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备战2014年高考之2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题分类汇编5:数列 Word版含答案]


备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题 (大部分详解)分类汇编 5:数列
一、选择题 1 . (云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理) 设 S n 为等差数列 {an }的前n

项和,若 a3 ? 3, S9 ? S6 ? 27 ,则该数列的首项 a1 等于 A. ?





6 5

B. ?

3 5

C

6 .5

D.

3 5

【答案】D【解析】由 ?

?a1 ? 2d ? 3 ?a1 ? 2d ? 3 3 得? ,解得 a1 ? ,选 5 ?9a1 ? 36d ? (6a1 ? 15d ) ? 27 ?a1 ? 7 d ? 9

D.
2 ( . 【解析】 甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题) 已知等差数列

?an ?


的前项和为 Sn ,且 A.
9 4

S S4 ? 4 ,则 6 ? S2 S4
3 2

( C.
5 3

B.

D.4

【答案】 A 【解析】设 S2

? x, 则S4 ? 4x,因为S2、S4 -S2、S6 -S4 成等差数列,所以
S6 9 x 9 ? ? 。选 A。 S4 4 x 4

S6 -S4 =5x,即S6 =9 x ,所以

3 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学)已知定义在 R 上的函数 f ( x)、g ( x)

满足

f ( x) ? f ( x ) g '(x ) ? a x , 且 f '( x ) g ( x ) , g ( x)

f (1) f (?1) 5 ? ? ,若有穷数列 g (1) g (?1) 2
( D.7 )

? f ( n) ? 31 ? ? ( n ? N * )的前 n 项和等于 ,则 n 等于 32 ? g (n) ?
A.4
【答案】B【解析】 [

B.5

C.6

f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) ]' ? ,因为 f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) , 2 g ( x) g ( x)

所 以 [ g ( x) ] '?

f (x )

f 'x ( g ) x( ?) f x ( g )x ' ( ) f ( x) ? ax 单 调 递 减 , 所 以 ? 0, 即 函 数 2 g ( x ) g ( x)

0 ? a ? 1 .又

5 1 5 f (1) f (?1) 5 a?2 a ? a ?1 ? a? ? ? ? 2 ,即 a 2 ,解得 g (1) g (?1) 2 ,即 (舍去)

a?


1 1 1 f ( x) 1 x f ( n) 1 ? ( ) ,即数列 ? ( ) n 为首项为 a1 ? ,公比 q ? 的等比 2 .所以 g ( x) 2 2 2 g ( n) 2

1 1 ? ( )n a1 (1 ? q n ) 1 2 ? 1 ? ( 1 ) n ,由1 ? ( 1 ) n ? 31 得 ( 1 ) n ? 1 , 数列,所以 Sn ? ? ? 2 32 2 32 1? q 2 1? 1 2 2
解得 n ? 5 ,选 B.

4 . (贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,

已知 a5 ? 8, S 3 ? 6 ,则 a9 ?

A .8

B . 12

C . 16

D . 24

【答案】 【解析】 在等差数列数列中, a5 ? a1 ? 4d ? 8, S3 ? 3a1 ?

3? 2 d ? 3a1 ? 3d ? 6 , 2
C.

即 a1 ? d ? 2 ,解得 a1 ? 0, d ? 2 .所以 a9 ? a1 ? 8d ? 8 ? 2 ? 16 ,选

5 . ( 甘 肃 省 兰 州 一 中 2013 高 考 冲 刺 模 拟 ( 一 ) 数 学 ( 理 ) ) 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足

an ? 0,n ? 1, 2, ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ?
A. n (2n ? 1)
【答案】C 6 . (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题) 已知等差数列

? log2 a2n?1 ?
B. ( n ? 1) 2 C. n 2 D. (n ? 1)2





?an ? 满足


a2 ? a4 ? 4 , a5 ? 4a3 ,则数列 ?an ? 的前 10 项的和等于
A.23
【答案】

( D.138
1

B.95 B.

C.135

7 ( .云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学) 数列{an}的通项公式是 an=

n ? n ?1



若前 n 项和为 10,则项数 n 为 A.120 B.99
【答案】A【解析】由

( C.11 D.121



an ?

n ?1 ? n ?? n ? 1 ? n , 所 以 ( n ? n ? 1 ) (n ? ? 1 n )
即 n ?1 ?1 ?1 0 ? ( n ?1 ? n ) ? 10 , ,

a1 ? a2 ?

? an ? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ?

即 n ? 1 ? 11,解得 n ? 1 ? 121, n ? 120 .选 A.
8 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且

满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的项为 a1 a2 a15

A.

S6 a6

B. S 7
a7
【 解 析 】 由 S15 ?

C. S 9
a9

D. S 8
a8

【 答 案 】 D

S16 ?

15(a1 ? a16 ) 15(a9 ? a8 ) = ? 0 ,得 a9 ? a8 ? 0 ,所以 a9 ? 0 ,且 d ? 0 . 所以数 2 2

15(a1 ? a15 ) =15a8 ? 0 , 得 a8 ? 0 . 由 2

列 {an } 为 递 减 的 数 列 . 所 以 a1 ,

a8 为 正 , a9 ,


an 为 负 , 且 S1 ,

S15 ? 0 ,

S16 ,

Sn ? 0 , 则

S9 S ? 0 , 10 ? 0 a9 a10

S8 S8 S1 ? 0, ? ? 0, ,1 ? a8 , 又 S8 ?S1 a 所以 a8 a1 a8
D.

所以最大的项为

S8 ,选 a8

9 . ( 【解析】甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题)已知

{an } 为等比
( )

数列,若 a4 ? a6 ? 10, 则a1a7 ? 2a3 a7 ? a3 a9 的值为 A.10 B.20 C.60 D.100

【答案】D【解析】 a1a7

? 2a3a7 ? a3a9 ? a42 ? 2a4a6 ? a62 ? (a4 +a6 )2 ? 100 。选 D。
S8 等于 a9
C.8 D.10

10. (云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理)已知公差不为零的等差

数列 {an }的前n项和为S n , 若a10 ? S 4 , 则 A.4 B.5





4?3 【答案】A【解析】由 a10 ? S 4 得 a1 ? 9d ? 4a1 ? d ? 4a1 ? 6d ,即 a1 ? d ? 0 。所 2
以 S8 ? 8a1 ?

S 8? 7 36d 36d d ? 8a1 ? 28d ? 36d ,所以 8 ? ? ? 4 ,选 A. 2 a9 a1 ? 8d 9d

11. (云南省部分名校 (玉溪一中、 昆明三中、 楚雄一中) 2013 届高三下学期第二次统考数学 (理) 试题)等比数列 {an } 中, a3

? 6 ,前三项和 S3 ? ? 4 xdx ,则公比 q 的值为
0

3





A.1
【答案】

B. ? C.

1 2

C.1 或 ?

1 2

D. ?1 或 ?

1 2

12. (云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题(详解) )已知等差数列

?an ?


中, a3 ? a9 ? a15 ? 9 ,则数列 ?an ? 的前 17 项和 S17 =



A.102 C.48

B.36 D.51 17(a1 ? a17 ) 【答案】 S17 ? ? 17a9 , a3 ? a9 ? a15 ? 3a9 ? 9 ,∴a9 ? 3 .故选 2
13. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)在数列

D.

?an ? 中,若对任

意的 n 均有 an ? an ?1 ? an ? 2 为定值( n ? N * ) ,且 a7 ? 2, a9 ? 3, a98 ? 4 ,则数列 ?an ? 的前 100 项的和 S100 ? A. 132 ( )

B. 299

C. 68

D. 99

【答案】B【解析】不妨设

an ? an ?1 ? an ? 2 ? T ,同理:an ?1 ? an ? 2 +an +3 ? T , 所 以

an ? an ?3 , 所 以 数 列

?an ?

是 以

3

为 周 期 的 周 期 数 列 , 所 以

a1 ? a7 ? 2, a3 ? a9 ? 3, a2 ? a98 ? 4 , S100 ? 33 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a1 ? 299 。
14. (甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)在等差数

列 {an } 中, a2 ? a6 ? a16 为一个确定的常数, Sn 为其前 n 项和,则下列各个和中也为确定 的常数的是( A. S17
【答案】

) B. S10 D. C. S8 D. S15





15. (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题)设等差数列

{an } 的前 n 项和为 Sn,若 a1=-15, a3+a5= -18,则当 Sn 取最小值时 n 等于
A.9
【答案】B





B.8

C.7

D.6

16 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学) 已知数列{ an }满足 a1

?1 ,


? 2an ( n为正奇数) an ?1 ? ? ,则其前 6 项之和是 ? an ? 1 ( n为正偶数)
A.16 B.20 C.33 D.120



【 答 案 】 C 【 解 析 】

a2 ? 2a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 1 ? 3,a4 ? 2a3 ? 6 ,
C.

a5 ? a4 ? 1 ? 7,a6 ? 2a5 ? 14 ,所以 S6 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 14 ? 33 ,选

17. ( 【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)若数列 ?a n ? 的通项为

an ?

2 ,则其前 n 项和 S n 为 n(n ? 2)





A. 1 ?

1 n?2

B.

3 1 1 ? ? 2 n n ?1

C.

3 1 1 ? ? 2 n n?2

D.

3 1 1 ? ? 2 n ?1 n ? 2

【 答 案 】 D 【 解 析 】 法

1 : 因 为 an ?

2 1 1 , 所 以 ? ? n(n ? 2) n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2 1 1 1 3 1 1 。选 D. ? 1? ? ? ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 2 n ?1 n ? 2 2 1 2 法 2 : 使 用 特 种 法 。 因 为 a1 ? ,a2 = , 所 以 S1 ? a1 ? , 此 时 3 4 3 3 1 1 3 1 1 1 2 1 11 B, ? ? 。 A, ? 0 .C ? ? ? 不 成 立 , 排 除 。 S2 ? ? ? 2 n n ?1 2 n n?2 6 3 4 12 1 1 3 D. 1? ? 1 ? ? ,不成立,排除 A,所以选 n?2 4 4 S n ? a1 ? a2 ?
二、填空题 18. ( 【解析】云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学)已知等差数列 ?an ? 的公

差为 2 ,项数是偶数,所有奇数项之和为 15 ,所有偶数项之和为 35 ,则这个数列的项 数为______________ ;
【 答 案 】 20 【 解 析 】 因 为 项 数 是 偶 数 , 所 以 由 题 意 知

a1 ? a3 ?


? an?1 ? 15 ,
减 得

a2 ? a4 ?

? an ? 35







(a2 ? a ? a ? a ? 1)
n? 40 40 ? ? 20 。 d 2

? a ( n 4? an? ?

? 3)

?

( , 即

n d? ,) 所 以 1 20 2

3

5

19. (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中) )

在正项等比数列 ?an ? 中, a1和a19 为方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a8 ? a10 ? a12 等
2


【答案】64【解析】由题意知 a1a19

? 16 ,在正项等比数列中, a1a19 ? a102 ? 16 ,所以

a10 ? 4 ,所以 a8a10a12 ? a103 ? 43 ? 64 。
20 . ( 云 南 师 大 附 中 2013 届 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 八 ) 理 科 数 学 试 题 ( 详 解 ) ) 已知函数

f (m) ? log(m?1) (m ? 2)(m ? N * ) , 令 f (1) ? f (2) ?

? f (m) ? k , 当 m ??1, 2013? , 且

k ? N * 时,满足条件的所有 k 的值的和为________________.
【答案】 f (1) f (2) … f (m) ? log2 3 log3 4 log4 5 … log( m?1) (m ? 2)

? log 2 (m ? 2) ? k , m ? 2k ? 2 ,∵m ?[1, 2013], k ? N* , 210 ? 1024, 211 ? 2013 ,

所以, k 值组成的集合为 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , 2 ? 3 ? … ? 9 ? 10 ? 54 .
21. (甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟(一)数学 (理) ) 设数列

?an ? 的各项均为正数,前 n 项

和为 Sn ,对于任意的 n ? N ? , an , Sn , an 2 成等差数列,设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 且 bn ?

(ln x)n ,若对任意的实数 x ? ?1, e? ( e 是自然对数的底)和任意正整数 n ,总 an 2
.

有 Tn ? r (r ? N? ) .则 r 的最小值为
【答案】2 .

22. (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)数列 {an } 的首项为 1,数列

{bn } 为等比数列且 bn ?
【答案】1024

an ?1 ,若 b10 ? b11 ? 2 ,则 a21 ? __________. an

23. (贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

S9 ? ?36 , S13 ? ?104 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 ,则 b6 ?
【答案】



?4 2 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由 S ? ?36 9
?a1 ? 4d ? ?4 ? ?a1 ? 6d ? ?8

,

S13 ? ?104

得 ,

9?8 ? 9a1 ? d ? ?36 ? ? 2 ? ?13a ? 13 ?12 d ? ?104 1 ? ? 2

, 即

, 解 得

a1 ? 4, d ? ? 2

。 所 以

a5 ? a1 ? 4d ? ?4



a7 ? a1 ? 6d ? ?8

, 所 以

b5 ? ?4, b7 ? ?8

, 在 等 比 数 列 中

b6 2 ? b5b7 ? 32 ,所以 b6 ? ? 32 ? ?4 2 。
24 . ( 贵州 省六校联盟 2013 届高三第 一次联考 理科数 学试题) 已知等比数列 {a n } 中,
6 3 1 a 2 ? ? (2 x ? )dx , a3 ? 243 ,若数列 {bn } 满足 bn ? log 3 a n ,则数列 { } 的前 0 2 bn bn ?1

n 项和 S n ?
【答案】


6 0

6 n 3 3 【解析】 a2 ? ? (2 x ? )dx ? ( x 2 ? x) 0 2n ? 1 2 2

? 27 ,所以 a3 ? a2 q ,解得

q ? 9 ,所以 an ? a2 q n ? 2 ? 27 ? 9n ? 2 ? 32 n ?1 ,所以 bn ? log 3 an ? log 3 32 n ?1 ? 2n ? 1 ,

所以

1 1 1 1 1 ? ?? ( ? ) ,所以数列的前 n 项和 bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 ? b1b2 ? 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? bnbn ?1 2 1 3 3 5 ? 1 1 ? ) 2n ? 1 2n ? 1

Sn ?
?

1 1 1 1 2n n . ( ? )? ? ? 2 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

25. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 (三) 理科数学)已知数列

?an ? 为等比数列,
5? 3 .

且 a1a13 ? 2a7 2 ? 5? ,则 cos(a 2 a12 ) 的值为_________________.
【答案】2【解析】 在等比数列中 a1a13 ? 2a7

1

2

a2? ? a7 2 ? 2a7 2 ? 3a7 2 ? 5? , 所以 7

所以

cos(a2 a12 ) ? cos(a7 2 ) ? cos

5? ? 1 ? cos ? . 3 3 2

26. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学 (理) 试题) 等比数列

?an ? 中,a1 , a2 , a3

分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下表中的同 一列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ? ______________. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

【答案】2 ? 3 【解析】 易知 a1 , a2 , a3 分别是 2,6,18, 所以 q ?

n ?1

6 ? 3, 所以an ? 2 ? 3n ?1 。 2

27 . (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题) 已知数列

?an ? 中

a1 ? 1, a2 ? 2 ,当整数 n ? 1 时, S n ?1 ? S n ?1 ? 2( S n ? S1 ) 都成立,则 S15 =
【答案】 211 【解析】由 S n ?1 ? S n ?1



? 2( S n ? S1 ) 得, ( Sn ?1 ? Sn ) ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? 2S1 ? 2 ,

即 an ?1 ? an ? 2(n ≥ 2) , 数列{ an }从第二项起构成等差数列,S15 ? 1+2+4+6+8+…+28=211.
三、解答题 28. (云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学) (本小题满分 12 分) 已知数列

?an ? 满

足的前 n 项和为 S n ,且 S n ? ( ) ? n ? 1, (n ? N ) .
n

1 3

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 {bn } 的通项公式满足 bn ? n(1 ? an ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

【答案】 【解】⑴由, S n

1 ? ( ) n ? n ? 1, (n ? N ? ) 3

当 n ? 1 时得 a1 ? S1 ?

2 1 , 当 n ? 2 时得 a n ? S n ? S n ?1 ? 1 ? n , 3 3

又 a1 ?

1 2 满足上式,所以:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 1 ? n . 3 3

2n . 3n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2n 1 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2n ? 2 ? 3 ? ? ? n ,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 所以 Tn ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n 相减得: Tn ? 2( ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 2n ? 3 ∴ Tn ? ? . 2 2 ? 3n
⑵由 bn ? n(1 ? a n ) ?
29. ( 【解析】甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题) (本小题

12 分)

已知数列 ?an ? 的首项为 a 1 ? 1 , 其前 n 项和为 sn , 且对任意正整数 n 有: an 、 n、

S n 成等差数列.
(1)求证:数列 ? S n ? n ? 2 ?成等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.
【答案】解:(1)证明:? n、an、S n 成等差数列

? 2an ? n ? S n (n ? 2),又an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ? 2(S n ? S n?1 ) ? n ? S n即S n ? 2S n?1 ? n ? S n ? n ? 2 ? 2S n?1 ? 2n ? 2 ? Sn ? n ? 2 ? [ 2 S n?1 ? (n ? 1) ? 2]



Sn ? n ? 2 ?2 S n?1 ? (n ? 1) ? 2

??S n ? n ? 2?成等比数列

(2)由(1)知 ?S n ? n ? 2? 是以 S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列

? S n ? n ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2n?1 ? an ? 2 n ? 1

又 2an ? n ? S n ,? 2an ? 2 ? 2n?1

30. (云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题 (详解) ) 已知数列

?an ? 的前 n

项和为 Sn ,点 (an , Sn ) 在直线 y ? 3x ? 4 上. (1)求数列 ?an ? 的通项 a ; (2)令 bn ? nan (n ? N * ) ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
【答案】解:(Ⅰ)因为点 (an , Sn ) 在直线 y ? 3 x ? 4 上,所以 Sn ? 3an ? 4 , Sn?1 ? 3an?1 ? 4 ,

an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 3an?1 ? 3an ,化简得 2an ?1 ? 3an ,

所以数列 {an } 为等比数列,公比 q ?
?3? 故 an ? a1q n ?1 ? ?2 ? ? ?2?
n ?1

3 ,由 S1 ? a1 ? 3a1 ? 4 得 a1 ? ?2 , 2

(n ? N* ) .

(Ⅱ)因为 bn ? nan (n ? N* ) , 所以 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ?
? bn?1 ? bn

2 3 ? 3 ? 3? ? 3? ? ?2 ?1 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2? ? ?

? 3? ? (n ? 1) ? ? ? ? 2?

n?2

? 3? ? n?? ? ? 2?

n ?1

? ? ,① ? ?
n

2 3 4 ?3 3 ?3? ? 3? ? 3? ? Tn ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? ?2

? 3? ? (n ? 1) ? ? ? ? 2?
n ?1

n ?1

? 3? ? n?? ? ? 2?

? ? ,② ? ?

? 3 ? 3 ?2 ? 3 ?3 1 ① ? ②得 ? ? Tn ? ?2 ?1+ ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?2? ? 2? ? 3 ? 3 ?2 ? 3 ?3 Tn ? 4 ?1+ ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?2? ? ? 3? ?? ? ? 2?
n ?1

? 3? ?? ? ? 2?

? 3? ? n?? ? ? 2?

n

? ?, ? ?

n ? 3? ? ? n?? ? ? ? 2? ? ?

?3? 1? ? ? n n 2? ?3? ?3? ? ? 4? ? 4n ? ? ? ? 4(2 ? n) ? ? ? 8(n ? N* ) . 3 ?2? ?2? 1? 2
31. (云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考数学 (理)试题) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列 , Sn 为其前 n 项和 . 已知 S3

n

? 7 ,且

a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ln a3n?1 (n ? 1, 2,
【答案】

) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

32 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 第 二 次 高 中 新 课 程 双 基 检 测 数 学 理 ) 在 数 列

{an }中, a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? n ? 1, n ? N *
(I)证明数列 {an ? n} 是等比数列; (II)设 bn ?


an , 求数列{bn }的前n项和 S n . 2n
答 案 】

33. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题) (本小题满分 12 分)

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=2,3Sn= 5an ? 4an ?1 ? 3S n ?1 (n ? 2) (I)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 bn=n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
【答案】 (本小题满分 12 分)

a 解: (Ⅰ) 3Sn ? 3Sn ?1 ? 5an ? 4an ?1 (n≥2) ,? an ? 2an ?1 , n ? 2 ,………………(3 分) an ?1

又 a1 ? 2 ,?{an }是以2为首项,2为公比的等比数列,…………………………… (4 分)

? an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n . ……………………………………………………………………(5 分)
(Ⅱ) bn ? n ? 2n ,

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ?
分)

? n ? 2n ,

? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 .…………………………………………… ( 8

两式相减得: ?Tn ? 21 ? 22 ?

? 2n ? n ? 2n ?1 ,

??Tn ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 ,………………………………………(11 分) 1? 2

? Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1 .………………………………………………………………… (12 分)

34. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)已知函数 f ( x) ?

2x ? 3 , 3x

数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f (

1 ), n ? N * , an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ? (3)若 Tn ?

? a2 n a2 n ?1 , 求 Tn ;

m 对 n ? N * 恒成立,求 m 的最小值. 2 2x ? 3 2 1 1 2 ? ? ,又 an ?1 ? f ( ) ? ? an ,即 ?an ? 是以 1 3x 3 x an 3

【答案】解:(1)因为 f ( x) ?

为首项,以

2 2 1 为公差的等差数列,所以 an ? n ? . 3 3 3

(2) Tn ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? a4 a5 ?

? a2 n a2 n ?1
? a2 n )

? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ?
4 ? ? (2n 2 ? 3n) 9

4 ? a2 n (a2 n ?1 ? a2 n ?1 ) ? ? (a2 ? a4 ? 3

(3)由 n ? N * ,?Tn ? 递减,所以 n ? 1 ,Tn 取最大值 ? 成立, 所以, m ? (2Tn ) max ? ?

20 m ,由 Tn ? 时, n ? N * 恒 9 2

40 40 . , 所以, mmin ? ? 9 9

35. ( 【解析】 甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题) (本小题

12 分) 已

知函数 f ( x) ? x ?

t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM 、 x

PN ,切点分别为 M 、 N .
(Ⅰ)设 MN ? g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (Ⅱ)是否存在 t ,使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在, 请说明理由. (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [2 , n ?

64 ] 内总存在 m ? 1 个 n

实数 a1 , a2 ,?, am , am?1 ,使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立, 求 m 的最大值.

【答案】.解: (Ⅰ)设 M 、 N 两点的横坐标分别为 x1 、 x2 ,

? f ?( x) ? 1 ?

t , x2

∴切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又 ? 切 线 PM 过 点 P(1,0) ,

? 有 0 ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , 即 x1 x1

2 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 , (1)

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 . (2) 由(1) 、 (2) ,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,? ?
2

2

? x1 ? x 2 ? ?2t , ? x1 ? x 2 ? ?t .

( * )

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?
, 把( * )式代入,得 MN ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2
20t 2 ? 20t ,

因此,函数 g (t ) 的表达式为 g (t ) ?

20t 2 ? 20t (t ? 0) .

(Ⅱ)当点 M 、 N 与 A 共线时, k MA ? k NA ,

x1 ?

?

t t ? 1 x2 ? ?1 2 2 x ? t ? x1 x2 ? t ? x2 x1 x2 = ,即 1 = , 2 2 x1 ? 0 x2 ? 0 x1 x2

化简,得 ( x2 ? x1 )[t ( x2 ? x1 ) ? x1 x2 ] ? 0 ,

? x1 ? x2 ,? t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1 .
把(*)式代入(3) ,解得 t ?

(3)

1 . 2

? 存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且

t?

1 . 2 64 ] 上 为 增 函 数 , n

( Ⅲ ) 解 法 1 : 易 知 g (t ) 在 区 间 [2 , n ?

? g (2) ? g (ai ) ? g (n ?

64 ) (i ? 1,2,?, m ? 1) , n 64 ). n

则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a 2 ) ? ? ? g (a m ) ? m ? g (n ?

依题意,不等式 m ? g (2) ? g (n ?

64 ) 对一切的正整数 n 恒成立, n

m 20 ? 2 2 ? 20 ? 2 ? 20(n ?

64 2 64 ) ? 20(n ? ) , n n

即m ?

1 64 64 [(n ? ) 2 ? (n ? )] 对一切的正整数 n 恒成立. 6 n n

?n ?

64 1 64 64 1 2 136 ? 16 , ? [(n ? ) 2 ? (n ? )] ? , [16 ? 16] ? n 6 n n 6 3

?m ?

136 . 3

由于 m 为正整数,? m ? 6 .

又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? am ? 2 , am?1 ? 16 ,对所有的 n 满足条件. 因此, m 的最大值为 6 . 解法 2 :依题意,当区间 [2 , n ?

64 ] 的长度最小时,得到的 m 最大值,即是所求值. n

?n ?

64 ? 16 ,? 长度最小的区间为 [2 , 16] , n

当 ai ? [2 , 16] (i ? 1,2,?, m ? 1) 时,与解法 1 相同分析,得 m ? g (2) ? g (16) ,解得

m?

136 . 3

后面解题步骤与解法 1 相同(略) .
36. (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题)各项均为正

数的等比数列{an}中,已知 a2=8, a4=128, bn=log2an . (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn (3) 求满足不等式 (1 ?

1 1 1 1007 的正整数 n 的最大值 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? S2 S3 Sn 2013

【答案】解: (1)∵ 等比数列{an}的各项为正,a2=8, a4=128

设公比为 q

∴ q2 ?
分)

a4 128 n-1 ? ? 16 q=4 a1=2 ∴ an=a1q =2× 4 n ?1 = 2 2 n ?1 a2 8
2n?1

(4

(2)∵ bn ? log2 an ? log2 2

? 2n ? 1

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn = 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? (3) ∵(1-

n ? (1 ? 2n ? 1) ? n2 2

(8 分)

1 1 1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ( 1 - 2 )( 1- 2 ) ? ?( ? 1- 2 ) S2 S3 Sn 2 3 n

=

n ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 1 1 3 2 4 ? ? ? ??? ? ? ? = 2 2 3 5 2n n ?1 n ?1 n n
n ? 1 1007 ? 2n 2013
∴n≤2013 ∴n 的最大值为 2013 (12 分)



37. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学)根据如图的程序框图,将

输出的 x, y 值依次分别记为 x1 , x2 ,?, x2013 ; y1 , y2 ,?, y2013

.

(1)写出数列 ?xn ? , ? yn ? 的通项公式(不要求写出求解过程) ;

). (2)求 S n ? x1 ? y1 ? 1? ? x2 ? y2 ? 1? ? ? ? xn ? yn ? 1? (n ? 2013

【答案】解: (1) xn
1

? 2n ? 1, yn ? 3n ? 1 (n ? 2013 ) ---------4 分
2 3 n

(2) S n ? 1? 3 ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ? 3

?3S n ?

1? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? ?2n ? 3?? 3n ? ?2n ? 1?? 3n?1
n?1

两式相减,则 2Sn ? ?2n ? 1? ? 3

? 3 ? 2 32 ? 33 ? ? ? 3n

?

?

? S n ? ?n ? 1?3n?1 ? 3

?n ? 2013? -------------12 分

38. (云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学) (本题 12 分)在等差数列

?an ? 中,

a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且

b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

(1)求 an 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?
【答案】解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? 2, ? ? q b2 ? ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) , d ? 3. 故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 . (2)由(1)可知, Sn ? 所以 cn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 . ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

39. (贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学) (满分 12 分)设数列

?an ? 的前 n 项和

为 S n .已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 3S n ? 1 , n ? N? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn .

【答案】解: (Ⅰ)由题意, an ?1

? 3S n ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3S n ?1 ? 1 .
……………………………………………2 分

两式相减,得 an ?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 ,

a2 ? 4 ,……………………………………………4 分 a1

所以数列 ?an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 的等比数列,……………………5 分

所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4 (Ⅱ)因为 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 所以 4Tn ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ?
2 3

n ?1

( n ? N? ). ………………………………6 分

? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 42 ?

? n ? 4n ?1 ,

? ( n ? 1) ? 4 n ?1 ? n ? 4 n , ……………………8 分

两式相减得, ?3Tn ? 1 ? 4 ? 4 2 ? 整理得, Tn ?

? 4n ?1 ? n ? 4n ?

1 ? 4n ? n ? 4n , ………10 分 1? 4

3n ? 1 n 1 ? 4 ? ( n ? N? ). 9 9
1 ,an,Sn 是等差数列. 2

………………………………12 分

40. (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)已知各项均为正数的数列{an}前 n

项和为 Sn,首项为 a1,且

(I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若 an ? ( ) n ,设 cn ?
2 b

1 2

bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。 an









41. (贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)已知公差不为

0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S7 ? 70 ,且 a1 , a2 , a6 成等比数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

2 S n ? 48 ,数列 ?bn ? 的最小项是第几项,并求出该项的值. n

【答案】解:(I)设公差为 d ,则有

?7a1 ? 21d ? 70 ?a1 ? 3d ? 10 ,即 ? ? 2 2 ?(a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 5d ) ?a2 ? a1a6
解得 ?

?a1 ? 1 ?a1 ? 10 或 ? (舍去), ?d ? 3 ?d ? 0

所以 an ? 3n ? 2 (II) Sn ?

n 3n2 ? n [1 ? (3n ? 2)] ? 2 2

所以 bn ?

3n2 ? n ? 48 48 48 ? 3n ? ? 1≥ 2 3n ? ? 1 ? 23 n n n
48 ,即 n ? 4 时取等号, n

当且仅当 3n ?

故数列 {bn } 的最小项是第 4 项,该项的值为 23
42 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 已 知 数 列

{an }中, a1 ? 2, 其前n项和为S n , 满足 S n ?1 ? S n ? 2.
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设数列 {bn }满足bn ?


2 3 , 数列{bn }的前n项和为Tn , 求证Tn ? . S n ?1 ? 2 4
答 案 】


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