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吉林省东北师范大学附属中学2015


任意角的三角函数(1) 课时:05 课型:新授课 教学目标: 知识目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 3.记住三角函数的定义域、值域,诱导公式(一) 。 能力目标: (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分 析、探究、 解决问题的能力。 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ,以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重 点。 教学难点:利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 教学过程: 一、复习引入: 初中锐角的三角函数是如何定义的? 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依 次为 sinA ? a b a , cosA ? , tanA ? . c c b 角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中, 设α 是一个任意角, α 终边上任意一点 P (除了原点) 的坐标为 ( x, y ) , 2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 y y 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x (1)比值 说明:①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,比值不以点 P ( x, y ) 在α 的终边上的位 置的改变而改变大小; ③当 ? ? ? 2 ? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等 于 0 ,所以 tan ? ? y ; x x y y 、 、 分别是一个确定的实数, r r x ④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 所以正弦、余弦、正切是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上函数统称为三角 函数。 1 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域 y ? sin ? y ? cos ? y ? tan ? R R {? | ? ? [?1,1] [?1,1] ? 2 ? k? , k ? Z } R 注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的 非负半轴重合. (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关. (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余两个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角形 的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角 函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐

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