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浙江省杭州第二中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题

则△ AFO 与△ BFO 面积之和的最小值是 A.

2 8

B.

2 4

C.

2 2

D. 2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
1.已知函数

9.德国著 名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f ( x) ? ?

?1, x ? Q 被称为狄利克雷函数,其 ?0, x ? C R Q

中 R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数 f ( x) 有如下四个命题:① f ( f ( x)) ? 0 ;②函数 f ( x) 是偶函数;③任 取 一 个 不 为 零 的 有 理 数 T,

f ( x) ? 1 ? log2 ( x ? 1) 的定义域为 M ,值域为 N ,则 M U (CR N ) =
B. {x | x ? 1} C. ? D. {x | ?1 ? x ? 1}

f ( x ? T ) ? f ( x) 对 任 意 的 x ? R 恒 成 立 ; ④ 存 在 三 个 点

A. {x | x ? 1}

2.为了得到函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象

A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )),C( x3 , f ( x3 )) ,使得 ?ABC 为等边三角形.其中真命题 的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4

5? 5? A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 12 5? 5? C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 12 3.若“ 0 ? x ? 1 ”是“ ( x ? a )[ x ? ( a ? 2)] ? 0 ”的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是 A. [ ?1,0] B. ( ?1,0) C. ( ??,0] [1, ??) D. ( ??, ?1) (0, ??)
4.设 x , y 满足约束条件 ?

10.如图为函数 f ( x ) ?

2x 的部分图象,ABCD 是矩形,A,B 在图像上, x ?1
2

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? x ? y ? ? 1, ?

将此矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 A. ? B. 2? C. 3? D. 4?

A .-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 5.如图,P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点,设 AP 的长度为 x,若△PBD 的面积为 f(x),则 f(x)的图 象大致是
D1 A1 P B1 C1

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

( 11.设 sin

? 1 +?) = ,则 sin 2? ? _____ ______. 4 3
2

12. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) = x ? 3x . 则 函 数 g ( x) ? f ( x)? x + 3的 零 点 的集 合
A D B C



.

6.若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间
2

?1,5? 上有解,则实数 a 的取值范围为
C.(1,+∞) D. (??,?1)

A. ( ?

23 ,?? ) 5

B. [ ?

23 , 1] 5

13.点 A 在单位正方形 OPQR 的边 PQ , QR 上运动, OA 与 RP 的交点为 B ,则 OA ? OB 的最大值为

.

7.已知两点 M (?1, 0) , N (1, 0) ,若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 上存在点 P 满足 PM ? PN ? 0 ,则实数 m 的取值范围是 A. (??, ?5] [5, ??) C. [?25, 25] B. (??, ?25] [25, ??) D. [?5,5]

14.设数列 {an } 是等差数列,前 n 项和为 S n ,{bn } 是单调递增的等比数列,b1 ? 2 是 a1 与 a2 的等差中项, a3 ? 5 ,

b3 ? a4 ? 1 ,若当 n ? m 时, S n ? bn 恒成立,则 m 的最小值为

.

8.已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,
2

[来源:学|科|网]

15.已知 ?ABC 的三边长 a , b, c 成等差数列,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 则实数 b 的取值范围是

.

16.关于 x 的不等式 | sin x | ? 3 | cos x |? 3 的解集为

.

? 1 ? 1, (sin x ? ) ? ? 6 2 17.设 f ( x) ? ? , g ( x) ?| x | ? | 6 ? x | ,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若关于 a 的方程 ?sin ? x, (sin ? x ? 1 ) ? 6 2 ? 6
F (a 2 ? a ? 1) ? F (2a ? m) 有且仅有四个不等实根,则 m 的取值范围为
.
[来源:Z。xx。k.Com]

21.(本小题满分 1 4 分)

椭圆 C:

(a>b>0)的离心率为

,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P 点斜率为

的直线 l 交 C 于

A、B 两点.当 m=0 时, 三、解答题 18.(本题满分 14 分) (1 )求 C 的方程; (2)证明: 为定值.

.

设函数 与函数 (1)求 的值; 图像相邻两交点的距离为 .

直线

(2)若



上的最大值为

,最小值为 1,求

的值.

22.(本小题满分 15 分)

19.(本小题满分 15 分) 设函数 (1)若方程 在 , .

已知函数 (1)若 (2)当

, ,试判断并用定义证明函数 时,求函数

, 的单调性; ;

上有 根,求 的取值范围;

的最大 值的表达式

(3)是否存在实数 ,使得 (2)设 ,若对任意的 ,都有 ,求 的取值范围. 存在,说明理由.

有且仅有 3 个不等实根,且它们成等差数列,若存在,求出所有 的值,若不

20.(本小题满分 14 分) 如图,已知 平面 , 平面 , 为等边三角形, , 为 的中点.
[来源:学&科&网]

(1) 求证:平面 (2) 求二面角

平面 ; 的余弦值.

2014 学年杭州二中高三年级第一次月考数学试卷(理科答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 答案 题号 答案 (1) B (6) A (2) D (7) D (3) A (8) B (4) B (9) C (5) A (10) A

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)

f ( x) ? sin(2?x ?
解:(1)

?
6

) ? 2 cos2 ?x ? 1 ?

3 1 sin 2?x ? cos 2?x ? cos 2?x 2 2

?

3 3 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 3 sin(2?x ? ) 2 2 3

由题意, T ? ? ,故 ? ? 1 . (2)当 x ? [0,

?
2

] , 2x ?

?
3

? [?

? 2?
3 ,

3 ] ,于是 f ( x) ? [? , 3 ] 3 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. (11)

?

7 9

(12)

_____ { ? 2 ? 7 , 1, 3} ___

? 3 ? a ?b ?1 ? 5 ? 2 当 a ? 0 时, ? ,得到 a ? 1, b ? ; 2 ? 3a ? b ? 3 ? 5 ? 2 ?

(13)

1

(14)

4

___

(15)

(

14 3 , ] 7 3

(16)

(k? ?

?
3

, k? ?

2? ), k ? Z 3

5 ? 3 ?? a ? b ? 3 ? 当 a ? 0 时, ? 2 2 ,得到 a ? ?1, b ? 3 ? 1 ; ? 3a ? b ? 1 ?
所以 a ? b ?

3或

7 . 2 1 2

(17)

? 5 ? m ? ?3

19. (本小题满分 15 分) 解(1) f ( x) ? 3x 等价于 x 2 ? 2x ? 1 ? ?2a ? (?2,?1) ,故 a ? ( ,1) .

2 17.解: F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 关于 x ? 3 对称,且在 1 ? x ? 5 上为定值,故方程 F (a ? a ? 1) ? F (2a ? m) 等价于

(2)首先 ? 4

x?a

? 1 ? 0 在 (0,2) 上恒成立,即 ? 4 2? a ? 1 ? 0 ,故 a ? ?2 ;

?1 ? a 2 ? a ? 1 ? 5 a 2 ? a ? 1 ? 2a ? m 或 a 2 ? a ? 1 ? 2a ? m ? 6 或 ? ?1 ? 2a ? m ? 5
?1 ? a ? 2或 - 3 ? a ? -2 ?1 ? a 2 ? a ? 1 ? 5 ? 对于 ? ,解得 ? m ? 1 ,若解集是一个区间,则不符题意;若解集为离散的点,则 m?5 ?a? ?1 ? 2a ? m ? 5 ? 2 ? 2
2 2 满足 a ? a ? 1 ? 1或5 ,且 2a ? m ? 1或5 ,这含在前两种情况中.于是只需令 a ? a ? 1 ? 2a ? m ,

其次, f ( x) ? [ ? 2a,5 ? 2a ) , g ( x) ? (log2 (1 ? 4 2?a ), log2 (1 ? 4 a )) , , 于是 log2 (1 ? 4 ) ? 6 ? 2a ,于是 ? log4 65 ? a ? ?2
a

3 4

20. (本小题满分 14 分) 解法一: (1)设 CE 中点为 M,连 BM,MF 则 BM ? CE , 由 MF //BA 可知 MB //FA ∵ DE ? 平面 ACD ∴ DE ? AF 即 DE ? BM ∴ BM ? 平面CDE ,又∵ BM ? 平面BCE ,∴平面 BCE ? 平面 CDE (2)过 M 作 MD⊥EF 于 P,∵ BM ? 平面CDE ∴BD⊥EF ?BPM 即是二面角 B ? EF ? D 的平面角的补角 1 5 ∵ BM ? 3 , MP ? ∴ cos ?BPM ? . 4 5 1 即二面角 B ? EF ? D 的余弦值为 ? . 4 解 法 二 : 设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a , 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 则 A ? 0, 0, 0 ? ,C ? 2a, 0, 0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a .

E B

?1 ? a 2 ? a ? 1 ? 5 a ? a ? 1 ? 2a ? m ? 6 各有两根,且 ? 交集为空. ?1 ? 2a ? m ? 5
2

A

[ 来源:Z_xx_k.Com]

5 37 ? 1 ? 1 ? 4(m ? 1) ? 0 ? m ? , ? 2 ? 9 ? 4(m ? 7) ? 0 ? m ? ? , 4 4

C

F

D

?1 ? a ? 2或 - 3 ? a ? -2 ? 又 ?m ?1 为空集,得到 m ? ?11或 ? 5 ? m ? ?3或m ? 3 ,从而 ? 5 ? m ? ?3 . m?5 ? a ? ? 2 ? 2
2 2 当 a ? a ? 1 ? 2a ? m , a ? a ? 1 ? 2a ? m ? 6 的根相等时,得到 m ? 17 ? 4 ?[?5,?3] .

E B M A

A ? xyz ,

?

? ?

?

θ P

C

F

D

? ? ∵ F 为 CD 的中点,∴ F ? 3 a, 3 a, 0 ? . ?2 ? 2 ? ? ? ? (1) 证明: ∵ AF ? ? 3 a, 3 a, 0 ? , CD ? ?a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? , ?2 ? 2 ? ?

故当 a ? 1 时,f(x)在[1,4]上单调递增.

?

?

∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ,∴ AF ? CD, AF ? ED . ∴ AF ? 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ? 平面 CDE . (2) 解: 设平面 BEF 的法向量 n1 ? ( x, y,1) , 由 n1 ? BE ? 0 , n1 ? BF ? 0
x ? 3 y ? 1 ? 0 , x3 ? y3 ? 2 ? 0 3 5 n1 ? ( , ? 3,1) 同理可求得平面 DEF 的法向量 2 6 3 3 n2 ? (? , ? ,0) 2 2 n ?n 1 1 cos? ? 1 2 ? ? ,二面角 B ? EF ? D 的余弦值为 ? . 4 4 | n1 | ? | n2 |

4 , M (a) ? f (4) ? 3 x 4 ? 2a ? x ? , x ? [1, a ] ? ? x 当 1 ? a ? 4 时, f ( x ) ? ? , ? x ? 4 , x ? ( a , 4] ? x ?
(2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 可 得 : (i)当 x ? [1, a] 时,若 1 ? a ? 2 , M ( a ) ? f ( a ) ? a ? (ii)当 x ? [a,4] 时, M (a) ? f (4) ? 3 故当 1 ? a ?

4 ;若 2 ? a ? 4 , M (a) ? f (2) ? 2a ? 4 a

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为离心率为

a2 x2 y 2 3 b 4 4 2 ,所以 ? ,当 m=0 时, l 的方程为 y ? x ,代入 2 ? 2 ? 1 中,整理得到 x ? , 5 a 5 5 2 a b

设 A( x0 , y0 ) ,则 B(? x0 ,? y0 ) ,于是 PA ? PB ? ?

x2 y2 41 2 2 ? ? 1. ,所以 a ? 25 , b ? 16 .椭圆方程为 2 25 16

[来源:学|科|网]

( 2 ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , l 的 方 程 为 x ?

x2 y2 5 y?m , 代 入 ? ?1 并 整 理 得 到 4 25 16

25y 2 ? 20my ? 8(m 2 ? 25) ? 0 . y1 ? y 2 ? ?
2 2 2 则 | PA | ? ( x1 ? m) ? y1 ?

4m 8(m 2 ? 25) , y1 y 2 ? . 5 25

41 2 41 2 y2 y1 ,同理 | PB | 2 ? 16 16

41 2 41 2 ( y1 ? y 2 ) ? [( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ] 16 16 则 , 2 41 4m 2 16(m ? 25) ? [(? ) ? ] ? 41 16 5 25 | PA | 2 ? | PB | 2 ?
所以 | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

7 4 7 ,由 a ? ? 3 , 2a ? 4 ? 3 , M (a) ? 3 ,当 ? a ? 4 时, M (a) ? 2a ? 4 2 a 2 4 当 a ? 4 时, f ( x ) ? 2a ? x ? , M (a) ? f (2) ? 2a ? 4 x 7 ? 3 , a ? ? ? 2 综上: M ( a ) ? ? . ?2a ? 4, a ? 7 ? 2 ? 4 ? 2a ? x ? , x ? (??, a], x ? 0 ? ? x (3) f ( x) ? ? , 4 ? x ? , x ? (a,??) ? x ? 4 4 7 当 ? 1 ? a ? 4 时, x ? ? 3 有一根为 4, 2a ? x ? ? 3 在 (??, a], x ? 0 上必有两根 x1 ? x 2 ,得到 ? a ? 4 或 x x 2 1 3 3 ? 1 ? a ? ? ,于是 x1 ? x2 ? x4 ? 4 ,于是 2 x2 ? 4 ? x1 ,解得 a ? 1 ? 3 ,因为 a ? 1 ? 3 ? ?1 舍去; 2 2 2 4 4 当 a ? ?1 时, x ? ? 3 有两根为-1 和 4,故令 2a ? x ? ? 3 在 ( ??, a ] 上有且仅有一根 x1 ,得到 a ? ?1 , x x 11 于是 x1 ? x2 ? ?1 ? x3 ? 4 ,于是 ? 2 ? 4 ? x1 ,得到 a ? ? . 6 11 3 3 或? . 综上: a ? 1 ? 6 2

22. (本小题满分 15 分) 解: (1)当 a ? 1 时,在[1,4]上单调递增; 证明:当 a ? 1 时, x ? [1,4] , f ( x) ? x ? 任取 x1 , x2 ? [1,4] ,且 x1 ? x 2 ,则

4 x

4 4 4 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) x1 x2 x1 x2 4 因为 x1 ? x 2 , x1 , x2 ? [1,4] ,故 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x1 x 2 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?