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【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第九章 第一节 变化率与导数、导数的计算突破热点题型 文


第一节

变化率与导数、导数的计算

考点一

导数的计算

[例 1] 求下列函数的导数: (1)y=(1- x)?1+ (3)y=tan x; (5)y=

? ?

1?

?;(2)y= x ; x?
(4)y=3 e -2 +e;
x x x

ln x

x+ x +1
2

.

[自主解答] (1)∵y=(1- x)?1+

? ?

1?

?= - x=x-2-x2, x? x

1

1

1

1 1 1 3 1 1 ∴y′=(x- )′-(x )′=- x- - x- . 2 2 2 2 2 2

(2)y′=? (3)y′

?ln x?′= ? ? x ?


x

x


1 ·x-ln x x-x′ln x x 1-ln x = = . 2 2 2

x

x

?sin x? ?cos x? ? ?



x

x-sin x 2 cos x

x



cos xcos x-sin x -sin x 1 = 2 2 . cos x cos x (4)y′= (3 e )′- (2 )′+e′= (3 )′e + 3 (e )′- (2 )′= 3 (ln 3)·e + 3 e - 2 ln 2=(ln 3+1)·(3e) -2 ln 2. (5)y′=
x x x x x x x x x x x x x x x

x+

x2+ - x2+
-2x
2

x+
2

x2+



x+ 2x+3

x2+ x+
2

x+


x2+

- 2x x+

x+ x2+

x+
2

.

【互动探究】 若将本例(3)中“tan x”改为“sin ?1-2cos ?”,应如何求解? 4? 2?
2

x?

x?

1

x? x x 1 1 2x? 解:∵y=sin ?1-2cos ?=-sin cos =- sin x,∴y′=- cos x. 4? 2? 2 2 2 2
【方法规律】 导数的计算方法 (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导. (5)三角形式:先利用三 角函数公式转化为和或差的形式,再求导. (6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.

求下列函数的导数:

x+x5+sin x 1 1 (1)y= ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y= + ;(4)y= x2 1- x 1+ x
cos 2x 2x ;(5)y= 3-x+e . sin x+cos x

x +x5+sin x
解:(1)∵y= 3 2

1 2

x

2

3 sin x 3 =x- +x + 2 , 2 x 3 2 5 2

y′=(x- )′+(x3)′+(x-2sin x)′=- x- +3x2-2x-3sin x+x-2cos x.
(2)∵y=(x +3x+2)(x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11. 1 1 2 ? 2 ?′=- (3)∵y= + = ,∴y′=? ? 1 - x ?1-x? 1- x 1+ x -x -x
2 2 3 2 2



2 -x

2

.

cos 2x (4)∵y= =cos x-sin x,∴y′=-sin x-cos x. sin x+cos x 1 1 1 1 2x 2x (5)y′= (3-x)- (3-x)′+e (2x)′=- (3-x)- +2e . 2 2 2 2 [例 2] (1)已知函数 f(x)的导函数 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1) =( ) A.-e B.-1 C.1 D.e

(2)等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·?·(x-a 8), 则 f′(0) =( A.2
6

)

B.2

9

C.2

12

D.2

15

(3)(2013·江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f′(1)=

x

x

2

________. [自主解答] (1)∵f(x)=2xf′(1)+ln x,∴f′(x)=[2xf 1 2f′(1)+ ,

]′+(ln x)′=

x

∴f′(1)=2f′(1)+1,即 f′(1)=-1. (2) 因 为

f′(x) x-a8 x-a8



x′·

[ x-a1

x-a2

x-a8

]



[ x-a1 [ x-a1

x-a2 x-a2

]

′·x = (x - a1)(x - a2)?(x - a8) +

] ′·x ,所以 f′(0) = (0 - a1)(0 - a2)?(0- a8) + 0 =

a1a2?a8.因为数列{an}为等比数列,所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以 f′(0)=84=212.
1 x (3)令 t=e ,故 x=ln t,所以 f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x,所以 f′(x)= +

x

1,所以 f′(1)=2. [答案] (1)B (2)C (3)2 【方法规律】 导数运算的两个技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算 法则求 导数. (2)在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记准公式,预防犯 运算错误.

?π ? ? π? ?π ? 1.若函数 f(x)=cos x+2xf′? ?,则 f?- ?与 f? ?的大小关系是( ?6? ? 3? ?3? ? π ? ?π ? A.f?- ?=f? ? ? 3? ?3? ? π ? ?π ? C.f?- ?<f? ? ? 3? ?3? ? π ? ?π ? B.f?- ?>f? ? ? 3? ?3?
D.不确定

)

π ?π ? ?π ? ?π ? 解析:选 C 依题意得 f′(x)=-sin x+2f′? ?,∴f′? ?=-sin +2f′? ?, 6 ?6? ?6? ?6? π π 1 π ?π ? 1 ?π ? ? π? ? π? ∴f′? ?= .∴f(x)=cos x+x, 即 f? ?=cos + = + , f?- ?=cos?- ? 3 3 2 3 ?6? 2 ?3? ? 3? ? 3? π 1 π - = - , 3 2 3

?π ? ? π ? ∴f? ?>f?- ?. ?3? ? 3?
2.(2014·台州模拟 )已知 f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=

3

f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 014(x)等于 (
A.-sin x-cos x C.-sin x+cos x B.sin x-cos x D.sin x+cos x

)

解析:选 C f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=f1′(x)=(sin x+cos x)′=cos x-sin x,

f3(x)=f2′(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x,f4(x)=f3′(x)=sin x-cos x, f5(x)= f4′(x)=sin x+cos x.故 fn(x)是以 4 为周期的周期函数,又 2 014=503×4
+2, ∴f2 014(x)=f2(x)=-sin x+cos x.

高频考点

考点二 导数的几何意义

1.导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现 在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题. 2.高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度: (1)已知切点求切线方程; (2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程; (3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围. [ 例 3] (1)(2012·新课标全国卷 ) 曲线 y = x(3lnx + 1) 在点 (1,1) 处的切线方程为

________________. (2)(2013·广东高考)若曲线 y=ax -ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= ________. (3)(2013·江西高考)若曲线 y=x +1(α ∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点, 则α =________. 4 (4)(2014·南京模拟)已知点 P 在曲线 y= x 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则 α 的取值范围是________. 3 [自主解答] (1)y′=3ln x+1+x· =3ln x+4,k=y′|x=1=4,故切线方程为 y-
α 2

x

1=4(x-1),即 y=4x-3. 1 1 2 (2)∵f(x)=ax -ln x,则 f′(x)=2ax- ,∴f′(1)=2a-1=0,得 a= . x 2 (3)求导得 y′=α x
α -1

,切线的斜率 k=α ,由点斜式得切线方程为 y-2=α (x-1).
x
2

4 -4e ∵切线经过原点(0,0),∴-2=α ×(-1),α =2.(4)∵y= x ,∴y′= x e +1 e +1

4



-4e -4 1 x x = .∵e >0,∴e + x≥2,∴y′∈[-1,0),∴tan α ∈[-1,0).又 x e +2e +1 x 1 e e + x+2 e
2x

x

α ∈[0,π ),∴α ∈?

?3π ,π ?. ? ? 4 ?
(2) 1 2 (3)2 (4)?

[答案] (1)y=4x-3

?3π ,π ? ? ? 4 ?

与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为:①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的 导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式求得切线方程为 y-y0 =f′(x0)·(x-x0). (2)已知斜率求切点.已知斜率 k,求切点(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)求切线倾斜角的取值范围.先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然 后利用正切函数的单调性解决.

1.已 知直线 y=kx+b 与曲 线 y=x +ax+1 相切于点(2,3),则 b 的值为( A.-3 B.9 C.-15 D.-7
3

3

)

解析: 选 C 将点(2,3)分别代入曲线 y=x +ax+1 和直线 y=kx+b, 得 a=-3,2k+b =3.又 k=y′|x=2=(3x -3)|x=2=9,∴b=3-2k=3-18=-15. 2.已 知 a 为常数,若曲线 y=ax +3x-ln x 存在与直线 x+y-1=0 垂直的切线,则 实数 a 的取值范围是( ) 1? ? B.?-∞,- ? 2? ? D.(-∞,-1]
2 2

? 1 ? A.?- ,+∞? ? 2 ?
C.[-1,+∞)

1 解析:选 A 由题意知曲线上存在某点的导数为 1,所以 y′=2ax+3- =1 有正根,

x

即 2ax +2x-1=0 有正根.当 a≥0 时,显然满足题意;当 a<0 时,需满足 Δ ≥0,解 1 1 得- ≤a<0.综上,a≥- . 2 2 3.若点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 ____ ____. 1 解析:设 P(x0,y0)到直线 y=x-2 的距离最小,则 y′|x=x0=2x0- =1,得 x0=1
2

2

x0

5

1 |1-1-2| 或 x0=- (舍).∴P 点坐标为(1,1).∴P 到直线 y=x-2 的距离 d= = 2. 2 1+1 答案: 2

————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 个区别——“过某点”与“在某点”的区别 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别:前者

P(x0,y0)为切点,而后者 P(x0,y0)不一定为切点.
个注意点——导数运算及切线的理解应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. (2)利用导数公式求导数时,只要根据几种基本函数的定义,判断原函数是哪类基本函 数,再套用相应的导数公式求解,切不可因判断函数类型失误而出错. (3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一 定是曲线的切线, 同样, 直线是曲线的切线, 则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点. (4)曲线未必在其切线的同侧,如曲线 y=x 在其过(0,0)点的切线 y=0 的两侧.
3

6


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