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2016高考数学二轮复习微专题强化练课件:30不等式选讲


走向高考 ·数学
高考二轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一部分
微专题强化练

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选考专项练

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第一部分 三 选考专项练 不等式选讲

30(文28)

第一部分



选考专项练

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1

考 向 分 析

3

强 化 训 练

2

考 题 引 路

4

易 错 防 范

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考向分析

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单独命制含绝对值不等式的解法或含参数的讨论问题及证 明不等式,其中恒成立问题和不等式有解的讨论是重点考查、

经常考查内容.

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考题引路

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考例1 a|,a>0.

(2015·新课标Ⅰ,24) 已知函数 f(x)= |x + 1| -2|x -

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值

范围.
[立意与点拨 ] 考查含绝对值不等式解法;分段函数;一 元二次不等式解法和运算求解能力、分类讨论思想. (1)分类讨论去掉绝对值符号求解;(2)求出△ABC的三个顶 点的坐标,得出三角形的面积,再列不等式求解.

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[解析] (1)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1,
? ?x≤-1 等价于? ? ?-x-1+2x-2>1 ? ?-1<x<1 或? ? ?x+1+2x-2>1 ? ?x≥1 或? ? ?x+1-2x+2>1

2 ,解得3<x<2,

2 所以不等式 f(x)>1 的解集为{x|3<x<2}.
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(2)由题设可得, ?x-1-2a,x<-1 ? f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a ?-x+1+2a,x>a ? ,

所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别 2a-1 为 A( 3 ,0),B(2a+1,0),C(a,a+1), 2 所以△ABC 的面积为3(a+1)2. 2 由题设得3(a+1)2>6,解得 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞).
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1 1 考例 2 (2015· 湖南理,16)设 a>0,b>0,且 a+b=a+b. 证明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.
[立意与点拨] 考查1.基本不等式;2.一元二次不等式;3.

反证法和转化化归思想、推理论证能力. (1)将已知条件中的式子可等价变形为 ab=1,再由基本不 等式即可得证;(2)利用反证法,假设a2+a<2与b2+b<2同时成 立,可求得0<a<1,0<b<1,从而与ab=1矛盾,即可得证.
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1 1 a+b [解析] 由 a+b=a+b= ab ,a>0,b>0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1, 有 a+b≥2 ab=2, 即 a+b≥2; (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立, 则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1,同理 0<b<1,从而 ab<1,这与 ab=1 矛盾,故 a2+ a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.

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强化训练
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易错防范

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案例

对不等式的条件不能正确转化致误

(2015· 海口调研)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f(n)≤m-f(-n)成立, 求实数 m 的取值范围; x (3)若 f(x)+f(2)≥3 恒成立,求 a 的取值范围.

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[ 易错分析 ]

(1) 不能正确去掉绝对值符号转化为分段函

数,再解不等式或讨论其他问题. (2)不能对“存在实数 n,使 f(n)≤m-f(-n)成立”进行等 价转化. (3) 弄不清 “ 存在 ”“ 恒成立 ”“ 有解 ”“ 无解 ” 等的含 义导致解题错误.

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[解答] (1)当 a=1 时,f(x)=|2x-1|+1, ∵f(x)≤6,∴|2x-1|≤5,∴-5≤2x-1≤5. ∴-2≤x≤3,∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)由(1)知 f(x)=|2x-1|+1, 令 φ(n)=f(n)+f(-n), 则 φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2 ≥|(2n-1)-(2n+1)|+2=4, 1 1 当且仅当(2n-1)(2n+1)≤0,即-2≤n≤2时取等号, ∴φ(n)的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是[4,+∞).
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x (3)不等式 f(x)+f(2)≥3 可化为|2x-a|+|x-a|≥3-2a, 令 g(x)=|2x-a|+|x-a|, 则 g(x)≥3-2a 恒成立?g(x)min≥3 -2a. a ? ?2a-3x, x<2, ? a ∵g(x)=? ?x, 2≤x≤a, ? ?3x-2a, x>a. 6 a a ∴g(x)min=2.∴2≥3-2a,解之得,a≥5. 6 综上知 a 的取值范围是[5,+∞).
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[警示]

对于不等式的问题,要注意是存在 x∈A时不等式

成立,还是对任意x∈A,不等式都成立?还是解不等式.含绝
对值的不等式要注意正确去掉绝对值符号转化为分段函数.

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