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广东省潮州市2012-2013学年第一学期期末质量检测高三文科数学试卷


潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测 高三文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页. 第Ⅱ卷 3 至 4 页. 全 卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.答第Ⅱ卷时,必须答题卡上作答.在试题卷上作答无效. 参考公式: 棱柱的体积公式 V ? Sh ,其中 S 、 h 分别表示棱柱的底面积、高. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选 项符合题目要求. 1. 1 ? 2i ?
i

A. ? 2 ? i

B. ? 2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

2.集合 A ? [ 0 , 4] , B ? { x | x2 ? 4x ? 0} ,则 A ? B ? A. R B. { x | x ? 0} C. {0} D. ?

3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2

A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4 4.不等式 x ? 1 ? 0 成立的充分不必要条件是 A. ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 B. 0 ? x ? 1 C. x ? 1 D. x ? 2 5.对于平面 ? 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是真命题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 6.平面四边形 ABCD 中 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,则四边形 ABCD 是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 1 7.等比数列 { an } 中 a1 ? 512 ,公比 q ? ? ,记 ?n ? a1 ? a 2??? an (即 ? n 表示 2 数列 { an } 的前 n 项之积) ?8 , ?9 , ?10 , ? 11 中值为正数的个数是 , A. B. 2 C. 3 D. 4

1/8

8.右图给出计算

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的 2 4 6 20 一个程序框图,其中判断框内应填入的条件 A. i ? 10 B. i ? 10 ? C. i ? 9? D. i ? 9

开始

S ? 0, n ? 2, i ? 1
是 否

9.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23 ,样本 中心点为 ( 4 , 5) ,若解释变量的值为 10 ,则 预报变量的值约为 A. 16.3 B. 17.3 C. 12.38 D. 2.03
S?S? 1 n

输出 S 结束

n ? n?2

10.定义域 R 的奇函数 f ( x) ,当 x ? ( ? ? , 0 ) 时 i ? i ?1 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,若 a ? 3 f (3) , 题8图 b ? f ( ) , c ? ?2 f ( ? 2) ,则 1 A. a ? c ? b B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? b ? c 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本题共 4 小题,满分共 20 分,把答案填在答题卷相应的位置上. 11. 某校有 4000 名学生, 各年级男、 女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手, 0.2 ,则高二的学生人数为______. 抽到高一男生的概率是 高一 高二 高三 y 600 650 女生 x z 750 男生
?x ? y ?1 ? 0 ? 12.如果实数 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2x ? y 的最大值为______. ?x ? y ?1 ? 0 ?

13.若一个正三棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的体积为_______. 14.在 ?ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边分别是

2 主视图
2 3

a 、 b 、 c ,若 2b cos A ? c cos A+a cos C ,
则 cos A ? ________.
俯视图

左视图

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数. (1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合;
2/8

(2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ?

?
4

) 的值.

16. (本题满分 12 分)设事件 A 表示“关于 x 的方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实数根” . (1)若 a 、 b ?{1 , 2 , 3} ,求事件 A 发生的概率 P ( A) ; (2)若 a 、 b ?[1, 3] ,求事件 A 发生的概率 P ( A) . 17. (本小题满分 14 分)
???? ???? ? ??? ? 已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | .

(1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上是否存在点 Q ,使得 ?MNQ 的面积 S ?MNQ ? 存在,说明理由. 18.(本小题满分 14 分)已知梯形 ABCD 中 AD // BC , ?ABC ? ?BAD ?
3 ?若存在,求点 Q 的坐标,若不 2

?
2



AB ? BC ? 2 AD ? 4 , E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF // BC , AE ? x .

沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点. (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D ? BCF 的体积 f ( x) 的函数式.

19. (本题满分 14 分)
n2 1 5 ,若 a1 ? , a2 ? . 2 6 an ? b (1)求数列 { an } 的前 n 项和 Sn ; (2)求数列 { an } 的通项公式; a (3)设 bn ? 2 n ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn . n ? n ?1

数列 { an } 的前 n 项和 Sn ?

20. (本题满分 14 分)二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (1) ? 0 ,且最小值是 ? . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)实数 a ? 0 ,函数 g ( x) ? xf ( x) ? ( a ? 1) x2 ? a2 x ,若 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2)

1 4

3/8

上单调递减,求实数 a 的取值范围.

答案及评分标准:
1 1 ~ 10 :CCDDC;BBBCA;11. 1200 ;12. ;13. 8 3 ;14. . 2
2 1. 1 ? 2i ? ?i ? 2i ? 2 ? i .

i

i

2. A ? [ 0 , 4] , B ? [ ? 4 , 0] ,所以 A ? B ? {0} .
x2 y 2 ? 1 的右焦点为 ( 2 , 0) ,所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为 ( 2 , 0) ,则 p ? 4 . 3.双曲线 ? 2 2

4.由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ,显然 x ? 2 ? x ? 1 ; x ? 1 ? x ? 2 . ? 5.考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断. ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ???? ? 6.由 AB ? CD ? 0 ,得 AB ? ?CD ? DC ,故平面四边形 ABCD 是平行四边形,

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? 又 ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,故 DB ? AC ? 0 ,所以 DB ? AC ,即对角线互相垂直.
7.等比数列 { an } 中 a1 ? 0 ,公比 q ? 0 ,故奇数项为正数,偶数项为负数. ∴ ?11 ? 0 , ?10 ? 0 , ?9 ? 0 , ?8 ? 0 . 8.考查循环结构终止执行循环体的条件. 9.由样本中心点为 ( 4 , 5) 在回归直线上,得回归方程是 ? ? 1.23x ? 0.08 . y 将 x ? 10 代入,可以得到预报变量的值约为 12.38 . 10.设 g ( x) ? xf ( x) ,依题意得 g ( x) 是偶函数,当 x ? ( ? ? , 0 ) 时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 ,即 g '( x ) ? 0 恒 成立,故 g ( x) 在 x ? ( ? ? , 0 ) 单调递减,则 g ( x) 在 ( 0 , ? ? ) 上 递增, a ? 3 f (3) ? g (3) , b ? f (1 ? g (1) , )
c ? ?2 f ( ? 2) ? g ( ? 2) ? g ( 2) ,故 a ? c ? b .

11.依表知 x ? y ? z ? 4000 ? 2000 ? 2000 , 故高二的学生人数为 y ? z ? 1200 .

x ? 0.2 ,于是 x ? 800 , 4000

12.作出可行域及直线: 2 x ? y ? 0 ,平移直线至可行域的点 ( 0 , ? 1) 时
2x ? y 取得最大值.

4/8

13.由左视图知正三棱柱的高 h ? 2 ,设正三棱柱的底面边长 a ,则

3a ?2 3, 2

1 故 a ? 4 ,底面积 S ? ? 4 ? 2 3 ? 4 3 ,故 V ? Sh ? 4 3 ? 2 ? 8 3 . 2

14




2

2b
sB i

c ? s c? o A

cA o . a s
i

得 Cc2 o sBs i
n ( )

n? c A

o Cs?

As

i

n, C

故 o c A s

n ? c ? A. C s A o s

又在 ?ABC 中 sin( A ? C ) ? sin B ? 0 ,故 cos A ?

1 . 2

15.解: (1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,故 f '( x) ? cos x ? sin x . ∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? (sin x ? cos x )( cos x ? sin x )
? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x .

?? 2 分

??? 5 分

∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ,即 x ? ?

?
2

? k? ( k ? Z ) 时, g ( x) 取得最小

? k? , k ? Z } . 2 评分说明:学生没有写成集合的形式的扣分.

值 ?1 ,相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

?

??? 7 分

(2)由 f ( x) ? 2 f ?( x) ,得 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x ,
1 ∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ? , 3 1 ? 1? tan x ? tan ? 3 ? 2. 4 ? ∴ tan( x ? ) ? ? 1 4 1 ? tan x tan 1? 4 3

??? 10 分

??? 12 分

16.解: (1)由关于 x 的方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实数根,得 ? ? 0 . ∴ 4a 2 ? 4b2 ? 0 ,故 a 2 ? b 2 ,当 a ? 0 , b ? 0 时,得 a ? b .?? 2 分 若 a 、 b ?{1 , 2 , 3} ,则总的基本事件数(即有序实数对 ( a , b ) 的个数) 为 3 ? 3 ? 9 .事件 A 包含的基本事件为: (1,1) , ( 2 , 1) , ( 2 , 2) , (3 ,1) , (3 , 2) , (3 , 3) ,共 有 6 个. ∴事件 A 发生的概率 P ( A) ?
6 2 ? ; 9 3

???? 7 分

5/8

(2)若 a 、 b ?[1, 3] ,则总的基本事件所构成的区域
? ? {( a , b ) |1 ? a ? 3 ,1 ? b ? 3} ,是平面直角坐标系 aOb 中

b

3

E

D

的一个
1 B 1 3 C a

正 方 形 ( 如 右 图 的 四 边 形 BCDE ), 其 面 积
S? ? (3 ?1)2 ? 4 .

???? 9 分

O

事件 A 构成的区域是 A ? {( a , b ) |1 ? a ? 3 ,1 ? b ? 3 , a ? b } ,是平面直角坐标系 aOb 中的一个 等腰直角三角形(如右图的阴影部分) , 1 其面积 S A ? ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 . 2 故事件 A 发生的概率 P( A) ?
SA 2 1 ? ? . ?? S? 4 2
b

3

E

D

1 O 1

B 3

C a

12 分

17. (1) 解: 设动点 P( x , y ) , 又点 M ( 4 , 0) 、N (1, 0) ,
???? ???? ? ??? ? ∴ MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0) , NP ? ( x ?1, y ) .

??? 3 分 ??? 4 分
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

???? ???? ? ??? ? 由 MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) 2 ? ( ? y ) 2 ,

∴ ( x2 ? 8x ? 16) ? 4( x2 ? 2x ? 1) ? 4 y2 ,故 3x2 ? 4 y 2 ? 12 ,即 ∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1, 0) 、长轴长 2a ? 4 的椭圆;

??? 7 分

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣分. 3 (2)设曲线 C 上存在点 Q( x0 , y0 ) 满足题意,则 S ?MNQ ? . ??? 9 分 2 1 3 ∴ | MN | ? | y0 | ? ,又 | MN | ? 3 ,故 | y0 | ? 1. ??? 11 分 2 2 又
x0 2 y0 2 y2 1 8 ? ? 1 ,故 x0 2 ? 4(1 ? 0 ) ? 4(1 ? ) ? . 4 3 3 3 3

??? 12 分

∴ x0 ? ?

8 2 6 ?? . 3 3

??? 13 分

6/8

∴曲线 C 上存在点 Q( ?

3 2 6 , ? 1) 使得 ?MNQ 的面积 S ?MNQ ? .?? 14 分 2 3

18. (1)证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH , ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF ,

?? 2分

∴ DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH . ?? 4分 ∵ EH ? AD ?
1 BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? . 2

∴四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH .

???? 6分

又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH ? DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH . 又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD . ???? 8分

(2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF ,故 AE // GH ,??10分 ∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三 棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x . ????11分 1 1 又 S?BCF ? BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . ???? 12分 2 2 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x 3 3 3 3 3 ???? 14分 1 1 1 4 4 4 ? ;由 S 2 ? a1 ? a2 ? ,得 ? . 19.解: (1)由 S1 ? a1 ? ,得 2 a?b 2 3 2a ? b 3 2 ?a ? b ? 2 ?a ? 1 n ∴? ,解得 ? ,故 Sn ? ; ???? 4 分 n ?1 ?2a ? b ? 3 ?b ? 1

n2 ( n ? 1)2 n3 ? ( n ? 1)2 (n ? 1) n2 ? n ? 1 .?? 7 分 ? ? ? 2 n ?1 n n(n ? 1) n ?n n2 ? n ? 1 1 由于 a1 ? 也适合 an ? 2 . ??? 8 分 2 n ?n n2 ? n ? 1 ∴ an ? 2 ; ??? 9 分 n ?n a 1 1 1 (3) bn ? 2 n . ??? 10 分 ? ? ? n ? n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ∴数列 { bn } 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ?1 1 n ? 1? ? . ??? 14 分 n ?1 n ?1
(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 20.解: (1)由二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (1) ? 0 .设 f ( x) ? ax( x ? 1) ( a ? 0) , 则 f ( x) ? ax2 ? ax ? a( x ? )2 ? .
7/8

1 2

a 4

又 f ( x) 的最小值是 ? ,故 ∴ f ( x) ? x 2 ? x ;

1 4

?a 1 ? ? .解得 a ? 1 . 4 4

?? 4 分

(2) g ( x) ? xf ( x) ? ( a ?1) x2 ? a2 x ? x3 ? x2 ? ax2 ? x2 ? a2 x ? x3 ? ax2 ? a2 x . ∴ g '( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? (3x ? a )( x ? a ) . 由 g '( x) ? 0 ,得 x ? ???? 6 分

a a ,或 x ? ?a ,又 a ? 0 ,故 ? ? a .???? 7 分 3 3 a a 当 ? ? a ,即 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 ? a ? x ? . ???? 8 分 3 3 a ∴ g ( x) 的减区间是 ( ? a , ) ,又 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2) 上单调递减, 3

??a ? ?3 ?a ? 3 ? ∴ ?a ,解得 ? ,故 a ? 6 (满足 a ? 0 ) ; ?a ? 6 ?3 ? 2 ?

??? 10 分

a a ? ? a ,即 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 ? x ? ? a . 3 3 a ∴ g ( x) 的减区间是 ( , ? a ) ,又 g ( x) 在区间 ( ? 3 , 2) 上单调递减, 3



?a ?a ? ?9 ? ? ?3 ∴?3 ,解得 ? ,故 a ? ?9 (满足 a ? 0 ) . ?a ? ?2 ??a ? 2 ?

??? 13 分

综上所述得 a ? ?9 ,或 a ? 6 . ∴实数 a 的取值范围为 ( ? ? , ? 9] ? [ 6 , ? ? ) . ??? 14 分

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