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(全国通用)高考数学二轮复习专题一第2讲不等式及线性规划训练文

第2讲 不等式及线性规划 一、选择题 1.已知 x>-1,则函数 y=x+ A.-1 B.0 1 x+1 的最小值为( C.1 ) D.2 解析 ∵x>-1,∴x+1>0. ∴y=x+ ≥2 1 x+1 =(x+1)+ 1 x+1 -1, (x+1)· 1 -1=1, x+1 ,即 x=0 时取等号. 当且仅当 x+1= 答案 C 1 x+ 1 2.(2015·成都模拟)若点 A(m, n)在第一象限, 且在直线 + =1 上, 则 mn 的最大值是( 3 4 A.3 B.4 C.7 D.12 x y ) 解析 因为点 A(m,n)在第一象限,且在直线 + =1 上,所以 m,n∈R+,且 + =1, 3 4 3 4 + 3 4 所以 · ≤( 3 4 2 x y m n m n m n ) 2 ?当且仅当m=n=1,即m=3,n=2时,取“=”?,所以m·n≤?1? =1, ? ? ? ? 4 3 4 2 2 3 4 ?2? ? ? 即 mn≤3,所以 mn 的最大值为 3. 答案 A 2 x-2≤0, ? ? 3.(2015·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y≤0, 则目标函数 z=3x+y 的最大值 ? ?x+2y-8≤0, 为( A.7 ) B.8 C.9 D.14 解析 作出约束条件对应的可行域,如图中阴影部分, 作直线 l: 3x+y=0, 平移直线 l 可知, 经过点 A 时, z=3x+y 取得最大值, 由? ? ?x-2=0, ?x+2y-8=0, ? 得 A(2,3),故 zmax=3×2+3=9.选 C. 答案 C 1 4.已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ (x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) 解析 ∵x>0,y>0, ∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号). 又由 x+2 2xy≤λ (x+y)可得 λ ≥ 而 x+2 2xy , x+y x+2 2xy x+(x+2y) ≤ =2, x+y x+y ∴当且仅当 x=2y 时,? 答案 B ?x+2 2xy? ? =2.∴λ 的最小值为 2. ? x+y ?max 2x+y≤10, ? ? 5.(2015·四川卷)设实数 x,y 满足?x+2y≤14,则 xy 的最大值为( ? ?x+y≥6, A. 25 2 49 B. 2 C.12 D.16 ) 1 1?2x+y?2 1?10?2 25 5 解析 xy= ×2xy≤ ? ≤ ? ? = ,当且仅当 x= ,y=5 时,等号成立,把 x ? 2 2 2 2? 2 2 ? 2? ? 5 25 = ,y=5 代入约束条件,满足.故 xy 的最大值为 . 2 2 答案 A 二、填空题 6.(2015·江苏卷)不等式 2 解析 不等式 2 x2 ? x x2 ? x <4 的解集为________. <4?x -x<2?-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2). 2 答案 (-1,2) 7.(2015·北京卷)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点, 则 z=2x+3y 的最大值为________. 2 1 2 z 解析 z=2x+3y, 化为 y=- x+ z, 当直线 y=- x+ 在点 A(2, 1)处时, z 取最大值, 3 3 3 3 z=2×2+3=7. 2 答案 7 8.(2015·重庆卷)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. 解析 ∵a,b>0,a+b=5,∴( a+1+ b+3) =a+b+4+2 a+1 b+3≤a+b+4 2 7 3 2 2 +( a+1) +( b+3) =a+b+4+a+b+4=18,当且仅当 a= ,b= 时,等号成立, 2 2 则 a+1+ b+3≤3 2,即 a+1+ b+3最大值为 3 2. 答案 3 2 三、解答题 9.已知函数 f(x)= 2x . x +6 2 (1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx -2x+6k<0. 2 由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集, 得 kx -2x+6k=0 的两根是-3,-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= ,即 k=- . k 5 (2)因为 x>0, f(x)= 2x 2 2 6 = ≤ = , 当且仅当 x= 6时取等号.由已知 f(x)≤t x2+6 6 2 6 6 x+ x 6 ? 6 ? ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. 6 6 ? ? 2 对任意 x>0 恒成立,故 t≥ 10.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- 1 2 2 (1+k )x (k>0)表示的 20 曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 3 解 1 2 2 (1)令 y=0,得 kx- (1+k )x =0, 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= ≤ =10, 2= 1+k 1 2 k+ k 当且仅当 k=1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0, 1 2 2 2 2 2 使 3.2=ka- (1+k )a 成立?关于 k 的方程 a k -20ak+a +64=0 有

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