ? 2) 2x

2

, 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ? ? ) .
1 a 1 a ) 和 (2, ? ? ) 上, f ?( x ) ? 0 ;在区间 ( 1 a 1 a , 2) 上

? 2 , 在区间 (0,

故 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ) 和 (2, ? ? ) , 单 调 递 减 区 间 是 ( , 2 ) . --------9 分 ---------10

(Ⅲ) 由已知, (0, 2 ] 上有 f ( x ) m ax ? g ( x ) m ax . 在 分 由已知, g ( x ) m ax ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?
1 2

时, f ( x ) 在 (0, 2 ] 上单调递增,

故 f ( x ) m ax ? f (2) ? 2 a ? 2(2 a ? 1) ? 2 ln 2 ? ? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 , 所以, ? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 , 故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?
1 2 1 2

.
1 1 a , 2 ] 上单调递减,

时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [
1 a
a 1

故 f ( x ) m ax ? f ( ) ? ? 2 ? 由a ?
1 2

? 2 ln a .
1 e ? ? 1 , 2 ln a ? ? 2 , ? 2 ln a ? 2 ,

2a

可知 ln a ? ln

1 2

? ln

所以, ? 2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x ) m ax ? 0 , 综 上 ---------14 分 所 述 ,
a ? ln 2 ? 1

.

-9-


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