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吉林省东北师范大学附属中学2015_2016学年高中数学1.2第05课时任意角的三角函数(1)教案理新人教A版必修4

任意角的三角函数(1) 课时:05 课型:新授课 教学目标: 知识目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 。 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分 析、探究、 解决问题的能力。 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ,以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重 点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 教学过程: 一、复习引入: 初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依 次为 sinA ? a b a , cosA ? , tanA ? . c c b 角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中, 设α 是一个任意角, α 终边上任意一点 P (除了原点) 的坐标为 ( x, y ) , 2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 y y 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x (1)比值 说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,比值不以点 P ( x, y ) 在α 的终边上的位 置的改变而改变大小; ③当 ? ? ? 2 ? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等 于 0 ,所以 tan ? ? y ; x x y y 、 、 分别是一个确定的实数, r r x ④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 所以正弦、余弦、正切是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上函数统称为三角 函数。 1 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域 y ? sin ? y ? cos ? y ? tan ? R R {? | ? ? [?1,1] [?1,1] ? 2 ? k? , k ? Z } R 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的 非负半轴重合. (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余两个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形 的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角 函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定 义.实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研 究过程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面 直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用 我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 3.例题精讲 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求 sincostan。 解:因为 x ? 2, y ? ?3 ,所以 r ? 22 ? (?3) 2 ? 13 ,于是 sin ? ? y 3 y ?3 3 13 x 2 2 13 ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? ? ; ? ?? ? x 2 r 13 r 13 13 13 (2) ? ; (3) 例 2.求下列各角的正弦值、余弦值、正切值. (1) 0 ; 3? 时, x ? 0 , y ? ? r ,所以 2 3? 3? 3? sin ? ?1 , cos ? 0, tan 不存在. 2 2 2 例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 sincostan。 (3)因为当 ? ? 解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , 当 a ? 0时, sin ? ? 解: (1)因为当 ? ? 0 时, x ? r , y ? 0 ,所以 sin 0 ? 0 , cos 0 ? 1 , tan 0 ? 0 ; (2)因为当 ? ? ? 时, x ? ?r , y ? 0 ,所以 sin ? ? 0 , cos ? ? ?1 , tan ? ? 0 ; 3? . 2 x ? a, y ? 2a y 2a 2a 2 5 ; ? ? ? r 5 5|a| 5a cos ? ? x a 5a ; ? ? r 5 5a 2 当 a ? 0时, sin ? ? y 2a 2a 2 5 ; ? ? ?? r 5 5 | a | ? 5a cos ? ? x a 5a ; . ? ?? r ? 5a 5 4.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: y 对于第一、 二象限为正 ( y ? 0, r ? 0 ) , 对于第三、 四象限为负 ( y

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