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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】章末复习课(一)


章末复习课

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题型一
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三视图与直观图

三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个 视图,从三视图可以看出,俯视图反映物体的长和宽, 主视图反映它的长和高,左视图反映它的宽和高.

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例 1 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

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8π A. 3

B.3π

10π C. 3

D.6π

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解析

将三视图还原为实物图求体积.

由三视图可知,此几何体(如图所示)是底面
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半径为 1,高为 4 的圆柱被从母线的中点处 1 截去了圆柱的 , 4 3 所以 V= ×π×12×4=3π. 4
答案 B

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跟踪训练 1 一几何体的三视图如图所示. (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图; (2)计算该几何体的体积与表面积.
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(1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等

底圆锥拼接而成的组合体,其直观图如图所示. (2)由三视图中尺寸知,组合体下部是底面直径为
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8 cm,高为 20 cm 的圆柱,上部为底面直径为 8 cm,母线长为 5 cm 的圆锥.

易求得圆锥高 h= 52-42=3(cm), 1 2 2 ∴体积 V=π·4 · 3π·4 · 20+ 3=336π(cm3), 表面积 S=π·42+2π·4·20+π·4·5=196π(cm2).

∴该几何体的体积为 336π cm3,表面积为 196π cm2.

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题型二

柱体、锥体、台体的表面积和体积

几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇
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到的问题,在计算中应注意各数量之间的关系及各元素 之间的位置关系,特别是特殊的柱、锥、台体,要注意 其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用.

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例 2 圆柱有一个内接长方体 AC1,长方体对角线长是 10 2cm, 圆柱的侧面展开平面图为矩形, 此矩形的面积是 100π cm2, 求 圆柱的体积.
解 设圆柱底面半径为 r cm,高为 h cm.
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如图所示,则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的 内接长方体的体对角线长,则
??2r?2+h2=?10 ? ? ?2πrh=100π, ?

2?2,

?r=5 ? ∴? ?h=10 ?

.

∴V 圆柱=Sh=πr2h=π×52×10=250π(cm3).
∴圆柱体积为 250π cm3.

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跟踪训练 2 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三 1 棱锥 D1-EDF 的体积为________. 6

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解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.

V D1 ?EDF?V F ?DD1E=1 S
3

? D1DE

1 1 1 · AB= × ×1×1×1= . 3 2 6

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题型三

几何中共点、共线、共面问题

1.证明共面问题 证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个 平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素
本 确定若干个平面,再证明这些平面重合. 课 时 2.证明三点共线问题 栏 目 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线 开 关 上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三

个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上. 3.证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第 三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.

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例 3 如图所示,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别 为 AB,AD 的中点,G,H 分别在 BC,CD 上, 且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:(1)E、F、G、H 四点共面;
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(2)GE 与 HF 的交点在直线 AC 上.

证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC,

∴GH∥BD,又 EF∥BD,∴EF∥GH,
∴E、F、G、H 四点共面.
(2)∵G、H 不是 BC、CD 的中点,∴EF≠GH.

又 EF∥GH,∴EG 与 FH 不平行,则必相交,设交点为 M.

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EG?面ABC ? ? ??M∈面 ABC 且 M∈面 ACD HF?面ACD? ?
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?M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上?M∈AC. ∴GE 与 HF 的交点在直线 AC 上.

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跟踪训练 3 如图,O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中心,M 是正方体对角线 AC1 和截 面 A1BD 的交点.求证:O、M、A1 三点共线.
证明 ∵O∈AC,AC?平面 ACC1A1,
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∴O∈平面 ACC1A1. ∵M∈AC1,AC1?平面 ACC1A1. ∴M∈平面 ACC1A1.
又已知 A1∈平面 ACC1A1, 即有 O、M、A1 三点都在平面 ACC1A1 上, 又 O、M、A1 三点都在平面 AB1D 上,∴O、M、A1 三点都在平
面 ACC1A1 与平面 A1BD 的交线上, ∴O、M、A1 三点共线.

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题型四

空间中的平行问题

1. 判断或证明线面平行的常用方法: (1)利用线面平行的定义(无 公共点);(2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b? a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); 本 课 (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 时 栏 目 2.证明面面平行的方法:(1)利用面面平行的定义;(2)利用面面 开 平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 关 另一个平面,那么这两个平面平行;(3)垂直于同一条直线的 两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这 两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面 面平行”的相互转化.

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例 4 如图,E、F、G、H 分别是正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点, 求证: (1)GE∥平面 BB1D1D;
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(2)平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明 (1)取 B1D1 中点 O,连接 GO,OB, 1 易证 OG 綊2B1C1, 1 BE 綊2B1C1, ∴OG 綊 BE, 四边形 BEGO 为平行四边形.
∴OB∥GE.

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∵OB?平面 BDD1B1,
GE?平面 BDD1B1,

∴GE∥平面 BDD1B1.
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(2)由正方体性质得 B1D1∥BD,
∵B1D1?平面 BDF,BD?平面 BDF,
∴B1D1∥平面 BDF.连接 HB,D1F, 易证 HBFD1 是平行四边形,得 HD1∥BF.
∵HD1?平面 BDF,BF?平面 BDF,

∴HD1∥平面 BDF.
∵B1D1∩HD1=D1, ∴平面 BDF∥平面 B1D1H.

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跟踪训练 4 如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,CE=CA=2BD,M 是 EA 的 中点, 是 EC 的中点, N 求证: 平面 DMN∥平面 ABC.
证明 ∵M、N 分别是 EA 与 EC 的中点,∴MN∥AC,
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又∵AC?平面 ABC,MN?平面 ABC, ∴MN∥平面 ABC, ∵DB⊥平面 ABC,EC⊥平面 ABC,
∴BD∥EC,四边形 BDEC 为直角梯形,
∵N 为 EC 中点,EC=2BD,∴NC 綊 BD,

∴四边形 BCND 为矩形,∴DN∥BC,
又∵DN?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴DN∥平面 ABC,又∵MN∩DN=N, ∴平面 DMN∥平面 ABC.

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题型五

空间中的垂直关系

1.空间垂直关系的判定方法: (1)判定线线垂直的方法:
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①计算所成的角为 90° (包括平面角和异面直线所成的角); ②线面垂直的性质(若 a⊥α,b?α,则 a⊥b). (2)判定线面垂直的方法: ①线面垂直定义(一般不易验证任意性); ②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?α,b∩c= M?a⊥α);

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③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α?a⊥α); ④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α);
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⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β); ⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ). (3)面面垂直的判定方法: ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为 90° ); ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β).

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例 5 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1= A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同 于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1;
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(2)直线 A1F∥平面 ADE. 证明 (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC, 所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1, CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.
又 AD?平面 ADE,

所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.

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(2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点,

所以 A1F⊥B1C1.
因为 CC1⊥平面 A1B1C1,
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且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以 A1F⊥平面 BCC1B1.
由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1, 所以 A1F∥AD.
又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE,

所以 A1F∥平面 ADE.

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跟踪训练 5 如图,A,B,C,D 为空间四点.在 △ABC 中,AB=2,AC=BC= 2,等边△ADB 以 AB 为轴运动. (1)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求 CD;
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(2)当△ADB 转动时,是否总有 AB⊥CD?证明你的结论.

解 (1)取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为△ADB 是等边三角形,所以 DE⊥AB.
当平面 ADB⊥平面 ABC 时,因为平面 ADB∩平面 ABC=AB,所以 DE⊥平面 ABC,
可知 DE⊥CE,由已知可得 DE= 3,EC=1,
在 Rt△DEC 中,CD= DE2+EC2=2.

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(2)当△ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB⊥CD.
证明如下:①当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC=BC,AD=BD,
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所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB⊥CD.
②当 D 不在平面 ABC 内时,由(1)知 AB⊥DE.

又因 AC=BC, 所以 AB⊥CE.又 DE, 为相交直线, CE 所以 AB⊥ 平面 CDE,由 CD?平面 CDE,得 AB⊥CD. 综上所述,总有 AB⊥CD.

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1.研究空间几何体,需在平面上画出几何体的直观图或三 视图,由几何体的直观图可画它的三视图,由三视图可
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得到其直观图, 同时可以通过作截面把空间几何问题转 化成平面几何问题来解决. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式,我们都是通过展开图、 化空间为平面的方法得到的, 求球的切接问题通常也是 由截面把空间问题转化到平面问题解决.

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3.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为
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