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河北省石家庄市2016届高三上学期复习教学质量检测(一)数学(理)试卷Word版含答案

石家庄市2016届高三复习教学质量检测(一)
高三数学(理科)

第 I 卷(选择题,60分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1、复数 z ? 2i (i 是虚数单位),则|z|= 1?i

A.1

B. 2

C. 3

D.2

2、已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0}, B ? {y | y ? 2x}, 则 ? ? ?

A. y ? x

B. y ? ln x

C. y ? 1 x

D. y ? 2x

3、已知命题 p : ?x ? (0, ??), x2 ? x ?1, 则命题 p 的否定形式是

A



?p : ?x0 ? (0, ??), x02 ? x0 ?1

B. ?p : ?x0 ? (??, 0), x02 ? x0 ?1

C



?p : ?x0 ? (0, ??), x02 ? x0 ?1

D. ?p : ?x0 ? (??, 0), x02 ? x0 ?1

4、执行如图所示的程序框图,则输出 i 的值为

A.4

B.5

C.6

D.7

5、已知 tan x ? 1 ,则sin 2x ? 3

A. 3 10

B. 10 5

C. 3 10

D. 3 5

6、已知双曲线 x2 ? y2 ? 1(m ? 0) 的离心率为 2 3 ,则 m 的值为

m

3

A. 2 3 3

B.3

C.8

D. 3 2

7、函数 y=sin(ω x+φ )的部分图像如图,则 f (? ) = 2

A. ? 1 2

B. 1 2

C. ? 3 2

D. 3 2

8、已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f(x)=f(2-x),其图像经过点(2,0),且对

任 意 x1, x2? ( 1?, ? )x1, ? x且2 , x1(? x2 )f [ x1 ?( )f 2x恒?( 成) ]立 ,0 则 不 等 式

(x ?1) f (x) ? 0 的解集为

A . (??,1]

B . (1, ??]

C . (??,1] ?1, 2?

D. (0,1] ?2, ???

9、小明准备参加电工资格考试,先后进行理论考试和操作考试

两个环节,每个环节各有2次考试机会,在理论考试环节,若

第一次考试通过,则直接进入操作考试;若第一次未通过,则

进行第2次考试,第2次考试通过后进入操作考试环节,第2次

未通过则直接被淘汰。在操作考试环节,若第1次考试通过,

则直接获得证书;若第1次未通过,则进行第2次考试,第2次

考试通过后获得证书,第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率

为 3 ,每次操作考试通过的概率为 2 ,并且每次考试相互独立,则小明本次电

4

3

工考试中共参加3次考试的概率是

A. 1 3

B. 3 8

C. 2 3

D. 3 4

10、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A. 2 3

B.1

C. 4 3

D. 5 3

11. 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 作倾角为 60 的直线交抛物线于 A、B 两点

(点 A 在第一象限),与其准线交于点 C,则 S?AOC ? S?BOF

A.6

B.7

C.8

D.10

12.已知函数

f

(x)

=

???x2 ? 2ex,

? ??e

x

,x



0

x

?

0

,其中

e

为自然对数的底数,若关于

x

的方

程 f (x) ? a | x |? 0(a ? R) 有三个不同的实数根,则 f (x) ? a | x |? 0 的零点个数为

A.1

B.2

C.3

D.以上都有可能

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

13、已知等比数列{an} 满足: a1 ? a3 ? 1, a2 ? a4 ? 2,则a4 ? a6 ?



14、函数 y ? log2 (3x ?1) 的定义域为



3

15、已知三棱锥 S-ABC 所在顶点都在球 O 的球面上,且 SC⊥平面 ABC,若

SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,则球 O 的表面积为



16、在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AB,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F 分别为 AB,

BC 的中点,点 P 在以 A 为圆心,AD 为半径的圆弧 DE 上

变 动 ( 如 图 所 示 )。 若 AP ? ? ED ? ? AF , 其 中

?, ?? R ,则 2?? 的? 取值范围是



三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17、(本小题满分 10 分)
已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a1 ? 2 ,a4 ? 20 .

( I)求数列{an}的通项公式;

(II)设 bn

?

1 an an ?1

,求数列{bn}的前 n

项和.

18、(本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2a sin(C ? ? ) ? 3b. 3 (I)求角 A 的值;
(II)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 13 ,求△ABC 的面积。

19、(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD;
(II)若 PB= 6 ,求二面角 A—PD—C 的余弦值。

20、(本小题满分 12 分) 某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂,生产同一种灯具(售价相同),
为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况,分别从这两个工厂个抽

查了25件灯具进行测试,结果如下:

(I)根据频率分布直方图,请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿 命; (II)某学校欲采购灯具,同时试用了南北两工厂的灯具各两件,试用500小时后,
若北方工厂生产的灯具还能正常使用的数量比南方工厂多,该学校就准备 采购北方工厂的灯具,否则就采购南方工厂的灯具,试估计该学校采购北 方工厂的灯具的概率。(视频率为概率)

21、(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

? 0) 的离心率为

7 ,长轴长为 8.。 4

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若不垂直于坐标轴的直线 l 经过点 P(m,0),与椭圆 C 交于 A,B 两点, 设点 Q 的坐标为(n,0),直线 AQ,BQ 的斜率之和为0,求 mn 的值。

22、(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? 2 ln x, (a ? R). 在 x=2 处取得极值。 2 (I)求实数 a 的值及函数 f (x) 的单调区间; (II)方程 f (x) =m 有三个实根 x1, x2 , x3 (x1 ? x2 ? x3 ), 求证: x3 ? x2 ? 2.

高三数学质量检测一理科答案
一、选择题: 1-5BBCAD BDD BC AC

二、填空题: 13. 8

14.

? ??

1 3

,

2 3

? ??

15. 5?

16. ? ?1,1?

三、解答题
17.解:(Ⅰ) 由 已知,得 S22 ? S1 ? S4

1分

………………………

即 a1(4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d )2 得 2a1d ? d 2 又由 a1 ? 1, d ? 0 得 d ? 2 分

……………………… 3

故, an ? 2n ? 1 分

……………………… 5

















bn

?

(2n

1 ? 1)( 2n

? 1)



……………………… 6 分

Tn

?

1 1?3

?

1 3?5

?

1 5?7

???

(2n

1 ? 1)(2n

? 1)

?

1 2

???(1 ?

1) 3

?

(1 3

?

1) 5

?

(1 5

?

1) 7

???

(1 2n ? 1

?

1 2n ?

1)???

?n 2n ? 1

10 分

……………………

18. 解:(Ⅰ)由 2a sin??C ? ? ?? ? 3b ? 3?

变形为 2sin A??sin C cos ? ? cosC sin ? ?? ? 3 sin B

?

3

3?

sin Asin C ? 3 sin AcosC ? 3 sin?? ? ?A ? C??

sin Asin C ? 3 sin AcosC ? 3 sin?A ? C?

………………2 分

sin Asin C ? 3 sin AcosC ? 3 sin AcosC ? 3 cos Asin C

sin Asin C ? 3 cos Asin C 因为 sin C ? 0 所以 sin A ? 3 cos A

tan A ? 3

…………… …4 分

又? A ? ?0,? ?? A ? ?
3 (Ⅱ)在 ?ABD中, AB ? 3 , BD ?

13 , A ? ? 3

………………6 分

利用余弦定理, AB2 ? AD2 ? 2 ? AB? AD? cos A ? BD2

解得 AD ? 4 ,

又 D 是 AC 的中点 ? AC ? 8

1

S ?ABC

?

? 2

AB?

AC ? sin

A?

6

3

19. (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD.

………………8 分 ………………12 分

∵PA=PD=DA,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°,∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等

边三角形,

则 PE⊥AD, BE⊥AD,∴AD⊥平面 PBE,

......................3 分

又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD;

......................5 分

(Ⅱ)解:在△PBE 中,由已知得,PE=BE= 3,PB= 6,则 PB2=PE2+BE2,

∴∠PEB=90°,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD;

以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在 直线为 x,y,z 轴,建立 如 图

所示空间直角坐标系,则 E(0,0,0), C(-2, 3,0),D(-1,0,0),P(0,0, 3),

z P

则=(1,0, 3),=(-1, 3,0),

由题意可设平面 APD 的一个法向量为 m=(0,1,0);................7 分

设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,z),

由 得:?????x-+x+3z=3y0=,0,令 y=1,则 x= 3,z=-1,∴n=( 3,1,-1);



m · n = 1 , ∴ cos<m,

n

>



m·n | m|| n |

D
E.
A
x

C By

=1= 5

55,

.............11 分

由题意知二面角 A-PD-C 的平面角为钝角,所以,二面角 A-PD-C 的余弦值为-

55........12 分 20.解:(I)北方工厂灯具平均寿命:
x北方=350? 0.12+450? 0.28+550? 0.4+650? 0.12+750 ? 0.08=526 小时;…………3 分

南方工厂灯具平均寿命: x南方=350? 0.12+450? 0.28+550? 0.36+650? 0.24=522 小

时. …………6 分

(Ⅱ)设北方工厂两件灯具能够正常使用的事件分别为 A,B;南方 工厂两件灯具能够正常

使用的

事件分别为 C,D;
由题意可知: P(A)=P(B)=P(C)=P(D)= 3 ; 5
采购北方工厂灯具的概率

P ? P( ABC D) ? P( ABCD) ? P(ABC D) ? P(ABC D) ? P(ABC D)

?

? ??

3 5

2
? ??

? ?1 ??

?

? ??

3

2
?

?

5 ??

? ??

? C21

? ??

3?? 5 ????

2 5

?? ?? ??

2

2
?

5 ??

?

192 625

.

…………8 分则: …………10 分 …………12 分

21. 解:(Ⅰ)由题意 c ? a

7 4





2a ? 8 ②,

…………2’

又 a2 ? b2 ? c2 ③,由①②③解得: a ? 4,b ? 3,

所以求椭圆 C

的标准方程为 x2 16

?

y2 9

?1

.

…………

4’

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? k(x ? m) ( k ? 0 ), 且 A(x1, y1)、B(x2, y2 ) ,直线 AQ、BQ 的

斜率分别为 k1, k2 ,

将 y ? k(x ? m) 代入 x2 ? y2 ? 1 得: 16 9
(9 ?16k 2 )x2 ? 32k 2mx ?16k 2m2 ?144 ? 0 ,

由韦达定理可得:

x1

?

x2

?

32k 2m 9 ?16k 2

,

x1

?

x2

?

16k 2m2 ?144 9 ?16k 2

.

…………7’

由 k1

?

k2

?

0

得,

y1 x1 ?

n

?

y2 x2 ?

n

?

0

,将

y1

?

k ( x1

? m),

y2

?

k ( x2

? m)

代入,整理得:

2x1x2 ? (m ? n)(x1 ? x2 ) ? x1x2 ? n(x1 ? x2 ) ? n2

2mn

?

0.

即 2x1x2 ? (m ? n)(x1 ? x2 ) ? 2mn ? 0.

…………10’



32k 2m

16k 2m2 ?144

x1 ? x2 ? 9 ?16k 2 , x1 ? x2 ? 9 ?16k 2

代入,整理可解得

…………12’

mn ?16.

22..解:(Ⅰ)由已知

f

?( x)

?

x

?

a

?

2 x



f

?(2)

?

2?

a

?

2 2

?

0,a

?

?3 ………1



所以 f ?( x) ? x ? 3 ? 2 ? x2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) , x ? 0

x

x

x

由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1, 或 x ? 2; 由 f ?( x) ? 0 ,得1 ? x ? 2,………3 分

所以函数的单调递增区间是 (0,1),(2, ??) ,单调递减区间是 (1, 2) .………4 分
(Ⅱ )由(1)可知极小值 f ?2? ? 2ln 2 ? 4 ;极大值为 f ?1? ? ? 5
2 可知方程 f (x) ? m 三个实根满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ? x3 ………5 分

设 h1(x) ? f ? x? ? f ?2 ? x? , x ? (0,1)

h1? ( x) ?

f ??x??

f ??2?

x? ?

4( x ? 1)2 x(2 ? x)

?

0

则 h1(x) ? h1(1) ? f ?1? ? f ?2 ?1? ? 0 ,

即 f ? x? ? f ?2 ? x? , x ?(0,1)

所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ?2 ? x1 ? , 由(1)知函数 f ? x? 在 ?1, 2? 上单调递减,

从而 x2 ? 2 ? x1 ,即 x1 ? x2 ? 2 ①………8 分
同理设 h2(x) ? f ? x? ? f ?4 ? x? , x ?(1, 2)

h2? ( x) ?

f ??x??

f ??4?

x? ?

2( x ? 2)2 x(4 ? x)

?0

h2(x) ? h2(2) ? f ?2? ? f ?4 ? 2? ? 0 ) 即 f ? x? ? f ?4 ? x?, x ?(1,2)

f ? x3 ? ? f ? x2 ? ? f ?4 ? x2 ? ,由(1)知函数 f ? x? 在 ?2, ??? 上单调递增,
从而 x3 ? 4 ? x2 ,即 x3 ? x2 ? 4 ②………11 分

由①②可得 x3 ? x1 ? 2 得证. ………12 分