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福州三中2012-2013学年高三校模拟考试数学(文科)


福州三中 2013 届高三高考模拟考 数学(文科)试卷
本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: (1) 答卷前,考生务必用 0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答 卷的密封线外。 (2) 请考生认真审题,将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置,并认真检查以防止 漏答、错答。 (3) 考试中不得使用计算器。 参考公式: 球的表面积公式 S = 4π R 球的体积公式 V =
2

棱柱的体积公式 V = Sh

4 1 π R3 棱锥的体积公式 V = Sh 3 3 1 棱台的体积公式 V = h( S1 + S1S 2 + S 2 ) 3 其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径,其中 S 表示棱柱(锥)的底面积, h 表示棱柱(锥)的高 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A + B) = P( A) + P( B)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A = ( ?1, 2), 集合 B = {x | ? x ? 2 x + 3 > 0} ,则 A U B = (
2

) D. ( ?1, 2)

A. ( ?1,1)

B. ( ?3, 2)

C. ( ?1,3)

2.设 i 是虚数单位,则复数 z = (

A.-1 B.1 C. ?i 2 3. 命题“ ?x ∈ R ,都有 ln(x +1)>0”的否定为( ) (A) ?x ∈ R ,都有 ln(x +1)≤0
2

1 + i 2013 ) =( 1? i

) D. i

2 (B) ?x0 ∈ R ,使得 ln(x0 +1)>0 2 (D) ?x0 ∈ R ,使得 ln(x0 +1)≤0

(C) ?x ∈ R ,都有 ln(x +l)<0
2

4.已知 l , m 是直线, α 是平面,且 m ? a ,则“ l ⊥ m ”是“ l ⊥ α ” 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.阅读程序框图(如右图) ,如果输出的函数值在区间[ 入的实数 x 的取值范围是( ) B.[-2,0] A. (?∞, ?2]

1 ,1]上,则输 4
D. [2, +∞) )

C.[0,2]

6. 在等差数列 {an } 中, a4 + a7 = 2 , 2 则数列 {an } 的前 9 项和等于 (

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第1页◇共 4 页】

A.3 B. 9 C.6 D.12 7.设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ) ,是变量 x 和 y 的 n 个 样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到 的线性回归方程(如图) ,以下结论中正确的是( ) A. x 和 y 正相关 B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在-1 到 0 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 8. 已知函数 y=2sin2( x + 方程是( )

π

4

) ? cos 2 x, 则函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称轴

3π 8 8 π 3π C.T= π ,一条对称轴方程为 x = D.T= π ,一条对称轴方程为 x = 8 8 9 . 函 数 y = log m x + 1(m > 0, m ≠ 1) 的 图 像 恒 过 定 点 M , 若 点 M 在 直 线 1 4 ax + by = 1 (a > 0, b > 0) 上,则 + 的最小值为( ) a b B. 9 C. 10 D. 12 A. 8
一条对称轴方程为 x = A. π , T=2 B. π , T=2 一条对称轴方程为 x = 10.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( A.5 B.6 C.7 D.8 11.函数 )

π

y = esin x ? x 的图象大致为(



12. 已知 i 是虚数单位, e = cos θ + i sin θ , 记 其中 e = 2.718..., θ ∈ R , 给出以下结论: ①e
πi

θi

+1 = 0

②e

?θ i

=

1 eθ i
r

③e

θ1i

? eθ2i = e(θ1 +θ2 ) i ,则其中正确结论的个

数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上. 13. 已知向量 a = (e , ?1), 向量 b = (1, x + 1) ,设函数 f ( x) = a ? b, 则函数 f ( x) 的零点 . 个数为
x

r
2

r r

14.若圆 x + y + 2 x ? 4 y + m = 0( m < 3) 的一条弦 AB 的中点为 P(O,1) ,则垂直于 AB 的直径所在直线的方程为 .
2

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第2页◇共 4 页】

? x + y ≥ 1, ? 15.若 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1,且z = ax + 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数 a 的 ?2 x ? y ≤ 2, ?
. 取值范围是 16.已知命题:在平面直角坐标系 xoy 中, ΔABC 的顶点 A( ? p,0) 和 C ( p,0) ,顶点 B 在椭圆

x2 y2 sin A + sin C 1 + 2 = 1(m > n > 0, p = m 2 ? n 2 ) 上,则 = (其中 e 为 2 sin B e m n

. 椭圆的离心率) 试将该命题类比到双曲线中, . 给出一个真命题是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 . 本 题 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) = (

1 2 1 x + x , 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 点 2 2

(n, Sn )(n ∈ N * ) 均在函数 y = f ( x) 的图象上. (I) 求数列 {an } 的通项公式 an ; a (II)若 bn = n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n

18. 本题 12 分) ( 某市为了配合宣传新 《道路交通法》 举办有奖征答活动,随机对该市15~ 65 岁的人群抽样了 n 人,回答问题统计结果如图表所示.(左图是样本频率分布直方图, 右表是对样本中回答正确人数的分析统计表).

(Ⅰ)分别求出 n, a, b, x, y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,有奖征答活动组委会决定 在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求获得幸运奖的 2 人来自不同年龄组的 概率.

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第3页◇共 4 页】

19. (本题 12 分) 如图三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱与底面垂直,ΔABC 是等边三角形, 点 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)证明: A1 B / / 平面 C1 AD ; (Ⅱ)若在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内部(含表面)随机投放一个点

P ,求点 P 落在三棱锥 C1 ? A1 AD 内部(含表面)的概率.

3 过半径 OA 上一点 C 作 OB 的平行线,交圆弧 AB 于点 P . (Ⅰ)若 C 是 OA 的中点,求 PC 的长; (Ⅱ)设 ∠COP = θ ,求△ POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

∠ 20.(本题 12 分) 如图所示扇形 AOB ,半径为 2 , AOB =

π

,

21. (本题 12 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率 e = 过点 M (2,1) .

3 且经 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 设平行于 OM 的直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A、B ,直线 MA 与 MB 的斜率分别 为 k1 、k2 ; ① 若直线 l 过椭圆的左顶点,求 k1 、k2 的值; ② 试猜测 k1 、k2 的关系;并给出你的证明.

22. (本题 14 分)已知函数 f ( x) = ln x ? 2 x + 3 x .
2

(I)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)证明:存在 m ∈ (1, +∞) ,使得 f ( m) = f ( ) ;

1 2 (Ⅲ)记函数 y= f ( x) 的图象为曲线 Γ .设点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是曲线 Γ 上的不同两 x + x2 ;②曲线 Γ 在点 M 点.如果在曲线 Γ 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 = 1 2 处的切线平行于直线 AB ,则称函数 f ( x) 存在“中值伴随切线”,试问:函数 f ( x) 是否存在“中值伴随切线”,请说明理由.
【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第4页◇共 4 页】

福州三中 2013 届高三高考模拟考 数学(文史类)参考答案
一.选择题:

BDDAB, CCDBC , BD
二.填空题: 14. x + y ? 1 = 0 13. 3 15. a ∈ (?4, 2)

16.在平面直角坐标系 xoy 中, ΔABC 的顶点 A( ? p,0) 和 C ( p,0) ,顶点 B 在双曲线

sin A ? sin C 1 x2 y2 ? 2 = 1(m > n > 0, p = m 2 + n 2 ) 上,则 = (其中 e 为双曲 2 sin B e m n
线的离心率) . 三.解答题: 17.(I) Q 点 (n, S n )(n ∈ N ) 在函数 y = f ( x) 的图象上,
*

1 2 1 n + n, 即 2S n = n 2 + n , n = 1 时 a1 = 1; 2 2 n ≥ 2 时 2S n ?1 = (n ? 1) 2 + (n ? 1) ,故 2( Sn ? Sn ?1 ) = 2n, 即 an = n . 1 n (II) Q bn = n( ) , 2 ∴ Sn = 1 1 1 1 + 2( ) 2 + ... + (n ? 1)( ) n ?1 + n( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 1 ∴ Tn = + ( ) + 2( ) + ...... + (n ? 1)( ) n + n( ) n +1 2 2 2 2 2 ∴Tn =
1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 1 n 1 n +1 2 2 ? n( 1 ) n +1 = 1 ? ( 1 ) n ? n( 1 ) n +1 ∴ Tn = + ( ) + ... + ( ) ? n( ) = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 ∴Tn = 2 ? (n + 2)( ) n 2 5 = 10 ,因为第 1 组的频率是 0.01× 10 = 0.1 , 18.(Ⅰ)由第 1 组数据知该组人数为 0.5 10 因为第 2 组人数为 0.02 ×10 ×100 = 20 , a = 20 × 0.9 = 18 ; 故 故n = = 100 ; 0.1
因为第 3 组人数为 0.03 × 10 × 100 = 30 ,故 x =

27 = 0.9 ;因为第 4 组人数为 30

0.025 ×10 × 100 = 25 , 故 b = 25 × 0.36 = 9 ; 因 为 第 5 组 人 数 为
0.015 × 10 × 100 = 15 ,故 y =

3 = 0.2 . 15

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第5页◇共 4 页】

(Ⅱ)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18 : 27 : 9 = 2 : 3 :1 ,故这 3 组分别抽取 2 人,3 人, 1 人.设第 2 组为 A1 , A2 ,第 3 组为 B1 , B2 , B3 ,第 4 组为 C1 ;则随机抽取 2 人可能是

( A1 , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , C1 ), ( B3 , C1 ) ,共 15 种.其中来自不同年龄
组的有 ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C1 ),

( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), ( B3 , C1 ) 共 11 种,
故获得幸运奖的 2 人来自不同年龄组的概率是

11 . 15

19.(Ⅰ)连接 A1C ,交 AC1 于点 E ,连接 DE ,在 A1 BC 中 DE 是中位线,故

DE / / A1 B ,Q DE ? 面C1 AD, A1 B ? 面C1 AD ∴ A1 B / / 平面 C1 AD .
(Ⅱ)设底面边长为 a ,侧棱长为 h ,则 VABC ? A1B1C1 = 过 D 作 AC 的 垂 线 交 AC

3 2 a h ,因为点 D 是 BC 的中点, 4 3 于 F , 有 DF = a , 故 4

1 3 1 VC1 ? A1 AD = VD ? A1 AC1 = ? a ? ah ,所以点 P 落在三棱锥 C1 ? A1 AD 内部(含 3 4 2 1 表面)的概率 . 6 π 2π 20.(Ⅰ)Q CP / / OB, ∠AOB = ,∴∠OCP = ,若 C 是 OA 的中点,则在 ΔOPC 3 3 2 2 2 2 中, OP = OC + CP ? 2OC ? CP ? cos ∠OCP, 即 4 = 1 + CP + CP ,解得 CP = 13 ? 1 . 2
OC sin( ? θ ) 3

(Ⅱ) 由正弦定理

π

=

4 3 π OP , OC = sin( ? θ ), 所以 2π 3 3 sin 3

1 S ΔOCP = OP ? OC ? sin θ 2 1 4 3 π 4 3 3 1 sin( ? θ ) ? sin θ = ( cos θ ? sin θ ) ? sin θ = ?2? 2 3 3 3 2 2 = 2 cos θ sin θ ? 2 3 2 3 2 3 3 1 3 sin θ = sin 2θ ? (1 ? cos 2θ ) = ( sin 2θ + cos 2θ ) ? 3 3 3 3 2 2

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第6页◇共 4 页】

2 3 π 3 π π π 5π 3 sin(2θ + ) ? , θ ∈ (0, ) ,Q 2θ + ∈ ( , ) ∴ SΔOPC ∈ (0, ) . 3 6 3 3 6 6 6 3 2 2 ? 2 a ?b 3 = ( )2 2 2 ?e = 2 x y ? a 2 , 21. (Ⅰ)设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,依题意有: ? 2 a b ?2 + 1 =1 ? a 2 b2 ? =
解得 a = 8, b = 2 ,所以椭圆 E 的方程为
2 2

x2 y2 + = 1. 8 2 1 x+ 2 , 2

(Ⅱ) ①若直线 l 过椭圆的左顶点且直线 l 平行于 OM ,则直线的方程是 l : y =

1 ? ?y = 2 x + 2 ? x1 = 0 ? x = ?2 2 ? ? ? 联立方程组 ? 2 ,解得 ? , 或? 2 2 ? y1 = 2 ? y2 = 0 ?x + y =1 ? ? ?8 2 ? 2 ?1 2 ?1 故 k1 = ? . , k2 = 2 2 1 ②因为直线 l 平行于 OM ,设在 y 轴上的截距为 b ,又 kOM = ,所以直线 l 的方程为 2 1 y = x+b . 2 1 ? ? y = 2 x+b ? 2 2 由 ? 2 得 x + 2bx + 2b ? 4 = 0 . 设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) , 则 2 ?x + y =1 ?8 2 ? y ?1 y ?1 x1 + x2 = ?2b, x1 x2 = 2b 2 ? 4 . 又 k1 = 1 , k2 = 2 , x1 ? 2 x2 ? 2 y ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) + ( y2 ? 1)( x1 ? 2) 故 k1 + k2 = 1 . + = x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 1 又 y1 = x1 + b, y2 = x2 + b , 2 2 1 1 所以上式分子 = ( x1 + b ? 1)( x2 ? 2) + ( x2 + b ? 1)( x1 ? 2) 2 2 = x1 x2 + (b ? 2)( x1 + x2 ) ? 4(b ? 1) = 2b 2 ? 4 + (b ? 2)(?2b) ? 4(b ? 1) = 0 , 故 k1 + k2 = 0 .所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.
22. (I)

f '( x) =

1 ?4 x 2 + 3x + 1 ?( x ? 1)(4 x + 1) ? 4x + 3 = = ( x > 0) , f '( x) = 0 ? x = 1 , x x x

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第7页◇共 4 页】

x ∈ (0,1) 时 f '( x) > 0, x ∈ (1, +∞) 时 f '( x) < 0, 故 x = 1 时 f ( x) 有极大值 1,无极小值.
(Ⅱ)构造函数:

1 1 3 F ( x) = f ( x) ? f ( ) = ln x ? 2 x 2 + 3x ? (? ln 2 ? + ) = ln x ? 2 x 2 + 3x + ln 2 ? 1 , 2 2 2 1 2 故 又 由 (I) f (1) > f ( ) , F (1) > 0 , F (e) = ?2e + 3e + ln 2 = e(3 ? 2e) + ln 2 < 0 , 知 2 1 所以函数 F ( x) 在区间 (1, e) 上存在零点.即存在 m ∈ (1, +∞) ,使得 f ( m) = f ( ) . 2
(Ⅲ)
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 ? 2( x12 ? x2 ) + 3( x1 ? x2 ) ln x1 ? ln x2 = = ? 2( x1 + x2 ) + 3 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 1 2 x +x Q f '( x0 ) = ? 4 x0 + 3 = ? 4 1 2 +3, x0 x1 + x2 2 假设存在“中值伴随切线” ,则有 k AB = f '( x0 ) ,可得 x1 ?1 ln x1 ? ln x2 x1 x1 x2 x1 ? x2 2 , = ? ln = 2 ? ? ln = 2 ? x1 x1 ? x2 x1 + x2 x2 x2 x1 + x2 +1 x2 x t ?1 t ?1 ,构造 g (t ) = ln t ? 2 ? , 令 1 = t ,则 ln t = 2 ? t +1 t +1 x2

k AB =

有 g '(t ) = ?

1 4 (t ? 1) 2 = ≥ 0 恒成立,故函数 g (t ) 单调递增,无零点, t (t + 1) 2 t (t + 1) 2 所以函数 f ( x) 不存在“中值伴随切线” .

【福州三中 2013 届高三高考模拟考数学(文科)试卷◆第8页◇共 4 页】


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