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2014.8学大伟业组合(学生讲义)


2014 年 8 月
2 1.求满足如下条件的最小正整数 n , 在圆 O 的圆周上任取 n 个点 A1 , A2 ,? ? ?, An , 则在 C n

2014 个不超过 120 。 个角 ?AOA i j ?1 ? i ? j ? n ? 中,至少有
?

2. S 为 m 个正整数数对 ? a, b??1 ? a ? b ? n? 所构成的集合, 求证至少有

4m2 ? mn2 个 3n

三元数组 ? a, b, c ? ,使得 ? a, b? , ? b, c? , ? a, c? 都属于 S ,其中 S 中任意一个元素 ? a, b ? 满足

? a, d ? , ? b, e? , ? d , a? ,? e, b? ? S 的数目之和大于等于 n ,1 ? d , e ? n ,且 m ?

n2 。 4

3.在任意 133 个正整数中若至少有 799 对互素,则必可找到其中的四个数 a, b, c, d ,使 得 ? a, b? ? ?b, c ? ? ? c, d ? ? ? d , a ? ? 1 。 4.在一群数学家中,每个人都有一些朋友(关系是互相的) ,证明存在一个数学家,他 所有朋友的朋友数目的算术平均数不小于这群数学家的朋友数目的算术平均数。 5.已知 1650 个学生排成 22 行, 75 列,其中任意两列处于同一行的两个学生中性别相 同的学生对都不超过 11 对,证明所有男生的人数不超过 920 。 6. 设 P 1, P 2 ,?, P n 为 平 面 上 n ? n ? 3? 个 已 知 点 , 其 中 任 意 三 点 不 共 线 , 线 段

PP i j ? i, j ? 1,2,?, n, i ? j ?





r

出 现 的 次 数 记 为
3

g ?r ? , 设

证明 ?1? g ? r ? ? n 2 ;? 2? g ? r0 ? ? 3n ? 6 ;? 3? g ? r r0 ? min ?PP i j ?, r 1 ? max ?PP i j? , 1? ? n。
i? j i? j

7.在一次有 2n ? 1 个队参加的比赛中,每个队都与其他队进行一场比赛,且每场比赛必 须有一个队胜出,3 个队组成的集合 ? A, B, C? 若满足 A 胜 B , B 胜 C ,C 胜 A ,则称这个 集合为“循环的” ,求“循环的”集合数目的最大值和最小值。 8.在有 2011 座城市的 A 国的任意一座城市与有 2011 座城市的 B 国的任意一座城市之间 有唯一一条由某航空公司执行双向飞行的航线,同国的城市之间没有航线,且最多由 19 家 不同的航空公司执行这些航线,求整数 k 的最大值,使得无论怎样安排航线,都存在 k 座城 市是连通的(从一座城市到达另一座城市有航线,但不一定是直飞) ,且由某个固定的航空 公司执行所有的航线。 9.将凸 n 边形的每条边和对角线染上 k 种颜色之一,使得不存在同色的闭折线,求 n 的 最大值。 10.一个联谊俱乐部有 2k ? 1 名成员,每名成员都精通相同的 k 种语言,任意两名成员 只能用一种语言进行交谈。若不存在三名成员,他们两两之间用的是同一种语言进行交谈, 设 A 是由三名成员构成的子集的个数,且每个子集中的三名成员两两之间用的是互不相同 的语言进行交谈,求 A 的最大值。

1

11.已知平面上有 n 个矩形,其中 n 为正整数,证明在 4 n 个直角中,至少有 ? 4 n ? 个

?

?

直角两两不同。
2 12. 已 知 正 整 数 n ? 16 , 考 虑 平 面 上 的 n 个 点 构 成 的 集 合

G?

?? x, y ? x, y ??1, 2,?, n?? ,设 A 是 G 的任意包含至少 4n

证明至少存 n 个点的子集,

在 n 个凸四边形,所有四边形的顶点均为 A 中的点,且所有四边形的对角线的交点是同一 个点。 13.是否在空间中存在没有三点共线的 24 个点和 2013 个平面,使得每个平面至少过这 24 点中的三个点,这 24 点中的任意三个点均在这 2013 个平面中的一个平面上? 14.某班有 7 名男生和 13 名女生, 在三个月之内, 每名男生至少要与每名女生交流一次, 证明存在两名男生与两名女生,这两名男生在同一个月内与这两名女生有过交流。 15.对于平面上的 n 个点, 定义移动方式如下: 从某一个点移动至距离它第二近的点 (距 离它第二近的点是唯一的) ,求所有正整数 n ? n ? 3? ,使得存在平面上的 n 个点,按上述移 动方式从某一个点出发,经过每个点后最终回到该点。 16.设 P 1, P 2 ,?, P n 为平面上 n 个点,任意三点不共线,问至少需要连多少条线段才能使 每四个点中均有三点构成一个三角形,其三边为所连的线段?怎样连。 17.平面上有 2n ? n ? 2? 个点,其中任意三点不共线,在这些点之间任意连接 m 条直线 段,则以这些线段为边必将有三角形出现,问 m 的最小值是多少?证明你的结论。 18.某桥牌俱乐部规定:仅当四个人中无二人曾经相互作过伙伴时才能一起玩。在一次 有 14 人参加的集会中,他们每人都曾与其他 5 人作过伙伴,玩了 3 局之后,按规定只能停 止。 正当他们准备离开时, 他们都不认识的一个新会员来了, 证明这时至少还有一局可以玩。 19.用 n ? 3 对角线将凸 n 边形分割成 n ? 2 个三角形,并将每个三角形染为黑色或白色, 相邻(有公共边)的两个三角形不同色,求黑色三角形与白色三角形数目的差的最大值。 20.已知一个简单多边形(不自交) ,证明存在多边形的一条全在多边形内部的对角线,

2

1 。 3 21.将 2013 ? 2013 的正方形方格表中的某些小方格染为黑色,使得任意一个 19 ? 19 的 子正方形方格表中至少包含 21 个黑格,求黑格数目的最小值。
其将多边形的边界分成两部分(每部分包括端点) ,每部分至少有多边形顶点数目的 22. ?1? 能否用 3 ? 671 个由三个单位方格组成的 L 形完全覆盖 3 ? 2013 的矩形? ? 2 ? 能 否用 5 ? 671 个由三个单位方格组成的 L 形完全覆盖 5 ? 2013 的矩形? 23.设正整数 n ? n ? 3? ,对于 n ? n 的正方形方格表,将 1 ? m 的矩形称为第 ? 类, m ? 1 的矩形称为第 ?? 类,其中 m 是正整数,1?1 的正方形既是第 ? 类,又是第 ?? 类,用 N 个上 述矩形无重叠地覆盖 n ? n 的正方形方格表,使得第 ? 类与第 ?? 类矩形的个数相等,求 N 的 最小值。 24.已知 n 是一个正整数,求将 1, 2,?, n 放在圆周上的方法的数目,使得任意一个数均

2

是其相邻两数之和的因数。

1 ABCDEF 内的 2556 个不同的点,若集 25.已知 P 1, P 2 ,?, P 2556 是边长为 的正六边形

S 中的三个点构成 合 S ? ? A, B, C, D, E, F , P 1, P 2 ,?, P 2556 ? 中的任意三点不共线,证明存在
的三角形的面积小于

1 。 1700

26. 求 所 有 正 整 数 n ? 2 , 使 得 存 在 实 数 a1 , a2 ,?, an , 满 足

?a ?a
i

j

n ? n ? 1? ? ? 1 ? i ? j ? n ? ?1, 2,?, ?。 2 ? ?

?

27.在桌子上有 100 张标有 1 ? 100 的正整数的卡片,甲乙按照如下方式轮流取卡片:若 甲取标号为 n 的卡片, 则乙取标号为 2n ? 2 的卡片, 问这两个人一共最多取到多少张卡片? 28.证明在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点, 每段的长为 1 的闭折线, 它的每个顶 点的坐标都是有理数。 29. ?1? 是否存在正整数集的二元子集 A 1 , A2 , A 3 ? ,使得每个正整数恰出现在一个子集 中,且对于每个正整数 n , An 的元素之和等于 1391 ? n ? ? 2 ? 是否存在正整数集的二元子 集A 1 , A2 , A 3 ? ,使得每个正整数恰出现在一个子集中,且对于每个正整数 n , An 的元素之 和等于 1391 ? n ?
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