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18版高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质学案北师大版必修1170718285

3.2 指数扩充及其运算性质 1. 理解分数指数幂的概念,会进行分数指数幂与根式的互化.(重点) 2. 了解无理数指数幂的概念,了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方 法.(易混点) 3. 掌握指数的运算性质,能熟练地进行指数的运算.(重难点) [基础·初探] 教材整理 1 分数指数幂 阅读教材 P64~P66 的有关内容,完成下列问题. 1. 定义 给定正实数 a,对于任意给定的正整数 m,n(m,n 互素),存在唯一的正实数 b,使得 m bn=am,把 b 叫作 a 的 次幂,记作 b= n 2. 几个结论 a m n m n ,它就是分数指数幂. (1)正分数指数幂的根式形式: a m = a (a>0). n m (2)负分数指数幂的意义: a ?n 1 = a m n (a>0,m,n∈N+,且 n>1). (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 2 2 3 2 表示 个 2 相乘.( 3 ) (2) a m n = a (a>0,m,n∈N+,且 n>1).( m n ) 1 (3) a? n = m 1 (a>0,m,n∈N+,且 n>1).( ) n am (2)× (3)√ 指数运算的性质 【答案】 (1)× 教材整理 2 阅读教材 P66~P67 的有关内容,完成下列问题. 若 a>0,b>0,对任意实数 m,n 指数运算有以下性质: (1)a ·a =a (2)(a ) = n m n m n m+n ; ; a m? n (3)(ab) =a b ; n n m>n , ?a a ? (4)当 a≠0 时,有 n=?1 m=n , a ? ?a- n-m m<n ; m m-n (5)? ? = n(b≠0). b n ?a?n a ? ? b 0.064 3 +16 ?1 0.75 + 0.25 ?1 2 =________. 【解析】 原式= [(0.4)3] + [(24)] + [(0.5)2] - 1 3 3 4 1 2 ?2?-1 3 1 =? ? +2 + 2 ?5? 5 1 = +8+ =11. 2 2 【答案】 11 [小组合作型] 根式与分数指数幂的互化 将下列根式化成分数指数幂的形式. 3 4 (1) a· a;(2) a a a; 2 3 2 3 2 3 3 (3) a · a ;(4)( a) · ab . 【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子: a m n = a和 n m a m ?n 1 = a m = n 1 进行转化,注意其中字母 a 要使式子有意义. n am 【尝试解答】 (1)原式= a 1 8 1 3 · a 7 8 1 4 = a 7 12 ; (2)原式= a a 1 2 · a 3 2 1 4 · a = a ; (3)原式= 2 3 · 1 3 a 2 = 1 2 a 13 6 ; 3 2 (4)原式=( a )·a ·b =a 7 6 b2 . 关键:解决根式与分数指数幂的相互转 3 根式与分数指数幂互化的关键与技巧: 化问题的关键在于灵活应用 a>0 ,m ,n∈N +,且 n 技巧:当表达式中的根号较多时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂的 形式写出来,然后再利用相关的运算性质进行化简. [再练一题] 1. 用分数指数幂表示下列各式. 3 6 (1) a· -a(a<0); 3 2 (2) ab (3) 4 ab 2 3 (a,b>0); 2 ( b ) 3 (b<0); 3 1 3 (x≠0). (4) x 5 x2 2 3 【解】 (1)原式= = ? (?a) · 1 3 a 1 3 · 1 6 (? a) 1 6 (? a) = ? (?a) 2 (a<0); 1 (2)原式= =( a 5 2 · b 7 2 1 ) = 3 a b 5 6 7 6 (a,b>0); (3)原式= (b<0); (4)原式= . 分数指数幂的运算 计算下列各式. 【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数; (2)将根式化为分数指数幂. 4 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质,并灵活运用.一般地,进行 指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注 意运算顺序问题. [再练一题] 2. 计算或化简. 5 [探究共研型] 条件求值 探究 1 已知 a 1 2 1 2 + a ?1 2 ?1 2 =3,求 a+a 的值. -1 【提示】 ( 探究 2 a + a ) =9,∴a+a =7. 2 -2 2 -1 在探究 1 的条件下,求 a +a 的值. -1 2 2 -2 【提示】 (a+a ) =49,∴a +a =47. 3 9 ×3 已知 a+b=1,求 a 的值. 2 3 【精彩点拨】 应先化成同底数幂的形式. a b 6 解决此类问题的思路步骤如下: [再练一题] 2x- xy 3. 若 x>0,y>0,且 x- xy-2y=0,求 的值. y+2 xy 【导学号:04100042】 【解】 ∵x- xy-2y=0,x>0,y>0, ∴( x) - xy-2( y) =0, ∴( x+ y)( x-2 y)=0, 由 x>0,y>0 得 x+ y>0, ∴ x-2 y=0,∴x=4y, ∴ 2x- xy 8y-2y 6 = = . y+2 xy y+4y 5 2 2 1.