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【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第二次月考数学(文)试题


湖南师大附中 2016 届高三月考试卷(二) 数学(文科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1、设集合 A.

? ? y y ? 2x , x ? 1
B.

?

? , ? ? ?x y ? ln ?1 ? x ? , y ? R? ,则 ? ? ? ? (
C.



? 0,1?
2

? ??,1?

? 0, 2 ?


D.

? ??,2?

2、若 2i ? ai ? b ? 3i ,其中 a , b ? R , i 为虚数单位,则 a ? b ? ( A. ? 2 3、设命题 B. ?1 C. 0

D. 1

p : ?x ? R , x2 ? 4 x ? 2m ? 0 (其中 m 为常数),则“ m ? 1 ”是“命题 p 为真命题”
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

的( ) A.充分不必要条件 C.充分且必要条件 4、 给出如下四个命题: ①若

x y ? y z x? y?z, 则

2 2 x ? y; c?d, ; ②若 a x ? b y , 则 ③若 a ? b ,

a b 1 1 ? ? ?0 2 abcd ? 0 ,则 c d ;④若 a b ,则 ab ?b .其中正确
命题的个数是( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

5、执行如图所示的程序框图,计算机输出的所有点 下列哪个函数的图象上( A. y ? x ? 1 C. y ? 2
x ?1

? x, y ? 都在

) B. y ? 2 x D. y ? 2
x

6、 设不等式组

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

所表示的平面区域为 ? , 若函数

y ? k ? x ?1? ?1

的图象经过区域 ? ,

则实数 k 的取值范围是(



A.

?3,5?
a?

B.

??1,1?
c ? ln

C.

??1,3?


? 1 ? ? ? ,1? D. ? 2 ?

7、设

? 2?

1.4

,b ? 3 ,

3 2

3 2 ,则 a , b , c 的大小关系是(

1

A. a ? b ? c 8、已知函数

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b ( ??0 ,? ?0 ,

D. b ? a ? c

f ? x ? ? ? sin ??x ? ? ?

? ?

? 2 )在一个周期内的图象如图所示,则
1 B. 2
C. ?1

?? ? f ? ?? ?4? (
1 D. 2 ?



A. 1

?0 ? x ? 1 ? 0 ? y ? 1 表示的平面区域为 D ,在 D 内任取 9、设不等式组 ?

一点

? ? x, y ?
A.

1 2 x ? y ? b ,若满足 的概率大于 4 ,则实数 b 的取值范围是(
B.

) D.

? 0,1?

? 0, 2 ?

C.

?1, ???
?

? 2, ???

10、一艘海轮从 ? 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50 方向直线航行, 30 分钟后达到 ? 处.在 C 处有一座灯塔,海轮在 ? 处观察灯塔,其方向是东偏南 20 ,在 ? 处观察灯塔,其方向是
?

北偏东 65 ,那么 ? 、 C 两点间的距离是(
?

) C. 20 2 海里 D. 20 3 海里

A. 10 2 海里

B. 10 3 海里

x2 y 2 ? 2 ?1 2 ?F ? 3 ?F2 F F 若椭圆上存在点 ? , b 11、 设椭圆 a (a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 1 、 2 , 使 1 ,
则椭圆的离心率的取值范围是( )

? 1? ? 0, ? A. ? 3 ?
x

? 1? ? 0, ? B. ? 2 ?

?1 ? ? ,1? C. ? 3 ?

?1 ? ? ,1? D. ? 2 ?

12、如果函数 y ? e ( e 为自然对数的底数)的图象与直线 围是( A. ) B.

y ? x ? a 有公共点,则实数 a 的取值范

? ??, ?e?

? ??, ?1?

C.

? ??,0?

D.

? ??,1?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则此三 棱柱的表面积等于 .

14



已 知

?? 3 ? cos ? ? ? ? ? 2? 5 ?



?? ? ? ? ? ,? ? ?2 ?





2

?? ? tan ? ? ? ? ? 4? ?



15、 在平面几何里, 已知直角 ?S?? 的两边 S ? ,S ? 互相垂直,

且 S? ? a , S? ? b ,则 ?? 边上的高

h?

ab a 2 ? b2 ;拓展到

空间,如图,三棱锥 S ? ?? C 的三条侧棱 S ? 、 S ? 、 SC 两两 互相垂直,且 S? ? a ,S? ? b ,SC ? c ,则点 S 到面 ?? C 的 距离 h? ? .

16、在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 所对的边.

?1? 若 a , b , c 成等差数列,则

sin ? ? sin C ? sin ? ? ? C ?

; .

? 2 ? 若 a , b , c 成等比数列,则角 ? 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、(本小题满分 12 分)某中学刚搬迁到新校区,学校考虑,若非住校生上学路上单程所需时间人 均超过 20 分钟,则学校推迟 5 分钟上课.为此,校方随机抽取 100 个非住校生,调查其上学路上单 程所需时间(单位:分钟),根据所得数据绘制成如右频率分布直方图,其中时间分组为

?0,10? ,

?10,20? , ?20,30? , ?30,40? , ?40,50? .
?1? 求频率分布直方图中 a 的值;
? 2 ? 从统计学的角度说明学校是否需要推迟 5 分钟上课; ? 3? 若从样本单程所需时间不小于 30 分钟的学生中,
机抽取 2 人,求恰有一个学生的单程所需时间落在 随

?40,50? 上的概率.

3

18、 (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 ? ? ??CD 的底面是边长为 1 的正方形,?D ? 底面 ?? CD ,

?D ? ?D , ? 为 ? C 的中点, F 为 ?? 上一点,且 ?F ? ?? .

?1? 证明: ?? ? 平面 ?FD ;
? 2 ? 求三棱锥 ? ? ?DF 的体积.

2 2Sn an ? a ? 1, S a ?a ? 2Sn ? 1( n ? 2 ) 19、 (本小题满分 12 分) 数列 n 的首项 1 前 n 项和 n 与 n 之间满足 .

?1? ? ? ?1? 求证:数列 ? Sn ? 是等差数列;

? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式;

? 3? 设存在正数 k ,使 ?1 ? S1 ??1 ? S2 ? ??? ?1 ? Sn ? ? k
值.

2n ? 1

对于一切 n ? ? 都成立,求 k 的最大

?

x2 y 2 ? ?1 C : 2 b2 20、(本小题满分 12 分)设 ? , ? 分别为双曲线 1 a ( a ? 0 , b ? 0 )的左,右顶点,
双曲线的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的距离为 1 .

4

?1? 求双曲线 C1 的方程;
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 已知椭圆 C2 : m2 n2 ( m ? n ? 0 )的焦点与双曲线 C1 : a 2 ? b2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )
1 C 的左右顶点重合, 且离心率为 2 . 直线 l : y ? kx ? 4 交椭圆 2 于 ? 、? 两个不同的点, 若原点 ? 在
以线段 ?? 为直径的圆的外部,求 k 的取值范围.

21、(本小题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? e x ? e? x



g ? x ? ? 2x ? ax3

, a 为实常数.

?1? 求 g ? x ? 的单调区间;
? 2 ? 当 a ? ?1 时,证明: ?x0 ??0,1? ,使得 y ? f ? x? 和 y ? g ? x? 的图象在 x ? x0 处的切线互相平
行.

22、(本小题满分 10 分)在直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐

C 标系.已知曲线 1 的极坐标方程为

?2 ?

3 4 ?? 2 1 ? 2 cos ? ,直线 l 的极坐标方程为 sin ? ? cos ? .

?1? 写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程;
? 2 ? 设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 的距离的最小值.

5

湖南师大附中 2016 届高三月考试卷(二) 数学(文科)参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 题 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 号 0 1 2 答 A D B B D D D A C A D B 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)

abc
13、 6 ? 2 3 14、 ?7 15、

a b ?b c ?c a
2 2 2 2 2

2

16、 2

? ?? ? 0, ? ? 3?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、

18、

6

19、

20、

7

21、

8

22、

9


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