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高二导数练习题及答案


高二数学导数专题训练
一、选择题 1. 一个物体的运动方程为 S=1+t+ t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( ) A 7 米/秒 B 6 米/秒 C 5 米/秒 D 8 米/秒 2. 已知函数 f(x)=ax +c,且 f ?(1) =2,则 a 的值为(
2

) D. 0

A.1

B. 2

C.-1

3 f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则

f ( x) 与 g ( x) 满足(



A f ( x) ? 2 g ( x) B f ( x) ? g ( x) 为常数函数 C f ( x ) ? g ( x) ? 0 D f ( x) ? g ( x) 为常数函数 4. 函数 y = x3 + x 的递增区间是( ) A

(??,1)

B

(?1,1)

C (??,??)

D

(1,??)

5.若函数 f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且 f(b)≤0,则函数 f(x)在(a, b) 内有( ) B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 ) D.无法确定

A. f(x) 〉0

6. f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0 处有极值的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件
3

B.必要不充分条件 D.非充分非必要条件 ) B (2,8) D (2,8) 和 (?1, ?4) ( ) B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2
'

7. 曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 , 则 p0 点的坐标为 ( A C

(1, 0) (1, 0) 和 (?1, ?4)
A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-1,极大值 3

8.函数 y ? 1 ? 3x ? x3 有

9.

对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ( x) ? 0 ,则必有( A B f (0) ? f (2) ? 2 f (1) f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C



f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

D

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
h ?0

10.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim 的值为( ' A. f ( x0 ) ) B. 2 f ( x0 )
'

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

C. ?2 f ( x0 )
'

D. 0

1

二、填空题 11.函数 y ? x3 ? x 2 ? x 的单调区间为___________________________________. 12.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 13.曲线 y ? x 3 ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 .

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
三、解答题:

.

15.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程

16.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去 四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长 为多少时,盒子容积最大?

2

17 . 已 知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的 图 象 经 过 点 ( 0 , 1), 且 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 是

y ? x ? 2 ,请解答下列问题:
(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的单调递增区间。

18.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I )求 c , d 的值; ( II )若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数

f ( x) 的解析式;
(III )在(II)的条件下,函数 y ? f ( x) 与 y ? 有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象 3

3

19.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 . (I )当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II )若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

20.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 , (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ? ?1,1 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值 范围.

?

?

4

参考答案
一、选择题 AABCB ACCDB 二、填空题

1 1 ) , (1,+∞)递减区间为( ? ,1) 3 3 1 (注:递增区间不能写成: (-∞, )∪(1,+∞) ) 3 3 12. (??, 0) 13. ? 4
11.递增区间为: (-∞, 14. 2 n ?1 ? 2

y/

x?2

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ?2n ?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,
n

令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以

an ? 2n , n ?1

2 1 ? 2n ? an ? 则数列 ? ? 2n?1 ? 2 ? 的前 n 项和 Sn ? 1? 2 ? n ? 1?
三、解答题: 15.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x3 ? 3x2 ? 5 的导数为 y' ? 3x2 ? 6x 切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x3 ? 3x2 ? 5 得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 16.解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2 x ,宽为 5 ? 2 x

?

?

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ?
10 10 ,x ? (舍去) 3 3

V极大值 ? V (1) ? 18 ,在定义域内仅有一个极大值, ?V最大值 ? 18
17.解: (1) f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,则 c ? 1 ,

f ' ( x) ? 4ax3 ? 2bx, k ? f ' (1) ? 4a ? 2b ? 1,
切点为 (1, ?1) ,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象经过点 (1, ?1)
4 2

得 a ? b ? c ? ?1, 得a ?

5 9 ,b ? ? 2 2

f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

(2) f ( x) ? 10 x ? 9 x ? 0, ?
' 3

3 10 3 10 ? x ? 0, 或x ? 10 10
5

单调递增区间为 (?
18.解:函数

3 10 3 10 , 0), ( , ??) 10 10
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b
…………(2 分)

f ( x) 的导函数为

(I )由图可知 函数 f ( x) 的图象过点(0,3) ,且 f ' (1) ? 0

?d ? 3 ?d ? 3 得 ? ?? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0 (II )依题意 f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5 ?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5 解得 a ? 1, b ? ?6
所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3
2 3 2

…………(4 分)

…………(8 分)

(III ) f ?( x) ? 3x ? 12x ? 9 .可转化为: x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3 ? x 2 ? 4x ? 3 ? 5x ? m 有三 个不等实根,即: g ?x ? ? x ? 7 x ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点;

?

?

g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,

x
g ?? x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?
+ 增

2 3
0 极大值

?2 ? 4? ? , ?3 ?


4
0 极小值

?4, ? ??
+ 增

g ?x ?

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . …………(10 分) ? 3 ? 27 ? 2 ? 68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 当且仅当 g ? ? ? ? 3 ? 27

68 为所求. …………(12 分) 27 2? x 19.解: (I )当 k ? 1 时, f ?( x) ? x ?1 ,令 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 , ……………… (2 分) f ( x) 定义域为(1,+ ? ) ∵ 当 x ? (1, 2)时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ??)时, f ?( x) ? 0 , ∴f ( x)在(1,2) 内是增函数, 在(2, ??) 上是减函数 ∴ 当 x ? 2 时, f ( x) 取最大值 f (2) ? 0 ……………… (4 分) (II )① 当 k ? 0时 ,函数 y ? ln( x ? 1) 图象与函数 y ? k ( x ? 1) ? 1 图象有公共点, ∴ 函数 f ( x) 有零点,不合要求; ……………… (8 分) 1? k k(x ? ) 1 1 ? k ? kx k ?k ? ?? ② 当 k ? 0时 , f ?( x) ? ……………… (6 分) x ?1 x ?1 x ?1 k ?1 k ?1 1 令 f ?( x) ? 0, 得x ? ,∵ x ? (1, )时, f ?( x) ? 0, x ? (1 ? , ??)时, f ?( x) ? 0 , k k k 1 1 ∴f ( x)在(1,1 ? ) 内是增函数, 在[1 ? , ??) 上是减函数, k k
故而, ? 16 ? m ?

6

∴f ( x) 的最大值是 f (1 ? ) ? ? ln k ,
? ln k ? 0 , k ? 1 , ∵ 函数 f ( x) 没有零点,∴ 因此,若函数 f ( x) 没有零点,则实数 k 的取值范围 k ? (1, ??) .……………… (10 分)

1 k

20.解(1) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 (2)由(1)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m 2 m

x
f ?( x ) f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?0
调调递减

1?
0

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
?0
单调递增

1

?1, ???
?0
单调递减

0 极大值

极小值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

(3)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
又 m ? 0 所以 x ?
2

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
4 ? ? m又m ? 0 3 4 所以 ? ? m ? 0 3
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ?

? 4 ? 3

? ?

7


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