宁夏银川一中2018届高三第五次月考数学(理)试题+Word版含答案

银川一中 2018 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷（理）
命题人： 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 若 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?x | x ? 3a, a ? A? ，则 A ? B ? A. ?1, 2? B.

?0,1?

C.

?0,3?

D.

?3?

2． i 为虚数单位，复数 z ? A. 第一象限

2i 在复平面内对应的点所在象限为 i ?1

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 对于命题 p : ?x ? R ，使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ，则 ?p 是 A． ?p : ?x ? R ， x 2 ? x ? 1 ? 0 C． ?p : ?x ? R ， x 2 ? x ? 1 ? 0 B． ?p : ?x ? R ， x 2 ? x ? 1 ? 0 D． ?p : ?x ? R ， x 2 ? x ? 1 ? 0

4. 设平面向量 m ? ? ?1, 2 ? , n ? ? 2, b ? ，若 m / / n ，则 m ? n 等于 A． 5 B． 10 C． 2
n

??

?

??

?

?

?

D． 3 5

5. 已知点 ? m,8? 在幂函数 f ? x ? ? ? m ?1? x 的图象上，设
? 3? ? ? ?, b ? f ?ln? ?, c ? f ? 2 ? ，则 a, b, c 的大小关系为 a ? f? ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? ?

A. a ? c ? b

B. a ? b ? c 则 z ? x? y

C. b ? c ? a

D. b ? a ? c

? 2 x ? y≥4, ? 6. 设 x 、 y 满足 ? x ? y≥ ? 1, ? x ? 2 y≤2, ?

A. 有最小值 ? 7 ，最大值 3 C. 有最小值 2 ，无最大值

B. 有最大值 3 ，无最小值 D. 有最小值 ? 7 ，无最大值

-1-

7. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示， 则下列座位号码符合要求的应当是

A． 48,49

B． 62,63

C． 75,76

D． 84 ,85

8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． 3 B． 2 3 C．

5 3 3

D．

3 2

9. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为 0.618 ， 这一数值也可以表示为 m ? 2 sin 18? ，若 m 2 ?n ? 4 ， 则

m n ? 2 cos2 27? ? 1
B． 4 C． 2 D． 1

A． 8 10. 函数 f ( x) ?

A ? (? ? 0, ? ? ) 的 sin(? x ? ? ) 2
?? ? ?? ?2?
C． ? 2 D． 2

部分图象如图所示，则 f ? A． 4 B． ? 4

11. 若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到 直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的 取值范围是 A． ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

B． ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

C． ?

7 ? ?5 ?, ?? ?12 12 ?

D． ?

?? 5 ? , ? ? 4 12 ? ?

12. 已知函数 f ( x) ? x 2 e x ? 2 xe x ? (a ? 1)e x ? x 在定义域内有 2 个零点， 则实数 a 的取值范 围为 A． ? ? ?, ? e

? ?

1? ?

B． ? ? ?, ?

? ?

1? e?

C． ? ,?? ?

?1 ?e

? ?

D． ? ,?? ?

?1 ?e

? ?

-2-

第Ⅱ卷（非选择题

共 90 分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13. 等差数列 ?an ? 中， a6 ? a7 ? a8 ? 12 ，则该数列的前 13 项的和 S13 ? __________. 14. 已知 a ? R ,方程 a 2 x 2 ? ?a ? 2?y 2 ? 4 x ? 8 y ? 5a ? 0 表示圆，则圆心坐标是_________ 15. 若正三棱柱的底面边长为 2 3 ，高为 2 5 ，则此正三棱柱的外接球的体积为 16. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ，则椭圆在其上一点 a 2 b2

A( x0 , y0 ) 处的切线方程为
椭圆 C1 :

x 0 x y0 y ? 2 ? 1 ，试运用该性质解决以下问题： a2 b

x2 ? y 2 ? 1 ，点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点，过 B 作 C1 的切线 l ， l 分 2

别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C , D 两点，则 ?OCD面积的最小值为__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分） 在 ?ABC中，角A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 且 a ? b ? c ， sin A ? （1）求角 B 的大小； （2）若 a ? 2 ， b ? 18. （本小题满分 12 分） 已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 ， a1 , a2 , a4 成等比数列， ? （1）求数列 ?an ?的通项公式 （2）求数列 ?? 1? ? an 的前 2 n 项的和 S 2 n
n

3a 2b

7 ，求 c 及 ?ABC 的面积.

? an ? ? 是公差不为 0 的等差数列. ?n?

?

?

19. （本小题满分 12 分） 如图在棱锥 P ? ABCD 中， ABCD 为矩形， PD ? 面 ABCD ，

PB ? 2 ， PB 与面 PCD 成 450 角， PB 与面 ABD 成 300 角.
（1）在 PB 上是否存在一点 E ，使 PC ? 面

ADE ，若
存在确定 E 点位置，若不存在，请说明理由； （2）当 E 为 PB 中点时，求二面角 P ? AE ? D 的余弦值.

-3-

20. （本小题满分 12 分） 已知 A?x0 ,0?, B?0, y0 ?两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且 AB ? 1 ，若动点 P ? x, y ? 满足

??? ? ??? ? ??? ? OP ? 2OA ? 3OB .
（1）求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程； （2）一条纵截距为 2 的直线 l1 与曲线 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点， 求出直线方程. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ，其中 a 为常数， e 为自然对数的底数． （1）若 f ( x ) 在区间 ? 0, e? 上的最大值为 ?3 ，求 a 的值； （2）当 a ? ?1 时，判断方程 | f ( x) |? 实根请给出根的个数．

ln x 1 ? 是否有实根？若无实根请说明理由，若有 x 2

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分．做答时请写 清题号。 22．(本小题满分 10 分)选修 4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，已直曲线 C : ? ? 2 cos? ,将曲线 C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标

? ? ? x ? t cos 3 ( t是 参 数 ) ，且直 不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到曲线 C1，又已知直线 ? ? ? y ? 3 ? t sin 3 ?
线 l 与 C1 交于 A、B 两点， （1）求曲线 C1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）设定点 P(0, 3 ) , 求
1 1 ? 的值； | PA | | PB |

23.（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m ) （1）当 m ? 5 时，求函数 f ( x ) 的定义域； （2）若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 的解集是 R，求 m 的取值范围.

-4-

银川一中 2018 届高三第五次月考数学（理）参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 D 8 C 9 C 10 B 11 A 12 B

二、填空题： 13、52 14、 ?? 2,?4? 15、 36? 16、 2

三、解答题： 17? sin A ?

3a ，? 3a ? 2b sin A ， 2b

由正弦定理可得 3 sin A ? 2sin B sin A ， 又? 0 ? A ? ? ，? sin A ? 0 ，? sin B ?

3 ， 2
，故 B ?

? a ? b ? c ，? B ? C ， 所以 0 ? B ?
（Ⅱ）? a ? 2 ， b ?

?
2

?
3

.

7 ，由余弦定理可得：

1 ( 7) 2 ? 22 ? c 2 ? 2 ? 2 ? c ? ，即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 2
解得 c ? 3 或 c ? ?1 （舍去），故 c ? 3 . 所以 S?ABC ?

1 1 3 3 3 . ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2

18.设等差数列 ?

? an ? ? 的公差为 d ?d ? 0?， ?n?

? a1 ? 1,?
则

a1 ? 1, 1

an ? 1 ? ?n ? 1?d ，?an ? n ? n 2 ? n d n

?

?

即 a2 ? 2 ? 22 ? 2 d ? 2 ? 2d ， a4 ? 4 ? 42 ? 4 d ? 4 ? 12d
2 又 a1 , a2 , a4 成等比数列， ? ?2 ? 2d ? ? 1 ? ?4 ? 12d ?

?

?

?

?

整理的： d 2 ? d ，又 d ? 0 ? d ? 1

? an ? n 2
（Ⅱ）

-5-

? S 2 n = ? 12 + 2 2 ? 32 + 4 2 ? ? ? ?2n ? 1?2 ? ?2n?2
S2 n = ?2 ? 1? ? ?2 ? 1? + ?4 ? 3? ? ?4 ? 3? ? ? ? ?2n ? ?2n ? 1??? ?2n ? ?2n ? 1??
= 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? ? 2n =

?1 ? 2n ? ? 2n
2

= 2n 2 ? n

???? ??? ? 19.（Ⅰ）法一：要证明 PC⊥面 ADE，易知 AD⊥面 PDC，即得 AD⊥PC，故只需 DE ? PC ? 0 即 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 可， 所以由 ( DP ? PE ) ? PC ? 0 ? DP ? PC ? PE ? PC ? 0 ?| PE |? 1 ,即存在点 E 为 PC 中点 …6

分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 D－XYZ， 由题意知 PD＝CD＝1， ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CE ? 2 ，设 PE ? ? PB ， ? PE ? ? PB ? ? ( 2,1, ?1) ， ??? ? PC ? (0,1, ?1)
??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? 1 由 PC ? DE ? PC ? ( DP ? PE ) ? (0,1, ?1) ? ( 2? , ? ,1 ? ? ) ? 0 ，得 ? ? ， 2

即存在点 E 为 PC 中点。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 D(0, 0, 0) ， A( 2,0,0) ， E (
2 1 1 , , ) ， P(0, 0,1) 2 2 2

??? ? ??? ? ???? ??? ? 2 1 1 2 1 1 , , ) ， PA ? ( 2,0, ?1) ， PE ? ( , ,? ) DA ? ( 2, 0, 0) ， DE ? ( 2 2 2 2 2 2 ?? ? ?? ? 设面 ADE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ，面 PAE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )
?? ? ??? ? ? 2 x1 ? 0 ?n1 ? DA ? 0 ?? ? ? ? ? ???? 由的法向量为 ? ?? 得， ? 得 n1 ? (0,1, ?1) 1 1 ? ? 2 x1 ? y1 ? z1 ? 0 ?n1 ? DE ? 0 ? 2 2 ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n1 3 ? ??? ? ? 同理求得 n2 ? (1, 0, 2) 所以 cos ? ? ?? 3 | n1 | ?| n1 |

故所求二面角 P－AE－D 的余弦值为

3 . 3

20.【答案】解析: 解: (Ⅰ) 因为 OP ? 2OA ?

??? ?

??? ?

??? ? 3OB

即 ( x, y) ? 2( x0 ,0) ? 3(0, y0 ) ? (2x0 , 3 y0 ) 所以 x ? 2x0 , y ? 3 y0 所以 x0 ?

1 3 x, y0 ? y 2 3
2 2

又因为 | AB |? 1 ,所以 x0 ? y0 ? 1
-6-

即: ( x) 2 ? (

1 2

x2 y 2 3 2 ?1 y ) ? 1,即 ? 4 3 3 x2 y 2 ? ? 1 …………………………4 分 4 3

所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ) 直线 l1 斜率必存在，且纵截距为 2 ,设直线为 y ? kx ? 2

? y ? kx ? 2 ? 联立直线 l1 和椭圆方程 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4
得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0
2 由 ? ? 0 ,得 k ?

1 ? ?? 4

设 P( x1, y1 ), Q( x2, y2 ) 以 PQ 直径的圆恰过原点 所以 OP ? OQ , OP ? OQ ? 0 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 也即 x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 即 (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0
2

??? ? ??? ?

将(1)式代入,得

4(1 ? k 2 ) 32k ? ?4?0 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

即 4(1 ? k 2 ) ? 32k 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ? 0
2 解得 k ?

4 2 3 ,满足（*）式，所以 k ? ? 3 3

所以直线 y ? ? 21【解】：

2 3 x?2 3
1 ?1 1 ? ， x ? ? 0, e? ， ? ? , ?? ? x ?e x ?

（Ⅰ） f ?( x ) ? a ? ① 当 a??

1 时 ， f ?( x ) ≥ 0 ， 从 而 f ( x ) 在 ? 0, e? 上 单 调 递 增 ， ∴ e

f ( x)max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 舍；
② 当 a??

1 1 时 ， f ( x ) 在 (0, ? 1 a ) 上 递 增 ， 在 ( ? a , e) 上 递 减 ， e

-7-

1 1 2 f ( x)max ? f (? 1 a ) ? ?1 ? ln(? a ) ，令 ?1 ? ln(? a ) ? ?3 ，得 a ? ?e

（Ⅱ）当 a ? ?1 时， f ( x) ? ? x ? ln x ， f ?( x) ? ?1 ?

1 1? x ? x x

当 0<x<1 时， f ?( x ) >0；当 x>1 时。 f ?( x ) <0，∴ x ? 1 是 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 上唯一 的极（大）值点，则 f ( x)max ? f (1) ? ?1 ∴| f ( x ) |≥1，又令 ? ( x) ? ∴方程无解． 22.选修 4-4：极坐标与参数方程 解（1）曲线 方程为 的直角坐标方程为 ∴曲线 是焦点 , ，即 ∴曲线 长轴长为 4 的椭圆. 的直角坐标

ln x 1 1 ? ln x 1 ? ， ? ?( x) ? ， ? ( x) ? ? (e) ? 1 e ? 2 ?1 ， 2 x 2 x

解（2）将直线 的参数方程代入曲线

的方程

中得

，

设

对应的参数为

、

∴

，

∴ 23.选修 4—5；不等式选讲 解（1）由已知得当 或 解得 定义域为
即

.

时， 或 .

不等式等价于以下三个不等式的并集

解（2）不等式

即 ∵ 不等式 ∴ 解得 恒有 的解集为 的取值范围为 .

-8-