2018-2019版新探究高中数学北师大必修五精练:第三章 不等式 §2-2.2 一元二次不等式的应用

1.不等式(xx-+15)2≥2 的解集是( [A 基础达标] ) A.??-3,21?? B.??-12,3?? C.??12,1??∪(1,3] D.??-12,1??∪(1,3] 解析:选 D.因为(x-1)2>0, x+5 由(x-1)2≥2 可得 x+5≥2(x-1)2 且 x≠1. 所以 2x2-5x-3≤0 且 x≠1, 所以-12≤x≤3 且 x≠1. 所以不等式的解集是??-12,1??∪(1,3]. 2.已知集合 M=???x???xx+ -31 <0??,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}等于( ? ) A.M∩N B.M∪N C.?R(M∩N) D.?R(M∪N) x+3 解析:选 D. <0?(x+3)(x-1)<0,故集合 M 可化为{x|-3<x<1},将集合 M 和集合 N x-1 在数轴上表示出来(如图),易知答案. 3.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的集合是( ) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 解析:选 D.若 a=0 时符合题意,若 a>0 时,相应二次方程中的 Δ=a2-4a≤0,得{a|0<a≤4}, 综上得{a|0≤a≤4},故选 D. 4.设集合 A={x|x2+2x-3>0},B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个整数,则 实数 a 的取值范围是( ) A.??0,34?? B.??34,43?? C.??34,+∞?? D.(1,+∞) 解析:选 B.A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},因为函数 y=f(x)=x2-2ax-1 的对称轴为 x=a>0,f(-3)=6a+8>0,根据对称性可知,要使 A∩B 中恰含有一个整数,则这个整数解为 ? ??4-4a-1≤0, ? 2,所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0,即? 所以 ? ??9-6a-1>0, aa<≥4334,,即34≤a<43. 5.在 R 上定义运算 × :A × B=A(1-B),若不等式(x-a) × (x+a)<1 对任意的实数 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 C.-12<a<32 D.-32<a<12 解析:选 C.(x-a) × (x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,所以-x2+x+a2-a<1,即 x2-x-a2+a+1>0 对 x∈R 恒成立,所以 Δ=1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0,所以(2a-3)(2a +1)<0,即-12<a<32. 6.若 a<0,则不等式xx- +45aa>0 的解集是________. 解析:原不等式可化为(x-4a)(x+5a)>0, 由于 a<0,所以 4a<-5a, 因此原不等式解集为{x|x<4a 或 x>-5a}. 答案:{x|x<4a 或 x>-5a} 7.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,六月份的销售额为 500 万元,七月份的 销售额比六月份增加 x%,八月份的销售额比七月份增加 x%,九、十月份的销售总额与七、 八月份的销售总额相等,若一月份至十月份的销售总额至少为 7 000 万元,则 x 的最小值为 ________. 解析:由题意得七月份的销售额 500(1+x%),八月份的销售额为 500(1+x%)2,所以一月份至 十月份的销售总额为 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,解得 1+x%≤-151(舍 去)或 1+x%≥65,即 x%≥20%,所以 xmin=20. 答案:20 8.若关于 x 的不等式 x2-4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析:设 f(x)=x2-4x=(x-2)2-4, 所以 f(x)在 x∈[0,1]上是递减的, 所以当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值 f(1)=-3. 所以要使 x2-4x≥m 对于任意 x∈[0,1]恒成立, 则需 m≤-3. 答案:(-∞,-3] 9.已知二次函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),若二次方程 ax2-(a+2)x+1=0 在(-2,-1) 上只有一个实数根,解不等式 f(x)>1. 解:因为函数 f(x)是二次函数,所以 a≠0, 因为 Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0, 又二次方程 ax2-(a+2)x+1=0 在(-2,-1)上只有一个实数根,所以 f(-2)f(-1)<0, 而 f(-2)=6a+5,f(-1)=2a+3, 所以(6a+5)(2a+3)<0,所以-32<a<-56. 又 a∈Z,所以 a=-1, 所以不等式 f(x)>1 可化为-x2-x+1>1,解得-1<x<0,所以原不等式的解集为{x|-1<x<0}. 10.一辆汽车总重量为 ω,时速为 v(km/h),设它从刹车到停车行走的距离 L 与 ω,v 之间的 关系式 L=kv2ω (k 是常数).这辆汽车空车以每小时 50 km 行驶时,从刹车到停车行进了 10 m, 求该车载有等于自身重量的货物行驶时,若要求司机在 15 m 距离内停车(包含 15 m),并且司 机从得到刹车指令到实施刹车时间为 1 s,汽车允许的最大时速是多少?(结果精确到 1 km/h) 解:根据已知当 L=10,v=50 时, 10=k·502·ω?kω=2150. 又司机反应时间 1 s 内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为 kv2·2ω+v6×0×1 06000 ×1. 依题意,得 kv2·2ω+v6×0×1 06000×1≤15?1v225+158v≤15?18v2+625v-33 750≤0?0<v≤29(近似 值).

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