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吉林省东北师范大学附属中学2015_2016学年高中数学1.2第06课时任意角的三角函数(2)教案理新人教A版必修4

任意角的三角函数(2) 课时:06 课型:新授课 教学目的: 1.理解三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.会利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程: 一、复习引入: 1.三角函数的定义及定义域、值域: 练习 1:已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ? 2m ,求 cos ? ,sin ? 的值。 4 2 解:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 ,得 r ? 3 ? m , 从而 sin ? ? 2m m m 2 ,解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m ? m ? ? 5 . ? ? 2 4 r 3? m 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , x y cos ? ? ? ?1, tan ? ? ? 0 ; r x 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? x 6 y 15 ; ?? , tan ? ? ? ? r 4 x 3 当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , x 6 y 15 . ?? , tan ? ? ? r 4 x 3 cos ? ? 2.三角函数的符号: 练习 2:已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , (1)求角 ? 的集合; (2)求角 号。 3.诱导公式: 练习 3:求下列三角函数的值: (1) cos ? 2 终边所在的象限; (3)试判断 tan ? 2 ,sin ? 2 cos ? 2 的符 11? 9? ), , (2) tan( ? 4 6 (3) sin 9? . 2 二、讲解新课: 2 2 当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足 x ? y ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切 值的几何表示——三角函数线。 1.单位圆:圆心在圆点 O ,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 3.三角函数线的定义: 1 P 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 ( x, y ) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终 边或其反向延长线交与点 T . y P M y P T A o A T x o M x (Ⅱ) (Ⅰ) y T A y M A M o x o x P (Ⅲ) P T (Ⅳ) 由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有 y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin ? ? 说明: ①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦 线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单 位圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向 垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向 的为负值。 ④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1) ? 3 ; (2) 5? 2? ; (3) ? ; 6 3 ( 4) ? 13? . 6 解:图略。 例 2.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2 1? sin 2? 4? 与 sin 3 5 2? tan 2? 4? 与 tan 3 5 3? cot 2? 4? 与 cot 3 5 解: 如图可知: sin 2? 4? ? sin 3 5 S2 P2 S1 B P1 o A T2 T1 M2 M1 tan S1 2? 4? ? tan 3 5 2? 4? ? cot 3 5 cot 例 3.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? sin?≥ 解: 1? P2 o 30?≤?≤150? y P1 x 210? 30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? o 1 2 2? tan? ? 3 3 2? y 30? T A x 例 4.利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。 (1) sin x ? ? 1 ; 2 (2) cos x ? 1 ; 2 (3) 0 ? x ? ? ,sin x ? (4) | cos x |? 答案: (1) 1 1 且 cos x ? ; 2 2 (5) sin x ? ? ? 7? 11? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; (2) ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6 ? 5? ? ? ? ? ,k ?Z ; (3) ? x ? (4) ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z ; 3 6 6 2 6 2 ? 3? ? 2k? , k ? Z . (5) ? 2k? ? x ? 2 4 1 ; 2 1 且 tan x ? ?1 . 2 3 三、巩固与练习 四、小结

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