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2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差及二倍角的三角函数学案新版.doc

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数
[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导 出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公 式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的 三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

(对应学生用书第48页)

[基础知识填充]

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β ;

(2)cos(α ±β )=cos_α cos_β ?sin_α sin_β ;

(3)tan(α

±β

)=1t?atnanα

±tan α tan

β β

.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ;

(3)tan 2α =12-tatnanα2α .

[知识拓展]

1.有关公式的变形和逆用

(1)公式 T(α ±β )的变形: ①tan α +tan β =tan(α +β )(1-tan α tan β );

②tan α -tan β =tan(α -β )(1+tan α tan β ).

(2)公式 C2α 的变形: ①sin2α =12(1-cos 2α );

②cos2α =12(1+cos 2α ).

(3)公式的逆用:

①1±sin 2α =(sin α ±cos α )2;

②sin α ±cos α = 2sin???α ±π4 ???.

2.辅助角公式

asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )???其中tan φ =ba???.

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( )

(3)公式

tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

可以变形为

tan

α

+tan

β

=tan(α

+β

)(1

-tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( )

(4)公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ )中 φ 的取值与 a,b 的值无关.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )

A.-

3 2

B.

3 2

C.-12

D.12

D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=

sin(20°+10°)=sin 30°=12,故选 D.]

4 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α -cos α =3,则 sin 2α =( )

A.-79

B.-29

2 C.9

7 D.9

A [∵sin α -cos α =43,

∴(sin α -cos α )2=1-2sin α cos α =1-sin 2α =196,

∴sin 2α =-79.

故选 A.]

4.(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________.

【导学号:00090103】

-2 [函数 f(x)=2sin???x+π6 ???的最小值是-2.]

5.若锐角 α ,β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =________.

π 3

[由(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,

可得1t-antaαn

+tan α tan

β β



3,即 tan(α +β )=

3.

又 α +β ∈(0,π ),∴α +β =π3 .]

(对应学生用书第 49 页)

三角函数式的化简

(1)化简:sinsi2nα???α--2cπ4os???2α =________.

2cos4x-2cos2x+12

(2)化简:2tan???π4

-x???sin2???π4

.
+x???

(1)2 2cos α

[原式=2sin α cos α -2cos2α =2 2

2cos α .]

2

α -cos α

-2sin2xcos2x+12 (2)原式=
2sin???π4 -x???cos2???π4 -x??? cos???π4 -x???

1 2 =
2sin???π4

-sin22
-x???cos???π4

-x???=si12nc???oπ2s-222xx???=12cos

2x.

[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.

二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,最常见的是“切化

弦”.

三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.

2.三角函数式化简的方法

弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.

[变式训练 1] 化简 sin2???α -π6 ???+sin2???α +π6 ???-sin2α =________.
【导学号:00090104】

1 2

[法一:原式=1-cos???22α -π3 ???+1-cos???22α +π3 ???-sin2α

= 1 - 12 ???cos???2α

-π3 ???+cos???2α

+π3 ??????-sin2α

= 1 - cos



·cos

π 3

- sin2α

=1-

cos 2α 2

-1-co2s



=12.

111 法二:令 α =0,则原式=4+4=2.]

角度 1 给角求值

2cos 10°-sin 20°

(1)

sin 70°

=(

三角函数式的求值 )

A.12

B.

3 2

C. 3

D. 2

(2)sin 50°(1+ 3tan 10°)=________.

(1)C (2)1 [(1)原式=

- sin

-sin 70°

20°=

+ sin 70°

-sin 20°

= c3ocsos202°0°= 3.

(2)sin 50°(1+ 3tan 10°)
=sin 50°???1+ 3·scions 1100° °???

=sin

50°×cos

10°+ 3sin cos 10°

10°

=sin

50°×2???21cos

10°+ 23sin cos 10°

10°???

=2sin

50°·cos cos 10°

50°=scions 11000°°=ccooss

1100° °=1.]

角度 2 给值求值

(1)(2016·全国卷Ⅱ)若 cos???π4 -α ???=35,则 sin 2α =(

)

7 A.25

1 B.5

C.-15

D.-275

(2)(2018·安徽十校联考)已知 α 为锐角,且 7sin α =2cos 2α ,则 sin???α +π3 ???=
()

1+3 5 A. 8

1+5 3 B. 8

1-3 5 C. 8

1-5 3 D. 8

(1)D (2)A [(1)∵cos???π4 -α ???=35,

∴sin 2α =cos???π2 -2α ???=cos 2???π4 -α ???=2cos2???π4 -α ???-1=2×295-1=-275.

(2)由 7sin α =2cos 2α 得 7sin α =2(1-2sin2α ),

即 4sin2α

+7sin

α

-2=0,∴sin

α

=-2(舍去)或 sin

α

1 =4.

∵α 为锐角,∴cos α = 415,

∴sin???α +π3 ???=14×12+ 415× 23=1+83 5,故选 A.]
角度 3 给值求角

(2018·长春模拟)已知 sin α = 55,sin(α -β )=- 1100,α ,β 均为锐角,

则角 β 等于( ) A.51π2

B.π3

【导学号:00090105】

C.π4

D.π6

C [∵α ,β 均为锐角,∴-π2 <α -β <π2 .

10

3 10

又 sin(α -β )=- 10 ,∴cos(α -β )= 10 .

5

25

又 sin α = 5 ,∴cos α = 5 ,

∴sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β )

= 55×3 1010-2 5 5×???- 1100???= 22.
∴β =π4 .]

[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角,应仔细观察非特殊角与 特殊角之间的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解. 2.“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. 3.“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 最后确定角.
三角变换的简单应用

(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)=15sin???x+π3 ???+cos???x-π6 ???的最大值为(

)

A.65

B.1

3 C.5

1 D.5

(2)已知函数 f(x)=sin2x-sin2???x-π6 ???,x∈R. ①求 f(x)的最小正周期;

②求 f(x)在区间???-π3 ,π4 ???上的最大值和最小值. (1)A [法一:∵f(x)=15sin???x+π3 ???+cos???x-π6 ???

=15???12sin x+ 23cos x???+ 23cos x+12sin x =110sin x+ 103cos x+ 23cos x+12sin x

=35sin x+3 5 3cos x=65sin???x+π3 ???, ∴当 x=π6 +2kπ (k∈Z)时,f(x)取得最大值65.

故选 A.

法二:∵???x+π3 ???+???π6 -x???=π2 , ∴f(x)=15sin???x+π3 ???+cos???x-π6 ???

=15sin???x+π3 ???+cos???π6 -x??? =15sin???x+π3 ???+sin???x+π3 ??? =65sin???x+π3 ???≤65. ∴f(x)max=65.
故选 A.] (2)①由已知,有
f(x)=1-c2os 2x-1-cos???22x-π3 ??? =12???12cos 2x+ 23sin 2x???-12cos 2x = 43sin 2x-14cos 2x=12sin???2x-π6 ???. 所以 f(x)的最小正周期 T=22π =π . ②因为 f(x)在区间???-π3 ,-π6 ???上是减函数, 在区间???-π6 ,π4 ???上是增函数, 且 f???-π3 ???=-14,f???-π6 ???=-12,f???π4 ???= 43, 所以 f(x)在区间???-π3 ,π4 ???上的最大值为 43,最小值为-12.
[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间 的关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.把形如 y=asin x+bcos x 的函数化为 y= a2+b2sin(x+φ )???其中tan φ =ba???的形
式,可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
[变式训练 2] (2017·北京高考)已知函数 f(x)= 3cos???2x-π3 ???-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求证:当 x∈???-π4 ,π4 ???时,f(x)≥-12.

[解] (1)f(x)= 23cos 2x+32sin 2x-sin 2x =12sin 2x+ 23cos 2x=sin???2x+π3 ???, 所以 f(x)的最小正周期 T=22π =π . (2)证明:因为-π4 ≤x≤π4 ,所以-π6 ≤2x+π3 ≤56π , 所以 sin???2x+π3 ???≥sin???-π6 ???=-12, 所以当 x∈???-π4 ,π4 ???时,f(x)≥-12.