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最新版高考理数数学知识点总结(整理好,最全面)


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高中数学知识点总结
第一章——集合与简易逻辑 集合——知识点归纳 定义:一组对象的全体形成一个集合 特征:确定性、互异性、无序性 表示法:列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P} 韦恩图 分类:有限集、无限集 数集:自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N * 、空集φ
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关系:属于∈、不属于 ? 、包含于 ? (或 ? )、真包含于 、集合相等= 运算:交运算 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; 并运算 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}; 补运算 CU A ={x|x ? A 且 x∈U},U 为全集 性质:A ? A; φ ? A; 若 A ? B,B ? C,则 A ? C; A∩A=A∪A=A; A∩φ =φ ;A∪φ =A; A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B; A∩C U A=φ ; A∪C U A=I;C U ( C U A)=A; C U (A ? B)=(C U A)∩(C U B) 方法:韦恩示意图, 数轴分析
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注意:① 区别∈与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}; ② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ
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③若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 n ,所有真子集的 个数是 2 n -1, 所有非空真子集的个数是 2 n ? 2
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④区分集合中元素的形式:如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; B ? {y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ; E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

y F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } x
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⑤空集是指不含任何元素的集合 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系 空集是任何集合的
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子集,是任何非空集合的真子集 条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况
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⑥符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线 (面) 的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 绝对值不等式——知识点归纳
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1 绝对值不等式
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x ? a 与 x ? a(a ? 0) 型不等式 ax ? b ? c 与 ax ? b ? c(c ? 0) 型不等式的解法与解集:
不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是 ?x ? a ? x ? a?; 不等式 x ? a(a ? 0) 的解集是 x x ? a, 或x ? ?a 不等式 ax ? b ? c(c ? 0) 的解集为

?

?

?x | ?c ? ax ? b ? c?(c ? 0) ;

不等式 ax ? b ? c(c ? 0) 的解集为 ?x | ax ? b ? ?c, 或ax ? b ? c?(c ? 0) 2 解一元一次不等式 ax ? b(a ? 0)
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? ① a ? 0, ? x x ? ?
3 韦达定理:
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b? ? a?

? ② a ? 0, ? x x ? ?

b? ? a?

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方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的二实根为 x1 、 x2 ,

b ? ?? ? 0 x1 ? x 2 ? ? ? ? 2 a 则 ? ? b ? 4ac ? 0 且 ? ①两个正根,则需满足 ? x1 ? x 2 ? 0 , c ?x x ? 0 ? x1 x 2 ? ? 1 2 a ?
?? ? 0 ?? ? 0 ? ②两个负根,则需满足 ? x1 ? x2 ? 0 ,③一正根和一负根,则需满足 ? ? x1 x 2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2

4.一元二次不等式的解法步骤

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对于一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? ,设相应的一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2,? ? b 2 ? 4ac,则不等式的解的各种情况如下表:
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
y

y ? ax2 ? bx ? c
y

y

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

x1

o

x2 x
o x1=x2 x
o x

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

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ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?
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方程的根→函数草图→观察得解,对于 a ? 0 的情况可以化为 a ? 0 的情况解决 注意:含参数的不等式 ax 2 +bx+c>0 恒成立问题 ? 含参不等式 ax 2 +bx+c>0 的解集是 R;其解答分 a=0(验证 bx+c>0 是否恒成立)、a≠0(a<0 且△<0)两种情况 简易逻辑——知识点归纳 命题 可以判断真假的语句; 逻辑联结词 或、且、非; 简单命题 不含逻辑联结词的命题; 复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式 p 或 q、p 且 q、非 p 真假判断 p 或 q,同假为假,否则为真; p 且 q,同真为真, 否则为假; 非 p,真假相反 原命题 若 p 则 q;逆命题 若 q 则 p;否命题 若 ? p 则 ? q;逆否命题 若 ? q 则 ? p;互为逆 否的两个命题是等价的 反证法步骤 假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立 充要条件 条件 p 成立 ? 结论 q 成立,则称条件 p 是结论 q 的充分条件, 结论 q 成立 ? 条件 p 成立,则称条件 p 是结论 q 的必要条件, 条件 p 成立 ? 结论 q 成立,则称条件 p 是结论 q 的充要条件, 第二章——函数 函数定义——知识点归纳 1 函数的定义:设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) ,x∈A,其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义 域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域 2 两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f 当函数的 定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定 因此,定义域和对应 法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函 数才是同一个函数 3 映射的定义:一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B,以 及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集 4 映射的概念中象、原象的理解:(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原 象,不一定只一个原象;(3)A 中每一个元素的象唯一 函数解析式——知识点归纳 1 函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达 式,简称解析式 (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系 (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系
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2 求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
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(2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 题型讲解 1 1 例 1(1)已知 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x
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(3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) x 1 1 1 1 解: (1)∵ f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , x x x x
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∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 )

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2 (2)令 ? 1 ? t ( t ? 1 ) , x 2 2 2 则x? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg t ?1 t ?1 x ?1

( x ? 1)

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(3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b
? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 ,

∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7

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1 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, x 1 1 3 把①中的 x 换成 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②, x x x 3 1 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x ) ? 2 x ? x x 注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第 (4)题用方程组法 定义域和值域——知识点归纳 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范 围 它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练 1 求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
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(2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2 求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
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(3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出
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3 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:(1) 求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而 得函数的值域 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; k 反比例函数 y ? (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x
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二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }
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4a

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②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; k ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ? (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
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⑨逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得 出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ? 单调性——知识点归纳 1 函数单调性的定义: 2 证明函数单调性的一般方法:
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ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

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①定义法:设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (一般结果要分解为若干个因式的乘积, 且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号
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②用导数证明: 若 f ( x) 在某个区间 A 内有导数,则 f ’ (x ? A) ( x) ? 0,

( x) ? 0,(x ? A) ? f ( x) 在 A 内为减函数 ? f ( x) 在 A 内为增函数; f ’
3
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求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法

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4 复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性:
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①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数;②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集 5 一些有用的结论: ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:
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增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; ④函数 y ? ax ?
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减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数
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? ? ? b ? ? b b? ? b b? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?? , ? 或 , ?? ? , 0 或 0 , 上单调递增;在 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x a? ? a a? ? ? ? a ? ?
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上是单调递减 奇偶性——知识点归纳 1 函数的奇偶性的定义; 2 奇偶函数的性质:
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(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 3 f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |)
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4 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0
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5 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定 义域不受影响; 6 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性; 7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
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f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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8 设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 1 判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:
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f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点; 3 若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
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4 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函 数的奇偶性 5 若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x)的周期, (5)函数的周期性
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定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期 反函数——知识点归纳 1 反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;
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2 定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若 y ? f ( x) 与
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y ? f ?1 ( x) 互为反函数,函数 y ? f ( x) 的定义域为 A 、值域为 B ,则 f [ f ?1 ( x)] ? x( x ? B) , f ?1[ f ( x)] ? x( x ? A) ;
3 单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于 y ? x 对称
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4 求反函数的一般方法:
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(1)由 y ? f ( x) 解出 x ? f ?1 ( y) , (2)将 x ? f ?1 ( y) 中的 x, y 互换位置,得 y ? f ?1 ( x) , (3) 求 y ? f ( x) 的值域得 y ? f ?1 ( x) 的定义域
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二次函数——知识点归纳 二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系 b 1 二次函数的图象及性质:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ? ,顶点坐 2a
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? b 4ac ? b 2 ? 标是 ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ?
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2 二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形
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) 式,即 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(一般式) , f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2(零点式) 和 f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n(顶
点式) 3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象 求解,有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0)
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?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /( 2a ) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /( 2a ) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ? ? ? b /( 2 a ) ? ? ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0
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4 最值问题:二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[α,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1) 对称轴?b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴 在区间右边 要注意系数 a 的符号对抛物线开口的影响 1 讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;② 2 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符 号;③对称轴与区间的相对位置 5 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ① ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax2+bx+c=0 无实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; ② ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax2+bx+c=0 有两个相等的实根 ? ax2+bx+c>0(<0) 的解集为 ? 或者是 R; ③ ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax2+bx+c=0 有两个不等的实根
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? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ( ? , ??)
指数对数函数——知识点归纳 1 根式的运算性质:
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①当 n 为任意正整数时,( n a ) n =a

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?a(a ? 0) ②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ? ?? a(a ? 0)
?根式的基本性质: a mp ? n a m , (a ? 0) 2 分数指数幂的运算性质:
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np

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a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q) (a m ) n ? a mn (m, n ? Q) (ab) n ? a n ? b n (n ? Q )

3 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
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a>1

0<a<1

y
图 象

y 1

1 o x

o

x

性 质

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函 (4)在 R 上是减函数 数
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4 指数式与对数式的互化: ab ? N ? loga N ? b
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5 重要公式: loga 1 ? 0 , loga a ? 1
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对数恒等式 a loga N ? N

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6 对数的运算法则
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如果 a ? 0, a ? 1, N ? 0, M ? 0 有

loga (MN ) ? loga M ? loga N
M ? log a M ? log a N N m log an M m ? log a M n 7 对数换底公式: log a
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loga N ?
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logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

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8 两个常用的推论:
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① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b n ?
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loga b ? logb c ? logc a ? 1

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n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m

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9 对数函数的性质:
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a>1

0<a<1

y


y
x



o

1

o

1

x

定义域: (0,+∞)

值域:R 性 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 质

x ? (0,1) 时 y ? 0

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x ? (0,1) 时

y?0

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x ? (1,??) 时 y ? 0

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x ? (1,??) 时 y ? 0

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在(0,+∞)上是增函 数

在(0,+∞)上是减函 数

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10 同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 互为反函数
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11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法) (2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0 (转化法) (3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法) (4) logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法) 函数图象变换——知识点归纳 1 作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域; ②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ; ④描点连线,画出函数的图象 2 三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; 3 识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
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4 平移变换: (1)水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左
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(a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;

(2)竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向 下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到
左移 h
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① y=f(x) ? y=f(x+h); ② y=f(x) ? y=f(x?h); ③y=f(x) ? y=f(x)+h; ④y=f(x) ? y=f(x)?h
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右移 h

上移 h

下移 h

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5 对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到;
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(2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3)函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到 ①y=f(x) ? y= ?f(x); ③y=f(x)
直线 x ? a x轴
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②y=f(x) ? y=f(?x); ④y=f(x)
直线 y ? x

y轴

? y=f(2a?x);
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? y=f?1(x);

⑤y=f(x) ? y= ?f(?x)
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原点

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6 翻折变换: (1)函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到
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x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
(2) 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左 边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=|f(x)|

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

7 伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变
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纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;
(2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或 压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的

1 倍得到 a

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①y=f(x) ? y=f(

x??

x

?

);② y=f(x) ? y=ω f(x)

y ??

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第三章数列 数列定义——知识点归纳
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数列

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(1)一般形式: a1 , a2 ,?, an (2)通项公式: an ? f (n) (3)前 n 项和: Sn ? a1 ? a2 ??an 及数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:

(n ? 1) ?S Sn ? a1 ? a2 ??an ? an ? ? 1 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
等差数列——知识点归纳 1 等差数列的定义: ①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示 2 等差数列的判定方法: ②定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列
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③等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列

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3 等差数列的通项公式: ④如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 该公式
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整理后是关于 n 的一次函数 4 等差数列的前 n 项和:
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⑤ Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d ⑥ S n ? na1 ? 2 2
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对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数
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5 等差中项:
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⑥如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即: A ?
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a?b 或 2A ? a ? b 2
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在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与 后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5 等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d
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⑧ 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq

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也就是: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ⑨若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等 差数列 如下图所示:
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S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk
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S 2k ? S k

S 3k ? S 2 k

6 奇数项和与偶数项和的关系: ⑩设数列 ?an ? 是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,则
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有如下性质: 前 n 项的和 S n ? S奇 ? S偶 当 n 为偶数时, S 偶 ? S奇 ? d ,其中 d 为公差; 当 n 为奇数时,则 S 奇 ? S偶 ? a中,S奇 ? 中 a中 是等差数列的中间一项)
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n 2

S奇 n ? 1 S ? S偶 Sn n ?1 n ?1 ? ? 奇 ? n(其 , a中,S偶 ? a中, S ? S S奇 ? S偶 S n ? 1 2 2 奇 偶 偶

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7 前 n 项和与通项的关系: ' ⑾若等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n ?1 ,则
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a n S 2 n ?1 ? ' bn S 2 n ?1
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等比数列——知识点归纳 1 等比数列的概念:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 )
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2 等比中项:如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的 等比中项
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也就是,如果是的等比中项,那么 3 等比数列的判定方法:
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G b 2 ? ,即 G ? ab a G

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①定义法:对于数列 ?an ? ,若

2 ②等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列 ?1 ,则数列 ? 4 等比数列的通项公式:如果等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为
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a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

?an ?是等比数列

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an ? a1q n?1 或着 an ? amqn?m 5 等比数列的前 n 项和:
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1 Sn ? ○

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q
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2 Sn ? ○
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a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3 当 q ? 1 时, S n ? na1 ○
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当 q ? 1 时,前 n 项和必须具备形式 Sn ? A(qn ?1),( A ? 0) 6 等比数列的性质: ①等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 an ? am q n?m ② 对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av 也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ??
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??????????? a , a3 ,?, a n?2 , a n?1 , a n 2? 如图所示: 1 , a ? ? ? ???? ?
a2 ?an ?1

a1?an

③若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列 如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk
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S 2k ? S k

S 3k ? S 2 k

数列的求和——知识点归纳 1 等差数列的前 n 项和公式:
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Sn= na1 ?

n(n ? 1) d 2

Sn=

n( a1 ? a n ) 2

Sn= na n ?

n( n ? 1) d 2

当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0; 当 d=0 时(a1≠0) ,Sn=na1 是关于 n 的正比例式 2 等比数列的前 n 项和公式: 当 q=1 时,Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式);
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当 q≠1 时,Sn=
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a1 (1 ? q n ) 1? q

Sn=

a1 ? a n q 1? q

3 拆项法求数列的和,如 an=2n+3n 4 错位相减法求和,如 an=(2n-1)2n (非常数列的等差数列与等比数列的积的形式) 1 1 5 分裂项法求和,如 an=1/n(n+1) ? ? n n ?1 (分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式)
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n 6 反序相加法求和,如 an= nC100
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7 求数列{an}的最大、最小项的方法:
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?? 0 ? ①an+1-an=?? ?? 0 ?? 0 ?

如 an= -2n2+29n-3

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?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 ② an ?? 1 ?

(an>0) 如 an=

9 n (n ? 1) 10n
n n ? 156
2

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 数列的综合应用——知识点归纳
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? a1 , (n ? 1) 1 通项与前 n 项和的关系: S n ? a n ? ? ?S n ? S n?1 , (n ? 2)
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2 迭加累加法:
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若an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) ,
则a2 ? a1 ? f (2) ,

a3 ? a2 ? f (3) ,???,

an ? an?1 ? f (n)

? an ? a1 ? f (2) ? f (3) ?? f (n)
3 迭乘累乘法:
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an a a a ? g (n) , 则 2 ? g (2) , 3 ? g (3) ,???, n ? g (n) an?1 a1 a2 a n?1
an ? g (2) ? g (n) a1
1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

?

4 裂项相消法: an ?
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5 错位相减法:
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an ? bn ? cn ,

?bn ? 是公差 d≠0 等差数列, ?cn ? 是公比 q≠1 等比数列

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn 则qSn ? b1c2 ? ?? ? bn?1cn ? bn cn?1
所以有 (1 ? q)S n ? b1c1 ? (c2 ? c3 ? ??cn )d ? bn cn?1 6 通项分解法: an ? bn ? cn
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7 等差与等比的互变关系:
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?an ? 成等差数列 ? ?ba ?(b>0,b ? 1)成等比数列
n

?an?成等差数列 ? ?can ? d?(c ? 0)成等差数列
?an ? 成等比数列??logb an ? 成等差数列
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an ?0

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?an ? 成等比数列 ? ?ank ? 成等比数列
8 等比、等差数列和的形式:
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?an ?成等差数列? an ? An ? B ? Sn ? An2 ? Bn
?an?(q ? 1)成等比数列 ? Sn ? A(qn ?1)( A ? 0)
9 无穷递缩等比数列的所有项和:
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Sn ? ?an ?(|q|<1)成等比数列 ? S ? lim n ??

a1 1? q

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第四章三角函数 角的概念的推广和弧度制——知识点归纳
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1 角 ? 和 ? 终边相同: ? ? ? ? k ? 360? k ? Z
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2 几种终边在特殊位置时对应角的集合为:
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角的终边所在位 置 X 轴正半轴 Y 轴正半轴 X 轴负半轴 Y 轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴

角的集合

?? | ? ? k ? 360?,

k ? Z?
k ? Z?

?? | ? ? k ? 360? ? 90?,

?? | ? ? k ? 360? ? 180?, ?? | ? ? k ? 360? ? 270?,
?? | ? ? k ?180?,
k ? Z?

k ? Z? k ? Z?

?? | ? ? k ?180? ? 90?, ?? | ? ? k ? 90?,
k ? Z?

k ? Z?

3 弧度制定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度角 角度制与弧度制的互化: 180 ? ? ? ? 180 ? 1? ? ? 57.3? 1 弧度 ? 180 ?
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4 弧长公式: l ?| ? | r
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( ? 是圆心角的弧度数)

1 1 l r ? |? | r2 2 2 任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳 1 三角函数的定义:以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终

5 扇形面积公式: S ?
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边上任取一个异于原点的点 P( x, y) ,点 P 到原点的距离记为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,
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那么
sin ? ? y x y ; cos ? ? ; tan ? ? ; r r x r x r ; sec ? ? ; csc ? ? ) x y y
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( cot ? ?
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2 三角函数的符号: 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的 y 符号,我们可以得知:①正弦值 对于第一、 r
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?
sin ? cos ? tan ? cot ?

Ⅰ + + + +

Ⅱ + - - -

Ⅲ - - + +

Ⅳ - + - -

二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限
x 为负( y ? 0, r ? 0 ) ;②余弦值 对于第一、四 r

象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为 负( x ? 0, r ? 0 ) ;③正切值
y 对于第一、三象 x

限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异号) 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。 3 特殊角的三角函数值: ? ? ? ? 0 6 4 3
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? 2
1

?
0

3? 2
?1

sin ?

0

1 2

2 2
2 2

3 2
1 2

cos ?

1

3 2 3 3

0

?1

0

tan ?

0

1

3
3 3



0



cot ?
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3

1

0



0

4 三角函数的定义域、值域: 函 数 定 义 域
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y ? sin ?
y ? cos ?

R R

[?1,1] [?1,1]

y ? tan ?
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{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

5 诱导公式:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”。
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诱导公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z 诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ; 诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;

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c o s (1 8 ?0 ? ?) ? cos?
c o s?( ? ?) c ?o s
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诱导公式四: sin(180 ? ? ) ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos ? 诱导公式五: sin(360 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360 ? ? ) ? cos ? -? sin cos -sin ? cos ?

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? ??
sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?

-sin ? cos ?

?? 2 cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数) ; (2)记忆方法:“函数名不变,符号看象限”。 同角三角函数的基本关系——知识点归纳 1 倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 sin ? cos ? ? tan ? , cot ? ? 2 商数关系: cos ? sin ?
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3 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan 2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot 2 ? ? csc2 ?
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两角和与差的正弦、余弦、正切——知识点归纳 1 和、差角公式
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sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?
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tan ? ? tan ? 1 tan ? tan ?

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2 二倍角公式 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;
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cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
2 tan ? 1 ? tan 2 ? 3 降幂公式 1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin ? cos ? ? sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos 2 ? ? 2 2 2 4 半角公式 tan 2? ?
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sin
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?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ; cos ? ? ; tan ? ? ? ? 2 2 2 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?
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5 万能公式
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sin ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2 ?

2 ; cos ? ?

1 ? tan 2

?
2 ; tan ? ?

2 tan

?
2?

1 ? tan 1 ? tan 2 2 2 6 积化和差公式 1 1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; 2 2 1 1 cos ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? )] ; sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 2 7 和差化积公式 ??? ??? ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 sin cos sin ; sin ? ? sin ? ? 2 cos ; 2 2 2 2 ??? ??? ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos sin ; cos ? ? cos ? ? ?2 sin 2 2 2 2 8 三倍角公式:
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2?

2

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sin3 ? = 3 sin ? ? 4 sin 3 ?
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cos3 ? = 4 cos3 ? ? 3 cos?

9 辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ?
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其中sin ? ?

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2
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三角函数的图像与性质——知识点归纳 1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
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y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2 三角函数的单调区间:
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? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
? 3? ? ? 递减区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; 2 2? ?
y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,

递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tgx 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
y ? ctgx 的递减区间是 ?k?,k? ? ? ? (k ? Z )
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(其中A ? 0,? ? 0) 3 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
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最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ? 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? 都是该图象的对称中心
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2?

?
2

?

,频率是 f ?

? ,相位是 ?x ? ? , 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的交点

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4 由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途
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径,才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 无论哪种变形, 请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化” 多少 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
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先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位,再将图象上各点的横坐 倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象 ? 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换 1 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或向右 ? |? | ( ? <0=平移 个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象 ? 标变为原来的
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1

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5 由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式:
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给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(- 要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置 .. 6 对称轴与对称中心:
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? ,0)作为突破口, ?

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y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? (k? ,0) 2 ,对称中心为

k ?Z ;
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y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? ; 2 ,0)
对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系
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7 求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、? 的正负 利用单 调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8 求三角函数的周期的常用方法:
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经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用周期公式,另外还有图像 法和定义法
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9 五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图:
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五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 、π 、 作图 三角函数的最值及综合应用——知识点归纳
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π 2

3π 、2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点 2

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1 y=asinx+bcosx 型函数最值的求法:常转化为 y=
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a2 ? b2 sin(x+ ? )

2 y=asin2x+bsinx+c 型
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常通过换元法转化为 y=at2+bt+c 型:

3 y=
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a sin x ? b 型 c cos x ? d

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(1)当 x ? R 时,将分母与 y 乘转化变形为 sin(x+ ? )= f ( y ) 型 (2)转化为直线的斜率求解 (特别是定义域不是 R 时,必须这样作) 4.同角的正弦余弦的和差与积的转换:
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同一问题中出现 sin x ? cos x,sin x ? cos x,sin x ? cos x,求它们的范围,一般是令 sin x ? cos x ? t 或 sin x ? cos x ? t ? sin x ? cos x ?
t 2 ?1 t 2 ?1 或 sin x ? cos x ? ? ,转化为关于 t 的二次函数来解决 2 2

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5.已知正切值,求正弦、余弦的齐次式的值: 如已知 tan x ? 2 ,求 sin 2 x ? 2sin x ? cos x ? cos2 x ? 4 的值,一般是将不包括常数项的式子的分 母 1 用 sin 2 x ? cos 2 x 代换,然后分子分母同时除以 cos2 x 化为关于 tan x 的表达式 6.几个重要的三角变换: sin α cos α 可凑倍角公式; 1±sin α 可化为 1 ? cos? 1±cos α 可用升次公式;
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?? ? ? ? ? ,再用升次公式; ?2 ?
2
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?? ? ? 或 1 ? sin ? ? ? sin ? cos ? 2 2? ?

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a sin? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ? ? ? ? ? (其中 tan ? ?
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b )这一公式应用广泛,熟练掌握. a
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7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示,四种三角函数 y = sin x、y =
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cos x、y = tan x、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的. 8 三角函数的图象的掌握体现:把握图象的主要特征(顶点、零点、中心、对称轴、单调性、 渐近线等) ;应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图. 9 三角函数的奇偶性
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① 函数 y = sin (x+φ )是奇函数 ? ? ? k? ?k ? Z ? . ② 函数 y = sin (x+φ )是偶函数 ? ? ? k? ? ③ 函数 y =cos (x+φ )是奇函数 ? ? ? k? ? ④ 函数 y = cos (x+φ )是偶函数 ? ? ? k? 10 正切函数的单调性
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?
2

?k ? Z ? . ?k ? Z ? .

?

2

?k ? Z? .
? ?? ? ,在每一个区间 ? k? ? ,k? ? ? 2 2? ?
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正切函数 f (x) = tan x, x ? k? ?

?
2

?k ? Z?

?k ? Z?

上都是增函数,但不能说 f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数. 第五章平面向量 平面向量的基本运算——知识点归纳 1 向量的概念: ? ? ? ①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a, b , c ??来表示,或用有向线段的起点与终点的大
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? ? 写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? yj ? ( x, y)
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向量的大小即向量

? 的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a |
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ? ? ? ? ? ②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | a |
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=0 由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中
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务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ? ? 向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1
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④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 ? ? 方向相同或相反的向量,称为平行向量 记作 a ∥ b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向
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量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区 分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行” 与几何中的“平行”是不一样的. ? ? ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 大小相
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等,方向相同
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? x1 ? x 2 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? ? y1 ? y 2
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2 向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 ? 设 AB ? a, BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC
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? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
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AB ? BC ? CD ?
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? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”.

3 向量的减法 ? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量 ? ? ? ? ? ? ? 关于相反向量有: (i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;
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? ? ? ? ? ? ? ? ? (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0

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? ? ? ? ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,

? ? ? ? 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
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? ? ? ? ? ? ③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点)
4 实数与向量的积: ? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下:
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(Ⅰ) ?a ? ? ? a ;
? ? ? ? (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的
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?

?

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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a
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6 平面向量的基本定理: ? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对
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? ? ? ? ? 实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
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7 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线(重 合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关
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平面向量的坐标运算——知识点归纳
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1 平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作
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为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)
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是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有 关 2 平面向量的坐标运算:
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(1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性 质 运 几何方法 坐标方法 运算性质 算 类 型 ? ? ? ? 向 1 平行四边形法 b ?b ?a a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? ? ? ? ? ? ? 量则 (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 的 2 三角形法则 AB ? BC ? AC 加 法 ? ? ? ? 向 三角形法则 a ? b ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a ? b ? a ? (?b ) 量 AB ? ? BA 的 OB ? OA ? AB 减
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法 ? 向 ? a 是一个向量, 量 满足: ? ? 的 ? >0 时 , ? a 与 a 乘 同向; ? ? 法 ? <0 时 , ? a 与 a 异向; ? ? ? =0 时, ? a = 0 ? ? 向 a ? b 是一个数 ? ? ? ? 量 a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? 的 a ? b =0 数 ? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时, 量 ? ? ? ? ?? a ? b ? | a || b | cos ? a ,b ? 积
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?a ? (?x, ?y)

? (?a ) ? (?? )a ? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b ? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b

?

?

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a ? ? ? ? ? ? (?a) ? b ? a ? (?b ) ? ?(a ? b )
? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? a 2 ?| a | 2
? | a |? x 2 ? y 2

,

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

平面向量的数量积——知识点归纳 1 两个向量的数量积:
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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ? b =︱ a ︱· 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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2 向量的投影:︱ b ︱cos ? =
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a ?b ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影 |a|
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b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积 3 数量积的几何意义: a ·
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4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
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5 乘法公式成立:
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?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2 2
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2

?b ; ? 2a ? b ? b
2

2

2

6 平面向量数量积的运算律:
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①交换律成立: a ? b ? b ? a

? ? ? ? ③分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 特别注意: (1)结合律不成立: a ? ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? c ;
(2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ?

②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ?

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(3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 7 两个向量的数量积的坐标运算:
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已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · b = x1 x2 ? y1 y2
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8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ? ( 0 0 ? ? ? 1800 )叫
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做向量 a 与 b 的夹角 cos ? = cos ? a , b ??

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a ?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

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当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其 它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
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9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件: ? ? ? ? a ⊥ b ? a ? b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 平面向量数量积的性质
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线段的定比分点与平移——知识点归纳 1 线段的定比分点定义:设 P1,P2 是直线 L 上的两点,点 P 是 L 上不同于 P1,P2 的任意一点,则存
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? 叫做点 P 分有向线段 PP 在一个实数 ? ,使 PP 1 ? ? PP 2 , 1 2 所成的比 当点 P 在线段 PP 1 2 上时,
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? ? 0 ;当点 P 在线段 PP ? <0 1 2 或 PP 1 2 的延长线上时,
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?, 2 定比分点的向量表达式:点 P 分有向线段 PP 1 2 所成的比是
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则 OP ?

1 ? OP OP2 (O 为平面内任意点) 1? 1? ? 1? ?

x1 ? ?x 2 1 ? ? ,其中 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y) y1 ? ?y 2 1? ? x1 ? x2 ? x ? ? 2 4 中点坐标公式: 当 ? =1 时,分点 P 为线段 PP 1 2 的中点,即有 ? y1 ? y 2 ?y ? 2 ? x A ? x B ? xC ? ?x ? 3 5 ?ABC 的重心坐标公式: ? y A ? y B ? yC ?y ? 3 ? 6 图形平移的定义:设 F 是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同一方向移动同样长度, 得到图形 F’,我们把这一过程叫做图形的平移 ? ?x ? 3 定比分点的坐标形式: ? ?y ? ?
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? ? 7 平移公式: 设点 P( x, y) 按向量 a ? (h, k ) 平移后得到点 P?( x?, y ?) ,则 OP? = OP + a 或
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? x? ? x ? h, ? ,曲线 y ? f ( x) 按向量 a ? (h, k ) 平移后所得的曲线的函数解析式为: y ? k ? f ( x ? h) ? ? y ? ? y ? k.
这个公式叫做点的平移公式,它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关 系 解三角形及应用举例——知识点归纳 1 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径 a b c ? ? ? 2 R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) 即 sin A sin B sin C 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其他两 边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角) 2 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍
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第一形式, b 2 = a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,第二形式,cosB=

a2 ? c2 ? b2 2ac

利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已 知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 3 三角形的面积:△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆半径用 r 表示,半周 长用 p 表示则 1 1 ① S ? a ? ha ? ? ;② S ? bc sin A ? ? ; 2 2 abc ③ S ? 2R 2 sin A sin B sin C ;④ S ? ; 4R a?b?c ⑤ S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;⑥ S ? pr (其中 p ? ) 2
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4 三角形内切圆的半径: r ?
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a ? b ? c斜 2S? ,特别地, r直 ? a?b?c 2

5 三角学中的射影定理:在△ABC 中, b ? a ? cos C ? c ? cos A ,? 6 两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,? 7 三内角与三角函数值的关系:在△ABC 中
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sin(A+B)=sinC cos(A+B) ? -cosC tan(A+B) ? -tanC
A? B C A? B C A? B C ? cos cos ?sin tan ? cot 2 2 2 2 2 2 tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理 及几何作图来帮助理解” 第六章不等式 不等式的概念与性质——知识点归纳 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系: a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 2.不等式的性质: sin
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(1) a ? b ? b ? a

, a ? b ? b ? a (反对称性) , a ? b, b ? c ? a ? c (传递性)

(2) a ? b, b ? c ? a ? c

(3) a ? b ? a ? c ? b ? c ,故 a ? b ? c ? a ? c ? b (移项法则) 推论: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd 推论 2: a ? b ? 0 ? a n ? b n 推论 3: a ? b ? 0 ? n a ? n b 算术平均数与几何平均数——知识点归纳 1.常用的基本不等式和重要的不等式
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(1) a ? R, a 2 ? 0, a ? 0 当且仅当 a ? 0, 取“?” (2) a, b ? R, 则a 2 ? b 2 ? 2ab (3) a, b ? R ? ,则 a ? b ? 2 ab (4)
a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

2 最值定理:设 x, y.0,由x ? y ? 2 xy
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(1)如积 xy ? P(定值),则积 x ? y有最小值2 P
S 2 (2)如积 x ? y ? S (定值),则积 xy 有最大值( ) 2 即:积定和最小,和定积最大 运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等 3 均值不等式: a?b ? ab 两个正数的均值不等式: 2 a?b?c 3 ? abc 三个正数的均值不等是: 3
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n 个正数的均值不等式:
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a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n n

4 四种均值的关系:两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关 系是
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2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2
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不等式的证明——知识点归纳 不等式的证明方法 (1)比较法:作差比较: A ? B ? 0 ? A ? B 作差比较的步骤: ①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差 ②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和 ③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小 (2)综合法:由因导果 (3)分析法:执果索因 基本步骤:要证??只需证??,只需证?? ①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 ②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻 找证题的途径,然后用“综合法”进行表达 (4)反证法:正难则反 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 放缩法的方法有:
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①添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ? a ; n(n ? 1) ? n ; ②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式, lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 如: log 3 ? lg 5 ? ( 2 n ? (n ? 1) n(n ? 1) ? 2 ④利用常用结论: Ⅰ、 k ? 1 ? k ?
1 k ?1 ? k ? 1 2 k



Ⅱ、

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ; 2 ? (程度大) 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

Ⅲ、

(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元 有三角换元和代数换元 如:
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已知 x 2 ? y 2 ? a 2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ; 已知 x 2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );

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x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? ; a b

已知

x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan? ; a2 b2

(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证 法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点. (8)数学归纳法法 解不等式——知识点归纳 1.解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式. (2)解一元二次不等式. (3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式. ①解一元高次不等式; ②解分式不等式; ③解无理不等式; ④解指数不等式; ⑤解对数不等式; ⑥解带绝对值的不等式; ⑦解不等式组. 2.解不等式时应特别注意下列几点: (1)正确应用不等式的基本性质. (2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性. (3)注意代数式中未知数的取值范围. 3.不等式的同解性
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?f(x) > 0 ?f(x) < 0 (1)f(x) ?g(x) > 0与 ? 或? 同解. ? g(x) > 0 ? g(x) < 0 ?f(x) > 0 ?f(x) < 0 (2)f(x) ?g(x) < 0与 ? 或? 同解. ?g(x) < 0 ?g(x) > 0 (3) ?f(x) > 0 ?f(x) < 0 f(x) > 0与 ? 或? 同解. (g(x) ≠ 0) g(x) ?g(x) > 0 ?g(x) < 0 ?f(x) > 0 f(x) < 0与 ? 或 g(x) ?g(x) < 0

?f(x) < 0 同解. (g(x) ≠ 0) ? ?g(x) > 0 (5)|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0) (6)|f(x)|>g(x) 与 ①f(x)>g(x)或 f(x)<-g(x)(其中 g(x)≥0);②g(x)<0 同解 (4)

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?f(x) >[g(x)]2 ?f(x) ≥0 ? (7) f(x) >g(x) 与 ?f(x) ≥0 或? 同解. ?g(x) <0 ? ?g(x) ≥0
?f(x) <[g(x)]2 (8) f(x) <g(x) 与 ? 同解. f(x) ≥ 0 ?

(9)当 a>1 时,af(x)>ag(x)与 f(x)>g(x)同解, 当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)与 f(x)<g(x)同解.
?f(x) >g(x) (10) 当a>1时,log a f(x) >log a g(x) 与 ? 同解. ?f(x) > 0

?f(x) <g(x) ? 当0<a<1时,log a f(x) >log a g(x) 与 ? f(x) >0 同解. ? ?g(x) >0 4 零点分段法:高次不等式与分式不等式的简洁解法
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步骤:①形式:

P( x) ? 0 ? 移项,通分(不轻易去 分母) Q( x )
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②首项系数符号>0——标准式,若系数含参数时,须判断或讨论系数的符号,化负为正 ③判断或比较根的大小 绝对值不等式——知识点归纳 1.解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值,常采用的方法是讨 论符号和平方 2.注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题 ||a|─|b||?|a+b|?|a|+|b|;||a|─|b||?|a─b|?|a|+|b|;并指出等号条件 3.(1) |f(x)|<g(x)?─g(x)<f(x)<g(x); (2)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或 f(x)<─g(x) (无论 g(x)是否为正) (3)含绝对值的不等式性质(双向不等式)
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a ? b ? a?b ? a ? b
左边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号,右边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号 第七章直线和圆的方程 直线方程——知识点归纳
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1 数轴上两点间距离公式: AB ? xB ? x A
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2 直角坐标平面内的两点间距离公式: P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
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3 直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α ,那么α 就叫做直线的倾斜角 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0° 可见,直线倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° 4 直线的斜率:倾斜角α 不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示, 即 k=tanα (α ≠90°)
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倾斜角是 90°的直线没有斜率;倾斜角不是 90 °的直线都有斜率,其取值范围是(- ∞, +∞)
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5 直线的方向向量:设 F1(x1,y1) 、F2(x2,y2)是直线上不同的两点,则向量 F1 F2 =(x2-x1,
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y2-y1)称为直线的方向向量 向量

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y ? y1 1 )=(1,k)也是该直线的方向向量,k 是直线的斜率 特别 F1 F2 =(1, 2 x 2 ? x1 x 2 ? x1
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地,垂直于 x 轴的直线的一个方向向量为 a =(0,1) 6 求直线斜率的方法 ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90°,则斜率 k=tanα
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②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,且 x1≠x2,则斜率 k= ③方向向量法:若 a =(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率 k=
n m

y 2 ? y1 x 2 ? x1

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平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率 对于直线上任意两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,当 x1=x2 时,直线斜率 k 不存在,倾斜角α =90°;当 x1≠x2 时,直线斜率存在,是一实数,并且 k≥0 时,α =arctank;k<0 时,α =π +arctank 7 直线方程的五种形式
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点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 斜截式: y ? kx ? b 两点式:

y ? y1 x ? x1 x y , 截距式: ? ? 1 ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1

一般式: Ax ? By ? C ? 0 两直线的位置关系——知识点归纳 1.特殊情况下的两直线平行与垂直. 当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为 90°,互相平行; (2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°,两直 线互相垂直 2.斜率存在时两直线的平行与垂直: 两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率
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相等,则它们平行,即 l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2

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已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,

l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2C2 ? 0)

l1 ∥ l 2 的充要条件是

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

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?两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是 k 1 和 k 2 ,则这两条直线垂直的充要条
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件是 k1 k 2 ? ?1 . 已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,

l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则 l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .
3 直线 l1 到 l 2 的角的定义及公式:
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直线 l1 按逆时针方向旋转到与 l 2 重合时所转的角,叫做 l1 到 l 2 的角 l1 到 l 2 的角 ? :0°< ? <
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180°, 如果 1 ? k1 k 2 ? 0,即k1 k 2 ? ?1, 则? ? 4.直线 l1 与 l 2 的夹角定义及公式:

?
2

. 如果 1 ? k1k 2 ? 0 , tan? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

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l1 到 l 2 的角是 ? 1 , l 2 到 l1 的角是π - ? 1 ,当 l1 与 l 2 相交但不垂直时, ? 1 和π - ? 1 仅有一个角是
锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角 当直线 l1 ⊥ l 2 时,直线 l1 与 l 2 的夹角是
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< ? ≤90°

? 夹角 ? :0° 2
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如果 1 ? k1 k 2 ? 0, 即k1 k 2 ? ?1, 则? ?

?
2

. 如果 1 ? k1k 2 ? 0 , tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

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5.两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 是否有惟一解 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
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6.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2
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A2 ? B 2

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8 直线系方程:若两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 有交点,则过 l1 与 l 2 交
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点的直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) + ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或
( A2 x ? B2 y ? C 2 ) + ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? 0 (λ 为常数)
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简单的线性规划及实际应用——知识点归纳 1 二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中,已知直线 Ax+By+C=0,坐标平面内的点 P(x0,y0) B>0 时,①Ax0+By0+C>0,则点 P(x0,y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C<0,则点 P(x0,y0) 在直线的下方 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0) ,无论 B 为正值还是负值,我们都可以把 y 项的系数变形为正数 当 B>0 时,①Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域;②Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 2 线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似 函数的定义域) ;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 生产实际中有许多问题都 可以归结为线性规划问题 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x、y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y) ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) ; (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数) ; (6) 观察图形,找到直线 f (x,y) =t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置,以确定最优解, 给出答案 曲线和方程——知识点归纳 1.平面解析几何研究的主要问题:根据已知条件求出表示平面曲线的方程;通过方程,研究平 面曲线的性质
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2.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义: 在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完备性) 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线
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3.定义的理解: 设 P={具有某种性质(或适合某种条件)的点},Q={(x,y)|f(x,y)=0},若设点 M 的坐标 为(x ,y ),则用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为:
0 0

(1)M∈P ? (x 0 ,y 0 ) ∈Q,即P ? Q; (2)(x 0 ,y 0 ) ∈Q ? M∈P,即Q ? P.
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题):

(1)(x 0 ,y 0 ) ? Q ? M ? P; (2)M ? P ? (x 0 ,y 0 ) ? Q.

显然,当且仅当P ? Q且Q ? P,即P = Q时,才能称方程f(x,y) = 0
为曲线 C 的方程;曲线 C 为方程 f(x,y)=0 的曲线(图形). 在领会定义时,要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可,它们都是“曲线的方程”和“方程的
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曲线”的必要条件.两者满足了,“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.只有符合 关系(1)、(2),才能将曲线的研究转化为方程来研究,即几何问题的研究转化为代数问题.这种 “以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 4 求简单的曲线方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合;
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(3)用坐标表示条件 P(M) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; (4)化方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”,在步骤④中若化简过程是同解变形过程;或最简方程的 解集与原始方程的解集相同,则步骤⑤可省略不写,因为此时所求得的最简方程就是所 求曲线的方程. 5 由方程画曲线(图形)的步骤: ①讨论曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴和原点); ②求截距:
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?f ( x,y) ? 0 方程组 ? 的解是曲线与x轴交点的坐标; ?y ? 0 ?f ( x,y) ? 0 方程组 ? 的解是曲线与y轴交点的坐标; ?x ? 0 ③讨论曲线的范围; ④列表、描点、画线. 6.交点:求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组. 7.曲线系方程:过两曲线 f (x,y)=0 和 f (x,y)=0 的交点的曲线系方程是 f (x,y)+λ f (x, y)=0(λ ∈R). 求轨迹有直接法、定义法和参数法,最常使用的就是参数法 一个点的运动是受某些因素影响的 所以求轨迹问题时,我们经常要分析作图过程,顺藤摸瓜, 从中找出影响动点的因素 最后确定一个或几个因素作为基本量,找出它们和动点坐标的关系, 列出方程 这就是参数法 圆的方程——知识点归纳 1.圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 2 圆的标准方程
1 2 1 2
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圆心为(a,b) ,半径为 r 的圆的标准方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 方程中有三个参量 a、b、r,因此三个独立条件可以确定一个圆 3 圆的一般方程 二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (*)配方得
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(x+

D ? E 2 ? 4F D 2 E ) +(y+ )2= 4 2 2
2

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把方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)
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其中,半径是 r ?

D 2 ? E 2 ? 4F E? ? D ,圆心坐标是 ? ? , ? ? 叫做圆的一般方程 2? 2 ? 2
D E ,- ) ; 2 2
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(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:x2、y2 项系数相等且不为零 没有 xy 项
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(2)当 D2+E2-4F=0 时,方程(*)表示点(-

当 D2+E2-4F<0 时,方程(*)不表示任何图形 (3)根据条件列出关于 D、E、F 的三元一次方程组,可确定圆的一般方程 4 圆的参数方程 ①圆心在 O(0,0) ,半径为 r 的圆的参数方程是:
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? x ? r cos ? (?是参数) ? ? y ? r sin ?
②圆心在点 C (a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是:

?x ? a ? r cos? (?是参数) ? ? y ? b ? r sin ?
在①中消去θ 得 x2+y2=r2,在②中消去θ 得(x-a)2+(y-b)2=r2,把这两个方程相对于 它们各自的参数方程又叫做普通方程 5 二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 若二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆,则有 A=C≠0,B=0,这仅是二元二次方 程表示圆的必要条件,不充分
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在 A=C≠0,B=0 时,二元二次方程化为 x2+y2+
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D E F x+ y+ =0, A A A

仅当 D2+E2-4AF>0 时表示圆 故 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是: ①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0
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6 线段 AB 为直径的圆的方程: 若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是
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( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
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7 经过两个圆交点的圆系方程:经过 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的
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交点的圆系方程是:

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0

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在过两圆公共点的图象方程中,若λ =-1,可得两圆公共弦所在的直线方程
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8 经过直线与圆交点的圆系方程: 经过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
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的交点的圆系方程是:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0
9 确定圆需三个独立的条件
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(1)标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , (a, b) ? ?圆心,r ? ?半径
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(2)一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)
D E (? ,? ) ? ?圆心 , r ? 2 2
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D 2 ? E 2 ? 4F 2
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对称问题——知识点归纳 1 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是 线段中点坐标公式的应用问题 设 P(x0,y0) ,对称中心为 A(a,b) ,则 P 关于 A 的对称点为 P′(2a-x0,2b-y0) 2 点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线” 利用“垂直”“平分”这两 个条件建立方程组,就可求出对顶点的坐标 一般情形如下: 设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x′,y′) ,则有
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y? ? y0 ? ? k ? ?1 ? x? ? x0 ? ,可求出 x′、y′ ? ? y? ? y0 ? k ? x0 ? x? ? b ? ? 2 2
特殊地,点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点为 P′(2a-x0,y0) ;点 P(x0,y0)关于直 线 y=b 的对称点为 P′(x0,2b-y0) 3 曲线关于点 、 曲线关于直线的中心或轴对称问题 : 一般是转化为点的中心对称或轴对称 (这 里既可选特殊点,也可选任意点实施转化) 一般结论如下: (1)曲线 f(x,y)=0 关于已知点 A(a,b)的对称曲线的方程是 f(2a-x,2b-y)=0 (2)曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法: 设曲线 f(x,y)=0 上任意一点为 P(x0,y0) ,P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(y,x) , 则由(2)知,P 与 P′的坐标满足
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y? ? y0 ? ? k ? ?1 ? x? ? x0 ? 从中解出 x0、y0, ? ? y? ? y0 ? k ? x0 ? x? ? b ? ? 2 2
代入已知曲线 f(x,y)=0,应有 f(x0,y0)=0 利用坐标代换法就可求出曲线 f(x,y)=0 关 于直线 y=kx+b 的对称曲线方程 4 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论: (1)点(x,y)关于 x 轴的对称点为(x,-y) ; (2)点(x,y)关于 y 轴的对称点为(-x,y) ; (3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y) ; (4)点(x,y)关于直线 x-y=0 的对称点为(y,x) ; (5)点(x,y)关于直线 x+y=0 的对称点为(-y,-x) 直线与圆、圆与圆的位置关系——知识点归纳 1 研究圆与直线的位置关系最常用的方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大小 关系。
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直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种,若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则

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d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0
2 两圆位置关系的判定方法
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设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d ① d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ② d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ③ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ④ d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ⑤ 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

内含 0 r1-r2 内切

相交 r1+r2 外切

相离

d
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3 直线和圆相切: 这类问题主要是求圆的切线方程 求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两种 情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况
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①过圆上一点的切线方程:圆 x 2 ? y 2 ? r 2的以P( x0 , y0 ) 为切点的切线方程是 x0 x ? y0 y ? r 2 。 当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时, x0 x ? y0 y ? r 2 表示切点弦的方程。 一般地,曲线 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的以点P( x0,y0 ) 为切点的切线方程是:
Ax0 x ? Cy 0 y ? D ? x ? x0 y ? y0 ?E? ? F ? 0。 2 2

当点 P( x0 , y0 ) 在圆外时, Ax0 x ? Cy 0 y ? D ?

x ? x0 y ? y0 ?E? ? F ? 0 表示切点弦的方程。 2 2

这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去 做。 ②过圆外一点的切线方程: 4 直线和圆相交:
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这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题
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5 经过两个圆交点的圆系方程:经过 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的
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交点的圆系方程是:

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 。
在过两圆公共点的图象方程中,若λ =-1,可得两圆公共弦所在的直线方程
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6 经过直线与圆交点的圆系方程: 经过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的
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交点的圆系方程是:

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0
7 几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 8 代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数 第八章圆锥曲线 椭圆——知识点归纳 1.定义:①平面内一个动点到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|,即
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PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1 F2 ),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).
②点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0<e<1) ,则 P 点的轨 迹是椭圆 2.椭圆参数的几何意义,如下图所示:
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(1)|PF1|+|PF2|=2a,|PM2|+|PM1|=

| PF1 | | PF2 | 2a 2 , = =e; c | PM 1 | | PM 2 |

(2) A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ; a ? c ? PF 1 ? a?c (3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2|=c; (4)|F1K1|=|F2K2|=p=
b , c
2

y
B M1 K1 A1 F1 P F2 A2 M2 K2

A2 B ? A1B ? a 2 ? b 2

o

x

3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式
x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 其中 c 2 ? a 2 ? b 2 和 2 2 2 a b a b
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椭圆

c x2 y2 a2 ( a ? b ? 0 ) ( ? c , 0 ) ? ? 1 x ? ? 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 e ? , 2 2 a c a b

2b 2 b2 b2 通径的长是 焦准距(焦点到准线的距离) p ? ,焦参数 (通径长的一半) 范围: a c a
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{x ? a ? x ? a} , {x ? b ? y ? b} ,长轴长= 2a ,短轴长=2b,焦距=2c ,

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a2 a2 焦半径: PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x) ? a ? ex . c c
?F PF ???? ??????? 4. ?PF1 F2 中经常利用余弦定理、三角形面积公式 S ?PF1F2 ? b 2 tan 1 2 将有关线段 PF1 、 PF2 、 2

2c,有关角 ?F1 PF2 ( ?F1PF2 ? ?F1BF2 )结合起来,建立 PF1 + PF2 、 PF1 ? PF2 等关系.

? x ? a cos? 5.椭圆上的点有时常用到三角换元: ? ; ? y ? b sin ?
双曲线——知识点归纳 1 双曲线定义: ①到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹
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( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) ) 这两个定点叫双曲线的焦点.
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②动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点的轨 迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线 2 双曲线图像中线段的几何特征:
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?实轴长 A1 A2 ? 2a ,虚轴长 2b,焦距
M1 M2

F1F2 ? 2c
P

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?顶点到焦点的距离:

A1F1 ? A2 F2 ? c ? a , A1F2 ? A2 F1 ? a ? c
?顶点到准线的距离:
A1K1 ? A2 K 2 ? a ? a2 a2 ; A1K 2 ? A2 K1 ? a ? c c

F1 A1 K1

o

K2 A2 F2

?焦点到准线的距离:
F1K1 ? F2 K 2 ? c ? a2 a2 或 F1K 2 ? F2 K1 ? c ? c c 2a 2 c

?两准线间的距离: K1K 2 ?

? ?PF1 F2 中结合定义 PF1 ? PF2 ? 2a 与余弦定理 cos?F1 PF2 ,将有关线段 PF1 、 PF2 、 F1 F2 和角结合起来, S ?PF1F2 ? b 2 cot
?F1 PF2 2
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PF1 PF2 A1F1 A2 F2 c b2 ?离心率: e ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ∈(1,+∞) PM1 PM 2 A1K1 A2 K 2 a a
?焦点到渐近线的距离:虚半轴长 b ?通径的长是
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