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2012年高考圆锥曲线真题汇编——文科数学(解析版)


2012 高考试题分类汇编:8:圆锥曲线 一、选择题
1.【2012 高考新课标文 4】设 F1 F2 是椭圆 E :
x? 3a 2
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为直线

上一点, ? F 2 PF 1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
1 2
(B)


? ?

( A)

2 3

(C )

? ?

(D )

【答案】C 【 解 析 】 因 为 ? F 2 PF 1 是 底 角 为 30 ? 的 等 腰 三 角 形 , 则 有

F 2 F1 ? F 2 P
0

,
? 30 ,所以 F 2 D ?
0


1 2


1 2



? PF 1 F 2 ? 30
3a 2

0


1 2





? PF 2 D ? 60 , ? DPF

2

PF 2 ? 3 4

F1 F 2 ,即

?c ?

? 2c ? c ,

所以

3a 2

? 2 c ,即

c a

?

3 4

,所以椭圆的离心率为 e ?

,选 C.

2. 【2012 高考新课标文 10】 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 与抛物线 y 2 ? 16 x C 的准线交于 A , B 两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)


(D ) ?

2

(B)

2 2

(C ) ?

【答案】C 【解析】设等轴双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? m ( m ? 0 ) ,抛物线的准线为 x ? ? 4 ,由
AB ? 4 3 ,则 y A ? 2 3 ,把坐标 (? 4 , 2 3 ) 代入双曲线方程得 m ? x ? y
2 2

? 16 ? 12 ? 4 ,

所以双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,即 选 C.

x

2

?

y

2

? 1 ,所以 a

2

? 4 , a ? 2 ,所以实轴长 2 a ? 4 ,

4

4

3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C 1 :
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

的离心率为 2.若抛物线 的方程为

C 2 : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2

-1-

(A) x 2 ? 【答案】D

8 3 3

y

(B) x 2 ?

16 3 3

y

(C) x 2 ? 8 y

(D) x 2 ? 16 y

【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 (0,

p 2

) ,双曲线的渐近线为 y ? ?

b a

x ,不妨取 y ?

b a

x ,即

a?
bx ? ay ? 0 ,焦点到渐近线的距离为

p 2 ? 2 ,即 ap ? 4 a ? b
2
2

2

a

2

?b

? 4 c ,所以

c a

?
2

p 4

双曲线的离心率为

c a

? 2 ,所以

c a

?

p 4

? 2 ,所以 p ? 8 ,所以抛物线方程为

x

? 16 y ,选 D.

4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ? 4 ,则该椭圆的方程 为 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

16 x
2

12 y
2

12 x
2

8 y
2

(C)

?

?1

(D)

?

?1

8

4

12

4

【答案】C 【解析】椭圆的焦距为 4,所以 2 c ? 4 , c ? 2 因为准线为 x ? ? 4 ,所以椭圆的焦点在 x 轴上,
a
2

且 ?

? ?4 , 所 以 a

2

? 4c ? 8 , b

2

? a ?c
2

2

?8?4 ? 4 ,所以椭圆的方程为

c x
2

?

y

2

? 1 ,选 C.

8

4

5.【2012 高考全国文 10】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
| P F1 |? 2 | P F2 | ,则 cos ? F1 PF2 ?

(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【解析】双曲线的方程为
x
2

?

y

2

? 1 ,所以 a ? b ?

2

2

2 , c ? 2 ,因为|PF1|=|2PF2|,所以点

P 在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得|PF2|= 2 2 ,|PF1|= 4 2 ,所以根

-2-

据余弦定理得 cos F1 PF 2 ?

( 2 2 ) ? ( 4 2 ) ? 14
2 2

2?2 2 ?4 2

?

3 4

,选 C.

6.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲 线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

【答案】B 【解析】设椭圆的长轴为 2a,双曲线的长轴为 2a ? ,由 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 2 a ? 2 ? 2 a ? ,即 a ? 2 a ? ,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离心 率为 e ? ?
c a?

,e ?

c a



e? e

?

a a?

? 2.

7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点
M (2, y 0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | O M |? (

) D、 2 5

A、 2 2 【答案】B

B、 2 3

C、 4

【解析】 根据题意可设设抛物线方程为 y ? 2 px 2 , 则点 M (2, ? 2 到该抛物线焦点的距离为 3 ,
p? ? ? ? 2 ? ? ? 4 P ? 9 , 解得 p ? 2 ,所以 O M ? 2 ? ?
2

? p ? 点 p ) Q 焦点 ? , 0 ? , M ? 2 ?

4 ? 4? 2 ? 2 3 .

8.【2012 高考四川文 11】方程 ay ? b 2 x 2 ? c 中的 a , b , c ? { ? 2, 0,1, 2, 3} ,且 a , b , c 互不相同, 在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、28 条 B、32 条 C、36 条 【答案】B ) D、48 条

【解析】本题可用排除法, a , b , c ? { ? 2, 0,1, 2, 3} ,5 选 3 全排列为 60,这些方程所表示的曲 线要是抛物线,则 a ? 0 且 b ? 0 ,,要减去 2 A 42 ? 24 ,又 b ? ? 2或 2 时,方程出现重复,重 复次数为 4,所以不同的抛物线共有 60-24-4=32 条.故选 B. 9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n , m n ? 0 ”是“方程 m x 2 ? ny 2 ? 1 的曲线是椭圆” “
-3-

的(

) B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分

A、充分不必要条件 也不必要条件 【答案】B. 【解析】∵ mn >0,∴ ?

?m ? 0, ?n ? 0,

或?

?m ? 0, ?n ? 0,



方程 mx

2

?m ? 0, 2 故“ mn >0” “方程 mx 是 ? ny =1 表示的曲线是椭圆,则一定有 ? ?n ? 0,

2

? ny =1
2

表示的是椭圆”的必要不充分条件。 10.【2012 高考江西文 8】椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点

分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.
1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5 -2

【答案】B 【 解 析 】 椭 圆 的 顶 点 A ( ? a , 0 ), B ( A , 0 ) , 焦 点 坐 标 为 F1 ( ? c , 0 ), F2 ( c , 0 ) , 所 以
AF 1 ? a ? c , F1 B ? a ? c , F1 F2 ? 2 c ,又因为 AF 1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,所以有
c a 5 5

4 c ? ( a ? c )( a ? c ) ? a ? c ,即 5 c ? a ,所以 a ?
2 2 2
2 2

5 c ,离心率为 e ?

?

,选 B.

11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : 近线上,则 C 的方程为 A.
x
2

x a

2 2

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐

20

-

y

2

5

=1 B.

x

2

5

-

y

2

20

=1 C.

x

2

80

-

y

2

20

=1

D.

x

2

20

-

y

2

80

=1

[w~#ww.zz&st^ep. com@ ]

【答案】A 【解析】设双曲线 C :
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 10, c ? 5 .
b a
5 ,? C 的方程为
x
2

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?
y
2

?2 ,即 a ? 2 b .

又 c 2 ? a 2 ? b 2 ,? a ? 2 5,b ?

20

-

5

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想
-4-

和基本运算能力,是近年来常考题型. 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线
x a
2 2

-

y

2

5

=1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于

A

3 14 14

B

3 2 4

C

3 2

D

4 3

【答案】C. 【解析】根据焦点坐标 ( 3 , 0 ) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a 2 ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 , 因此 e ?
3 2

.故选 C.

二 、填空题
13. 【2012 高考四川文 15】 椭圆
x a
2 2

?

y

2

? 1( a 为定值, a ? 且

直线 x ? m 5 ) 的的左焦点为 F ,

5

与椭圆相交于点 A 、 B , ? FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 【答案】
2 3



【解析】当直线 x ? m 过右焦点时 ? FAB 的周长最大,最大周长为 4 a ? 12 ,? a ? 3 ;
? c ? a ? b ? 4 ,即 c ? 2 ,? e ?
2 2 2

2 3

2 2 14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x ? y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上

一点,若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 2 3 【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?
? P F1
2

2 ,? P F1 ? P F2 ? 2 a ? 2,

? 2 P F1 P F2 ? P F2
2

2

?4
? ( 2 c ) ? 8,? 2 P F1 P F 2 ? 4 ,
2

? P F1 ? P F 2 ,? P F1
2

? P F2

2

? ( P F1 ? P F 2 ) ? 8 ? 4 ? 1 2 ,? P F1 ? P F 2 ? 2 3

【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中。 解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化。 15.【2012 高考江苏 8】 分)在平面直角坐标系 xO y 中,若双曲线 (5 为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。
-5x
2

?

y
2

2

m

m ?4

? 1 的离心率

【解析】由

x

2

?

y
2

2

m

m ?4
=

? 1 得 a = m, b = m ? 4, c = m ? m ? 4 。
2 2
2

∴e=

c a

m ?m ? 4 m

=

5

,即 m 2 ? 4 m ? 4= 0 ,解得 m = 2 。

16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

【答案】 2 6 .

【解析】设水面与桥的一个交点为 A,如图

建立直角坐标系则,A 的

坐标为(2,-2).设抛物线方程为 x 2 ? ? 2 py ,带入点 A 得 p ? 1 ,设水位下降 1 米后水面与 桥的交点坐标为 ( x 0 , ? 3 ) ,则 x 0 ? ? 2 ? ? 3, x 0 ? ? 6 ,所以水面宽度为 2 6 . 17.【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 y ?
b 3a x 与双曲线
x a
2 2

2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 左支的交

点, F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?
3 2 4

【答案】

? b ? 3 2 a ?x ? ? ? y ? 3a x 3 2 ? ? 4 a ? c ,即离心率 【解析】由 ? 2 得? ,又 PF1 垂直于 x 轴,所以 2 4 2 ?x ? y ?1 ? y ? ? b 2 ?a2 ? b ? 4 ?

为e ?

c a

?

3 2 4



18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A , B 两点,若
| A F |? 3 ,则 | BF | =______。

-6-

【答案】

3 2

【解析】设 ? AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 B F ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ? 1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3 cos ? ? cos ? ?
1 3

又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ?
x a
2 2

2 1 ? cos ?

?

3 2



19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 C 1 :
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与 双 曲 线

C2 :

x

?

y

4

16

? 1 有相同的渐近线,且 C 1 的右焦点为 F ( 5 , 0) ,则 a ?

b?

【答案】1,2 【解析】双曲线的
x
2

?

y

2

? 1 渐近线为 y ? ? 2 x ,而

x a

2 2

?

y b

2 2

4

16 x a
2 2

? 1 的渐近线为 y ? ?

b a

x,

所以有

b a

? 2 , b ? 2a ,又双曲线

?

y b

2 2

? 1 的 右 焦 点 为 ( 5 ,0 ) , 所 以 c ?

5 ,又

c

2

? a ? b ,即 5 ? a ? 4 a
2 2 2

2

? 5 a ,所以 a
2

2

? 1, a ? 1, b ? 2 。

三、解答题
20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 (a>b>0),点 P( , )在椭圆上。

(I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜 率的值。 【答案】

-7-

21.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆
? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的

左、右焦点分别为 F1 ( ? c ,0) , F2 ( c ,0) .已知 (1 ,e ) 和 ? e , ? 离心率. (1)求椭圆的方程;

3 ? ? 都在椭圆上,其中 e 2 ? ?

为椭圆的

(2)设 A , B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, A F2 与 BF1 交于点 P. (i)若 A F1 ? B F2 ?
6

2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

,求直线 AF1 的斜率;

【答案】解: (1)由题设知, a 2 = b 2 ? c 2, e =
1 a
2 2

c a

,由点 (1 ,e ) 在椭圆上,得

?

e b

2 2

?1?

1 a
2

?

c
2

2 2

=1 ? b ? c = a b ? a = a b ? b =1

2

2

2

2

2

2

2

2



a b

∴ c 2 =a 2 ? 1 。

-8-

由点 ? e , ?
?

?

3 ? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2 4

e a

2 2

?

? 3? ? ? ? 2 ? b
2

?1?

c a

?

? 3? ? ? ? 2 ? 1

2

?1?

a ?1 a
4

2

?

3 4

? 1 ? a ? 4a ? 4=0 ? a = 2

4

2

2

∴椭圆的方程为

x

2

? y ?1。
2

2

(2)由(1)得 F1 ( ?1 , , F2 (1 ,0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) ∴ 设
AF1



BF2

的 方 程 分 别 为

m =y ? , x1

?= y ,1x m

A ? x1, y1 ? , B ? x 2, y 2 ? , y1 > 0, y 2 > 0 。
?x 2 2 2 m ? 2m ? 2 ? 1 ? y1 ? 1 2 2 ? m ? 2 y1 ? 2 m y1 ? 1= 0 ? y1 = ∴? 2 2 m ?2 ?my =x ? 1 1 1 ?

?

?



∴ A F1 = ? x1 ? 1 ? ? ? y1 ? 0 ? = ? m y 1 ? ? y 1 = m ? 1 ?
2 2 2 2 2

m?

2m ? 2
2

m ?2
2

?

2 ? m ? 1? ? m m ? 1
2 2

m ?2
2

。①

同理, B F 2 =

2 ? m ? 1? ? m
2

m ?1
2

m ?2
2
2

。②

(i)由①②得, A F1 ? B F 2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m = 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为
1 m = 2 2

2m
2

m ?1

m ? 2

。解

2m
2

m ?1
2

m ? 2

=

6 2

得 m 2 =2。

。 ∥ , ∴
PB P F1 ? B F2 A F1

( ii ) 证 明 : ∵

AF1

BF2

, 即

PB P F1

?1?

B F2 AF

?1?
1

PB ? PF PF

1 ? 1

BF ? AF 2 AF


1

1

∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

B F1 。

-9-

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

?2

2 ? B F2

?。

同理。 P F 2 =

B F2 A F1 ? B F 2

?2

2 ? A F1

?。

∴ P F1 + P F 2 =

A F1 A F1 ? B F 2

?2

2 ? B F2 ?

?

B F2 A F1 ? B F 2

?2
?1

2 ? A F1 ? 2

?

2 ?

2 A F ?B F 2 A F1 ? B F 2

由①②得, A F1 ? B F = ∴ P F1 + P F2 = 2 2 ?
2 2

2 2 m m
2

?

2

?

?2

, A F ?B F =

m m

2 2

?1 ?2



=

3 2

2。

∴ PF1 ? PF2 是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 ,e ) 和 ? e , ?
? ? 3 ? ? 都在椭圆上列式求解。 2 ? ?

(2)根据已知条件 A F1 ? B F2 ?

6 2

,用待定系数法求解。

22.【2012 高考安徽文 20】 (本小题满分 13 分) 如图, F1 , F 2 分别是椭圆 C :
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(

a ?b ? 0)

的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF 2 与椭圆 C 的另 一个交点, ? F1 A F 2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解析】

- 10 -

23.【2012 高考广东文 20】 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xO y 中, 已知椭圆 C 1 : 且点 P (0,1) 在 C 1 上. (1)求椭圆 C 1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程. 【答案】 【解析】 (1)因为椭圆 C 1 的左焦点为 F1 ( ? 1, 0) ,所以 c ? 1 ,
x a
2 2

x

2 2

?

y b

2 2

a

?1 a?b?0) ( 的左焦点为 F1 ( ? 1, 0) ,

点 P (0,1) 代入椭圆

?

y b

2 2

? 1 ,得

1 b
2

? 1 ,即 b ? 1 ,

所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ,
x
2

所以椭圆 C 1 的方程为

2

? y ?1.
2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

- 11 -

?x 2 ? y ?1 ? ,消去 y 并整理得 (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 4 km x ? 2 m 2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m ?
2

因为直线 l 与椭圆 C 1 相切,所以 ? ? 16 k 2 m 2 ? 4(1 ? 2 k 2 )(2 m 2 ? 2) ? 0 , 整理得 2 k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 ①

? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x 2 ? (2 km ? 4) x ? m 2 ? 0 。 ? ? y ? kx ? m

因为直线 l 与抛物线 C 2 相切,所以 ? ? (2 km ? 4) 2 ? 4 k 2 m 2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ②

? ? 2 2 ?k ? ? ?k ? 综合①②,解得 ? 2 。 2 或? ? ? ?m ? ? 2 ?m ? 2

所以直线 l 的方程为 y ?

2 2

x?

2 或y ? ?

2 2

x?

2 。

24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为

2 2

, 直线 y=k(x-1)

与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为 【答案】
10 3

时,求 k 的值

- 12 -

25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 M :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 2

,直线 x ? ? a 和 y ? ? b 所围成的矩形

ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m ( m ? R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不 同的交点 S , T .求
c a | PQ | | ST |

的最大值及取得最大值时 m 的值.
2 2

【答案】(21)(I) e ?

?

3 2

?

a ?b a
2

?

3 4

??①

- 13 -

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2 b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是
? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? y ? x ? m,

x

2

? y ?1.
2

4

(II) ?

? 5 x ? 8m x ? 4m ? 4 ? 0
2 2


4m ? 4
2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? m , x1 x 2 ?
5

8



5

由 ? ? 64 m 2 ? 20(4 m 2 ? 4) ? 0 得 ?
2 2

5 ?m?

5

.
2

| P Q |?

2

4m ? 4 4 2 ? 8 ? ? ?? m? ? 4 5 5 ? 5 ?

5?m

.

当 l 过 A 点时, m ①当 ?
| PQ | | ST | ?

? 1 ,当 l

过 C 点时, m

? ?1 .

5 ? m ? ? 1 时,有 S ( ? m ? 1, ? 1), T (2, 2 ? m ), | ST |?
4 5 5?m
2 2

2 (3 ? m ) ,

(3 ? m )

?

4 5

?

4 t
2

?

6 t

?1,

其中 t

? m ? 3 ,由此知当

1 t

?

3 4

,即 t ?

4 3

,m ? ?

5 3

? ( ? 5 , ? 1)

时,

| PQ | | ST |

取得最大值

2 5

5

.

②由对称性,可知若 1 ?

m ?

5

,则当 m ?
| PQ | | ST | ? 2 5
2 5

5 3

时,

| PQ | | ST |

取得最大值

2 5

5

.

③当 ? 1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m
? 0 时,

5?m

2



| PQ | | ST |

取得最大值
| PQ | | ST |

5

.
2 5

综上可知,当 m ? ?

5 3

和 0 时,

取得最大值

5

.

26.【2102 高考福建文 21】 (本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程;

- 14 -

(2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒 过 y 轴上某定点。

【答案】

27.【2012 高考上海文 22】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小 题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分

- 15 -

在平面直角坐标系 xO y 中,已知双曲线 C : 2 x 2 ? y 2 ? 1 (1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 M F ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( k ?
OP ⊥ O Q

2 )的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求证:
2 2









- 16 -

28. 【2012 高考新课标文 20】 (本小题满分 12 分) 2 设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的 圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点到 m,n 距离的比值. 【答案】

- 17 -

29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, 物线 C: y 2 =2px(P>0)的准线的距离为 动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。
5 4

1 2

)到抛

。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。 【答案】

- 18 -

【解析】

1 ?2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2 . p 5 ,得 ? ? ?1 ? ?t ? 1 ? 2 4 ?

(2)设 A ( x1 , y1 ), B ? x 2 , y 2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q ( m , m ) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ). 由?
? y1 ? 2 p x 1 ?
2

? y2 ? 2px 2 ?
2

,得 ( y 2 ? y1 )( y1 ? y 2 ) ? k ( x 2 ? x1 ) ,得 k ? 2 m ? 1
1 2m ( x ? m ) ,即 x ? 2 m y ? 2 m ? m ? 0 .
2

所以直线的方程为 y ? m ?
? x ? 2my ? 2m ? m ? 0 ?
2

由?

?y ? x ?
2

,整理得 y 2 ? 2 m y ? 2 m 2 ? m ? 0 ,

所以 ? ? 4 m ? 4 m 2 , y1 ? y 2 ? 2 m , y1 y 2 ? 2 m 2 ? m .从而得
AB ? 1? 1 k
2

y1 ? y 2 ?

1 ? 4m

2

4m ? 4m ,
2

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则
1 ? 2m ? 2m 1 ? 4m
2 2

d ?

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 2

A B ? d ? 1 ? 2( m ? m ) ?
2

m?m .
2

由 ? ? 4 m ? 4 m 2 ? 0 ,得 0 ? m ? 1 . 令t ?
m ? m ,0 ? t ?
2

1 2 1 2

,则 S ? t (1 ? 2 t 2 ) . ,则 S ? ? 1 ? 6 t 2 .
6

设 S ? t (1 ? 2 t 2 ) , 0 ? t ?

由 S ? ? 1 ? 6 t 2 ? 0 ,得 t ?

6 6 ? 1? ? ? 0, S ? ,故 ? ABP 的面积的最大值为 . ? ,所以 m a x 9 9 6 ? 2?

30.【2012 高考湖南文 21】 (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 离心率为 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
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1 2

的椭圆 E 的一个焦点为圆 C: 2+y2-4x+2=0 x

(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 切时,求 P 的坐标.

1 2

的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相

- 19 -

【答案】 【解析】 (Ⅰ)由 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 .故圆C的圆心为点
x a
2 2

(2, 0), 从而可设椭圆E的方程为
c a
x
2

?

y b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 其焦距为 2c ,由题设知

c ? 2, e ?
y
2

?

1 2

,? a ? 2 c ? 4, b ? a ? c ? 12. 故椭圆E的方程为:
2 2

?

? 1.

16

12

( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ) , l1 , l 2 的 斜 分 率 分 别 为 k 1 , k 2 . 则 l1 , l 2 的 方 程 分 别 为
l1 : y ? y 0 ? k1 ( x ? x 0 ), l 2 : y ? y 0 ? k 2 ( x ? x 0 ), 且 k1 k 2 ?

1 2

. 由 l1 与 圆 c : ( x ? 2) ? y ? 2 相
2 2

切,得
2 k1 ? y 0? k1 ? 1
2

k1 x 0 ? 2 ,

即 同理可得

? (2 ? x 0 ) ? 2 ? k1 ? 2(2 ? x 0 ) y 0 k 2 ? y 0 ? 2 ? 0. ? ?
2 2 2

? ( 2 x0 ? ?

2

) ? 2 2? ? ? k
2

? ( x2 2 0

y 0 k 2 ? y? ?) 0
2

.

2

0

2 从而 k 1 , k 2 是方程 ? (2 ? x 0 ) 0 ? 2 ? k 2 ? 2(2 ? x 0 ) y 0 k ? y 0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ?
2 ? ( 2 ? x0 ) ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ? ? ? 8 ? ( 2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?



且 k1k 2 ?
2

y0 ? 2
2

(2 ? x2 ) ? 2
2

? 2.

? x0 y ? 0 ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5 x 0 ? 8 x 0 ? 36 ? 0. 解得 x 0 ? 2, 或 x 0 ? . 2 y0 ? 2 1 5 ? ? ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 2 2 ?
2

由 x 0 ? ? 2 得 y 0 ? ? 3; 由 x 0 ?

18 5

得 y0 ? ?

57 5

, 它们满足①式,故点P的坐标为

( ? 2, 3) ,或 ( ? 2, ? 3) ,或 (

18 5

,

57 5

) ,或 (

18 5

,?

57 5

).

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、

- 20 -

函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c , a , b 即得椭圆 E 的方 程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为
1 2

,得出关于点 P 坐标的一个

方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标. 31.【2012 高考湖北文 21】 (本小题满分 14 分) 2 2 设 A 是单位圆 x +y =1 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点, 点 M 在直线 l 上,且满足 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为 曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射 影为点 N,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H,是否存在 m,使得对任意的 K>0,都有 PQ⊥PH?若 存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。 21. 【答案】

- 21 -

- 22 -

【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不 要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解 的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.【2012 高考全国文 22】(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 2 与圆 M : ( x ? 1) 2 ? ( y ?
1 2 ) ? r ( r ? 0 ) 有一个公共点 A ,且
2 2

在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距 离。 【答案】

- 23 -

33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分) 如图,动圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? t 2 ,1<t<3,

- 24 -

与椭圆 C 2 :

x

2

9

? y ? 1 相交于 A,B,C,D 四点,点 A1 , A2 分别为 C 2 的左,右顶点。
2

(Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 【答案】

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函 数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 34.【2012 高考江西文 20】 (本小题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) A ( -2,1 ) B ( 2,1 ) 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x,y ) 满 足 , , ,

(1)求曲线 C 的方程;
- 25 -

(2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是(0, -1) 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。 ,l 【答案】 【解析】

35.【2012 高考四川文 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 与两定点 A ( ? 1, 0) 、 B (1, 0) 构成 ? M AB ,且直线 M A、 M B 的斜率之积为

y

M

A
4,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

O B

x

(Ⅱ) 设直线 y ? x ? m ( m ? 0) 与 y 轴交于点 P , 与轨迹 C 相交于点 Q、 R , | PQ | ? PR | , 且 | 求
| PR | | PQ |

的取值范围。

【答案】 【解析】

- 26 -

36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴 上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为
F1 , F 2 ,线段 O F1 , O F2

的中点分别为

且△ AB1 B 2 是面积为 4 的直角三 B1 , B 2 , 角形。Ⅰ) ( 求该椭圆的离心率和标准方程; ( Ⅱ ) 过 B1 作 直 线 交 椭 圆 于 P , Q ,
PB 2 ? Q B 2 ,求△ P B 2 Q 的面积
x
2

【答案】 (Ⅰ)

20

+

y

2

4

=1(Ⅱ)

16 10 9

- 27 -

- 28 -

37.【2012 高考陕西文 20】 (本小题满分 13 分)
x
2

已知椭圆 C 1 :

4

? y ? 1 ,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率。
2

(1)求椭圆 C 2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上, O B ? 2 O A ,求直线 A B 的方程。 【答案】
??? ? ??? ?

- 29 -

- 30 -


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