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人教版高中数学必修二 2.3 直线与平面垂直的判定 教学设计


《2.3 直线与平面垂直的判定》教学设计
长顺县民族高级中学高一数学组 一、教学内容和内容解析
《直线与平面垂直的判定》 是高中新教材人教 A 版必修 2 第 2 章 2.3.1 的内 容,本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及定理的初步运用。其中,线面 垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质, 它是探究线面垂直判定定理的 基础; 线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化, 它既是 后面学习面面垂直的基础, 又是连接线线垂直和面面垂直的纽带! 学好这部分内 容,对于学生建立空间观念,实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃,是非 常重要的。 直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的,它把原来定义 中要求与任意一条 (无限) 垂直转化为只要与两条 (有限) 相交直线垂直就行了, 概言之,线不在多,相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定 理外, 还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, 那么另一条直线也 垂直于这个平面,这是直线与平面垂直判定的一种间接方法,也是十分重要的。

二、教学重点、难点,以及期望目标和目标解析
根据《课程标准》,线面垂直判定定理的严格证明在本节课中不做要求,这 样降低了难度。 教学重点:操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。 期望目标:理解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理. 目标解析: 1.利用已有知识与生活经验,抽象概括出直线与平面垂直的定义,

培养学生数学抽象和直观想象的数学核心素养; 2.通过概括、辨析与应用,正确理解直线与平面垂直的定义; 3.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与平面垂直的判定定理,培养学生直 观想象的数学核心素养;

4.运用直线与平面垂直的判定定理,证明和直线与平面垂直有关的简单命题, 培养学生逻辑推理的数学核心素养; 5.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力,同时感悟和体 验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转 化为有限”等数学思想.

三、教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观 形象(学生的客观现实)和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理 等数学知识结构(学生的数学现实),这为学生学习直线与平面垂直定义和判定 定理等新知识奠定基础。 学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象 中提炼出直线与平面垂直的定义, 感悟直线与平面垂直的意义; 以及如何从折纸 试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。

四、学习行为分析
本节课安排在立体几何的初始阶段,是学生空间观念形成的关键时期,课 堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义,进而通过辨析讨论,深 化对定义的理解。 进一步, 在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的 定义及判定定理,并在教师的指导下,通过动手操作、观察分析、自主探索等活 动,切身感受直线与平面垂直及定义判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思 想方法。继而,通过课本例 1 的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。 再通过练习与课后小结,使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理 解。

五、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标,教师准备:多媒体课件(以 PowerPoint 为平台)、 三角板、大三角形纸片等教具;学生自备:三角形纸片(任意形状)、笔(表直 线)、课本(表平面)等学具。

六、教学过程设计 (一)抽象概括直线与平面垂直的定义
探究一:直线与平面垂直的定义?

情景创设 1:(播放视频)火箭升空时,火箭与地面的位置关系? 情景创设 2:天安门前的旗杆与地面的位置关系? 情景创设 3: 请列举生活中直线与平面垂直的例子 (学生回答——板书课题) 。 思考:我们怎样定义直线与平面垂直? 问题:(1)如图,在阳光下观察直立于地面的旗杆 AB 及它的影子,旗杆所 在直线与影子所在直线位置关系是什么? (2) 旗杆与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B1C1 的位置关系又是什 么? 【意图】旨在让学生发现 AB 所在直线始终与地面上任意一条过点 B 的直线 垂直,与地面上任意一条不过点 B 的直线也垂直。 注意强调:两条直线垂直有相交垂直和异面垂直两种,从中概括出:一条直线与 一个平面垂直,那么该直线与此平面内的任意一条直线都垂直 . 从而由感性认识上升到理性认识的过程。 定义:(文字语言)如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线 都垂直,我们就说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作: l ? ? . 直线 l 叫做平面 ? 的 垂线,平面 ? 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做 垂足. 符号语言:学生在学案完成; 图形语言:(如图 1) 判断题:对定义的辨析,展示幻灯片。 【意图】使学生明确平面中直线的“任意性”. 通过辨析讨论,深化直线与 平面垂直的概念。 探究二:除定义外,如何判定一条直线与平面垂直? (教师可提问:定义作为线面垂直判定的方法有何不足?) 1.观察猜想: 某公司要安装一根 8 米高的旗杆, 两位工人先从旗杆的顶点挂两条 10 米的绳子, 然后拉紧绳子 的下端放在地面上 (和旗杆的脚不在同一直线上) 。 如果这两点都和旗杆脚的距离为 6 米, 那么表明旗杆就和地面垂直了, 为什么? 思考 1.能不能像判定直线与平面平行那样, 利用直线与平面内的一条直线垂 直来判定直线与平面垂直呢?

思考 2:一条直线不行,那么又能不能像判断平面与平面平行那样,利用直 线与平面内两条直线都垂直来判定直线与平面垂直呢? 【意图】通过利用类比思想,寻找线面垂直的判定方法。也进一步让学生体 会由无限转化为有限、平面化、降维等思想。

(二)动手操作,合作探究直线与平面垂直的判定定理
实验:请你拿出准备好的三角形的纸片,我们一起来做一个试验:如图 2, 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD , 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上, ( BD 、 DC 与桌面接触) (1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使 AD 与桌面所在平面 ? 垂直?
A

B D

C

图2

AD 【意图】 通过折纸活动让学生发现, 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,

所在直线与桌面所在的平面 ? 垂直 问题 5: 在你翻折纸片的过程中, 纸片的形 状发生了变化,这是变的一面,那么不变 的一面是什么呢?(可从线与线的关系考 虑) 如果我们把折痕抽象为直线 l , 把 BD 、
CD 抽象为直线 m,n ,把桌面抽象为平面

(如图 3),那么你认为保证直线 与平面 如果将图 3 中的两条相交直线

垂直的条件是什么? ,

、 的位置改变一下,仍保证 吗?

(如图 4)你认为直线 还垂直于平面

根据上面的试验,结合两条相交直线确定一个平面的事实,你能给出直线与 平面垂直的判定方法吗? 定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则
l

该直线与此平面垂直.(如图 5)
m

P

n

图5

用符号语言表示为: (可让学生叙写判定定理,给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化, 教师注意引导。) (三)知识应用(典型例题) (练习)判断下列命题是否正确?(学生合作完成学案) (1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在 的平面.( )

(2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则这条直线垂直于平行四 边形所在的平面.( )

(3) 若一条直线与一个梯形的两腰垂直 , 则这条直线垂直于梯形所在的平 面.( )
a b

例 1:如图 6,已知 a∥b,a⊥α ,求证:b⊥α . (分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面 垂直的定义证明;并让学生用语言叙述:如果两条平行直
图6

线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面) 【意图】 能分别用判定定理与定义解决问题, 会用证明问题的一般思维策略: 由已知想可知(性质),由未知想需知(判定),合理选择辅助线. 这个例题给 出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题, 这个命题体现了平行关系与垂直关 系之间的联系。 【意图】进一步领会问题解决的一般思维策略,合理选择辅助平面,体会转化思 想在解决问题中的作用. 例 2:如图,在三棱锥 V-ABC 中 ,VA=VC,AB=BC,K 是 AC 的中点。 求证:(1)AC⊥平面 VKB (2) AC⊥VB

思考: (1)在三棱锥 V-ABC 中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC; (2)在⑴中,若 E、F 分别是 AB、BC 的中点,试判断 EF 与平面 VKB 的位置关 系; (3)在⑵的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF, ∴VB⊥平面 ABC”,对吗? 【意图】例 2 重在对直线与平面垂直判定定理的应用.变式(1)在例 2 的基 础上,应用了直线与平面垂直的意义;变式(2)是对例 1 判定方法的应用;变 式(3)的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。3 个小题环环相扣, 汇集了本节课的学习内容,突出了知识间内在联系和融会贯通。

(四)总结反思
(1)通过本节课的学习,在知识方面你学到什么? (2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想? (3)你还有什么收获与感想? 【意图】培养学生反思的习惯,鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括.

(五)目标检测设计
1.课本 P66 探究:如图,直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱

称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A1C⊥B1D1.
A1 D1

B1 C1 A D

B C

2.如图,PA⊥平面 ABC,BC⊥AC,写出图中所有的直角三角形。 3.课本 P67 练习 2

【意图】第 1 题是基础题,巩固复习线面垂直的判定定理;第 2 题本节教材中的 一道探究题, 主要运用直线与平面垂直的意义与判定定理; 第 3 题也是活用直线

与平面垂直的意义与判定定理, 前两题重在检测本节课的知识与技能目标, 检测 运用知识解决问题的能力; 第 3 题通过学生探索, 培养学生观察——分析——归 纳和综合运用知识的能力。 (六)板书设计: 2.3.1 直线与平面垂直的判定

一、直线与平面垂直的定义 1、文字语言: 2、图形语言: 3、符号语言: 二、直线与平面垂直的判定 1、文字语言: 2、图形语言: 3、符号语言: 三、知识运用 例 1: 四、课堂小结:


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