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江苏省苏北四市2017届高三第一次调研考试数学试题 Word版含答案


连云港市 2017 届高三第一学期期末调研考试 数学Ⅰ
注意事项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题 ? 第 14 题) 、解答题(第 15 题 ? 第 20 题)两部分. 本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟,考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试 卷答题纸上. 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置;在其它位置作 答一律无效. 4.如有作图需要,空用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚. 参考公式: 样本数据: x1 , x2 ,? , xn 的方差 s 2 ? 圆锥的侧面积公式为 S ?

1 n 1 n 2 ,其中 ( x ? x ) x ? ? i ? xi n i ?1 n i ?1

1 cl ,其中 c 为圆锥的底面的周长, l 为母线长. 2

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡 相应的位置上.
1.已知集合 A ? {?2, 0}, B ? {?2,3} ,则 A ? B ? . .

2.已知复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为

3.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分, 则剩下 4 个分数的方差为 .

4.根据如图所示的伪代码,则输出的 S 的值为



1

5.从 1, 2,3, 4,5, 6 这六个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的和能被 3 整除的概率 为 .
2

6.若抛物线 y ? 8 x 的交点恰好是双曲线 为 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的右焦点,则 a 的值 a2 3

7.已知圆锥的底面直径与高都是 2 ,则该圆锥的侧面积为 8.若函数 f ? x ? ? sin( w? x ?

. .

?

1 1 )( w ? 0) 的最小正周期为 ,则 f ( ) 的值为 6 5 3

9.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 2a2 ? 3, S3 ? 2a3 ? 3 ,则公比 q 的值 为 .
x

10.设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 3 , 则不等式 f ? x ? ? ?5 的解集为 11.若实数 x, y 满足 xy ? 3 x ? 3(0 ? x ? .

3 1 1 的最小值为 ) ,则 ? 2 x y ?3



12.已知非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 2a ? b 的夹角的余弦值为

? ?

?

?

? ?

?

? ?



13. 已知 A, B 是圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,AB ? 3, P 是圆 C2 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 上 的动点, 则 PA ? PB 的取值范围为 14.已知函数 f ? x ? ? ?

??? ? ??? ?

. ,若函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? x 有三个 .

?sin x, x ? 1
3 2 ? x ? 9 x ? 25 x ? a, x ? 1

不同的公共点,则实数 a 的取值集合为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或计算步骤.
2

15.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2 cos A(b cos C ? c cos B ) ? a . (1)求 A 的值; (2)若 cos B ?

3 ,求 sin( B ? C ) 的值. 5

15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,平面 EAB ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为矩形,

EA ? EB, M , N 分别为 AE , CD 的中点,求证:

(1)直线 MN // 平面 EBC ; (2)直线 EA ? 平面 EBC . 17.(本小题满分 14 分) 如图,已知 A, B 两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖总小岛的 B 处,点 C 在 A 的正西 方向 1km 出, tan ?BAN ?

3 ? , ?BCN ? .现计划铺设一条电缆联通 A, B 两镇,由两种 4 4

铺设方案:①沿线段 AB 在水下铺设;②在湖岸 MN 上选一点 P ,先沿线段 AP 在地下铺 设,在沿线段 PB 在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元 / km 、 4 万元

/ km .

(1)求 A, B 两镇间的距离;

3

(2)应该如何铺设,使总铺设费用最低? 18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ,且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

右焦点 F 到左准线的距离为 6 2 .

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 A 为椭圆 C 的左顶点, P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点,直线 PA 交 y 轴于点 M , 过点 F 作 MF 的垂线,角 y 轴于点 N . ①当直线 PA 的斜率为

1 时,求 ?FMN 的外接圆的方程; 2

②设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q ,求 ?APQ 的面积的最大值. 19.(本小题满分 16 分)

x2 已知函数 f ? x ? ? ? ax, g ( x) ? ln x ? ax, a ? R . 2e
(1)解关于 x( x ? R ) 的不等式 f ? x ? ? 0 ; (2)证明: f ? x ? ? g ? x ? ; (3)是否存在常数 a, b ,使得 f ? x ? ? ax ? b ? g ? x ? 对任意的 x ? 0 恒成立?若存在,求 出 a, b 的值; 若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a, (an ? 1)(an ?1 ? 1) ? 6( S n ? n) ,

4

n? N?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若对于 ?n ? N ? ,都有 S n ? n(3n ? 1) ,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? 2 时,将数列 ?an ? 中的部分项按原来的顺序构成数列 ?bn ? ,且 b1 ? a2 , 证明:存在无数个满足条件的无穷等比数列 ?bn ?

连云港市 2017 届高三第一学期期末调研考试 数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答, 若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1]:几何证明选讲(本小题满分 10 分) 如图, AB 为半圆 O 的直径, D 为弧 BC 中点, E 为 BC 的中点, 求证: AB ? BC ? 2 AD ? BD

B.[选修 4-2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ? 值. C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线

? 1 a? ?2? 的一个特征值为 2 ,其对应的一个特征向量为 ? ? ? ? ,求 a, b 的 ? ? ?1 b ? ?1 ?

? x ? 1 ? 3cos t ? (t 为参数) ,当圆心 C l : 2 ? sin(? ? ) ? m( m ? R) ,圆 C 的参数方程为 ? 4 ? y ? ?2 ? 3sin t
到直线 l 的距离为 2 时,求 m 的值. D[选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c 为正实数,

1 1 1 ? ? ? 27 abc 的最小值为 m ,解关于 x 的不等式 a 3 b3 c 3
5

x ?1 ? 2x ? m .
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答 时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 22.(本题满分 10 分) 甲、乙、丙分别从 A, B, C , D 四道题中独立地选做两道题,其中甲必选 B 题. (1)求甲选做 D 题,且乙、丙都不做 D 的概率; (2) 设随机变量 X 表示 D 题被甲、 乙、 丙选做的次数, 求 X 的概率分布和数学期望 E ? X ? . 23. (本题满分 10 分) 已知等式 (1 ? x) (1)求 (1 ? x)
2 n ?1

? (1 ? x) n ?1 (1 ? x n ) .

2 n ?1

0 n 1 n ?1 n ?1 1 的展开式中含 x n 的项的系数,并化简 Cn ? ? ? Cn ?1Cn ? Cn ?1Cn ?1 Cn ;

1 2 2 2 n 2 n (2)证明: (Cn ) ? 2(Cn ) ? ? ? n(Cn ) ? nC2 n ?1 .

6

试卷答案 一、填空题
1. ??2, 0,3? 11. 8 2. 2 3. 14 4. 20 5. 1 6. 7. 5? 8. ?

1 2

9. 2

10. (??, ?3]

12.

5 7 14

13. ? 7,13?

14. ??20, ?16?

二、 、解答题
15.(1)由正弦定理可知, 2 cos A(sin B cos C ? sin C cos B) ? sin A , 即 2 cos A sin A ? sin A ,因为 A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? 0 , 所以 2 cos A ? 1 ,即 cos A ? 又 A ? (0, ? ) ,所以 A ? (2)因为 cos B ? 分 所以 sin 2b ? 2sin B cos B ? 分 所以 sin ? B ? C ? ? sin[ B ? ( 12 分 2分

?
3

1 , 2
6分

4分

.

3 4 , B ? (0, ? ) ,所以 sin ? 1 ? cos 2 B ? , 5 5 24 7 , cos 2 B ? 1 ? 2sin 2 B ? ? , 25 25

8

10

2? 2? 2? 2? ? B)] ? sin(2 B ? ) ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin 3 3 3 3

??

24 1 7 3 7 3 ? 24 . ? ? (? ) ? ? 25 2 25 2 50

14 分

16.(1)取 BE 的中点 F ,连接 CF , MF ,

7

又 M 是 AE 的中点,所以 MF // AB, MF ? 又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点, 所以 NC // AB, NC ?

1 AB , 2

1 AB , 2
4分

所以 MF // NC , MF ? NC ,所以四边形 MNCF 是平行四边形, 所以 MN // CF ,又 MN ? 平面 EBC , CF ? 平面 EBC , 所以 MN // 平面 EBC . 7分

(2)在矩形 ABCD 中, BC ? AB , 又平面 EAB ? 平面 ABCD ,平面 ABCD ? 平面 EAB ? AB , BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 EAB , 又 EA ? 平面 EAB ,所以 BC ? EA , 又 EA ? EB, BC ? EB ? B, EB, BC ? 平面 EBC , 所以 EA ? 平面 EAB EBC . 17.(1)过 B 作 MN 的垂线,垂足为 D , 在 Rt ?ABD 中, tan ?BAD ? tan ?BAN ? 所以 AD ? 14 分 10 分

BD 3 ? , AD 4

4 BD , 3 BD ? 1, CD

在 Rt ?BCD 中, tan ?BCD ? tan ?BCN ? 所以 CD ? BD ,则 AC ? BD ? CD ? 所以 CD ? 3, AD ? 4 , 由勾股定理得 AB ?

4 BD ? BD ? 1 ,即 BD ? 3 , 3

AD 2 ? BD 2 ? 5(km) ,
4分

所以 A, B 两镇间的距离为 5km

8

(2)方案①:沿线段 AB 在水下铺设时,总铺设费用为 5 ? 4 ? 20 万元 分 方案②:设 ?BPD ? ? ,则 ? ? (? 0 , 在 Rt ?BDP 中, DP ?

6

?
2

) ,其中 ? 0 ? ?BAN

BD 3 BD 3 , BP ? , ? ? tan ? tan ? sin ? sin ? 3 所以 AP ? 4 ? DP ? 4 ? , tan ? 6 12 2 ? cos ? 则总铺设费用为 2 AP ? 4 BP ? 8 ? ? ? 8? tan ? sin ? sin ?

8分

sin 2 ? ? (2 ? cos ? ) cos ? 1 ? 2 cos ? 2 ? cos ? 设 f ?? ? ? ,则 f ? ?? ? ? , ? sin 2 ? sin 2 ? sin ?
令 f ? ?? ? ? 0 ,得 ? ?

?
3

,列表如下:

?
f ? ?? ?
f ?? ?
所以 f

(? 0 , ) 3
-

?

? 3
0 极小值

( , ) 3 2
+

? ?

?

?

?? ? 的最小值为 f (

?
3

) ? 3.

所以方案②的总铺设费用最小为 8 ? 6 3 万元,此时 AP ? 4 ? 3 ,而 8 ? 6 3 ? 20 . 12 分 所以应选择方案②进行铺设,点 P 选在 A 的正西方向 (4 ? 3) km 处,总铺设费用最低. 14 分

?c 2 ? ? ? ?a ?a ? 4 2 18.(1)由题意,得 ? ,解得 ? ,则 b ? 2 2 , 2 ? ?c ? 2 2 ?c ? a ? 6 2 ? c ?

9

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 8

4分

(2)由题可设直线 PA 的方程为 y ? k ( x ? 4) , k ? 0 ,则 M (0, 4k ) , 所以直线 FN 的方程为 y ? ①当直线 PA 的斜率为

2 2 2 ( x ? 2 2) ,则 N (0, ? ) , 4k k

1 1 ,即 k ? 时, M (0, 2), N (0, ?4), F (2 2, 0) , 2 2

因为 MF ? FN ,所以圆心为 (0, ?1) ,半径为 3, 所以 ?FMN 的外接圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 9 .
2 2

8分

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 ②联立 ? x 2 y 2 消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 0 , ?1 ? ? ?16 8

4 ? 8k 2 4 ? 8k 2 8k 解得 x1 ? ?4, x2 ? ,所以 P ( , ), 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
直线 AN 的方程为 y ? ?

10 分

8k 2 ? 4 8k 1 , ), ( x ? 4) ,同理可得 Q( 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2k

所以 P, Q 关于原点对称,即 PQ 过原点, 所 以

?APQ







1 16k 32 S ? OA ? ( yP ? yQ ) ? 2? ? ?8 2 2 1 2 1 ? 2k 2k ? k

14 分 当且仅当 2k ?

2 1 ,即 k ? 时,取“=” 2 k
16 分

所以 ?APQ 的面积的最大值为 8 2 . 19. (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 当 a ? 0 时, f ? x ? ? x(

x2 ,所以 f ? x ? ? 0 的解集为 ?0? ; 2e

x ? a) , 2e

若 a ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 的解集为 ? 0, 2ea ? ; 若 a ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 的解集为 ? 2ea, 0? ;
10

综上所述, 当 a ? 0 时,f ? x ? ? 0 的解集为 ?0? ; 当a ? 0, 则 f ? x ? ? 0 的解集为 ? 0, 2ea ? ; 当 a ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 的解集为 ? 2ea, 0? ; (2)设 h ? x ? ? f ( x ) ? g ? x ? ? 令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? 4分

x2 x 1 x2 ? e , ? lnx ,则 h? ? x ? ? ? ? 2e e x ex

e ,列表如下:
(0, e )
-

x
h? ? x ?
h ? x?
所以函数 h ? x ? 的最小值为 h 所以 h ? x ? ?

e
0 极小值

( e , ??)
+

?

?

? e? ? 0 ,
8分

x2 ? ln x ? 0 ,即 f ? x ? ? g ? x ? . 2e

3、假设存在常数 a, b 使得 f ? x ? ? ax ? b ? g ? x ? 对任意的 x ? 0 恒成立,



x2 ? 2ax ? b ? ln x 对任意的 x ? 0 恒成立, 2e

而点 x ?

e 时, ln x ?

x2 1 1 1 ? ,所以 ? 2a e ? b ? , 2e 2 2 2

所以 2a e ? b ?

1 1 ,则 b ? ? 2a e . 2 2

所以

x2 x2 x2 x2 1 ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a e ,所以 ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a e ? ? 0 , 2e 2e 2e 2e 2

1 ? 0 ,所以在 (0, ??) 上不恒成立; 2 2 1 1 ②当 a ? 0 时, 4a 2 ? (2a e ? ) ? 0 ,即 (2a e ? ) 2 ? 0 , e 2 2
①当 a ? 0 时, 2a e ? 所以 a ?

1 2 e

,则 b ? ?

1 . 2

12 分

令 ? ? x ? ? ln x ?

1 1 e?x ,令 ? ? ? x ? ? 0 ,得 x ? e , x ? ,则 ? ? ? x ? ? 2 ex e

11

当0 ? x ? 当x?

e 时, ? ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 (0, e ) 上单调增;

e 时, ? ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 在 ( e , ??) 上单调减,

所以 ? ? x ? 的最大值为 ?

? e ? ? 0 ,所以 ln x ?

1 1 x ? ? 0 恒成立, 2 e
16 分

所以存在 a ?

1 , b ? ? 符合题意. 2 2 e

1

20、 (1)当 n ? 1 时, (a1 ? 1)(a2 ? 1) ? 6( S1 ? 1) ,故 a1 ? 5 , 当 n ? 2 时, (an ?1 ? 1)(an ? 1) ? 6( S n ?1 ? n ? 1) , 所以 (an ? 1)(an ?1 ? 1) ? ( an ?1 ? 1)( an ? 1) ? 6( S n ? n) ? 6( S n ?1 ? n ? 1) , 即 (an ? 1)(an ?1 ? an ) ? 6(an ? 1) 又 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ? 6 , 所以 a2 k ?1 ? a ? 6(k ? 1) ? 6k ? a ? 6, a2 k ? 5 ? 6(k ? 1) ? 6k ? 1 ,

?3n ? a ? 3, n为奇数n ? N ? ? 故 an ? ? ? ? ?3n ? 1, n为偶数n ? N
(2)当 n 为奇数时, S n ? 由 S n ? n(3n ? 1) 得, a ? 令 f ?n? ?

5分

1 (3n ? a ? 2)(3n ? 3) ? n , 6

3n 2 ? 3n ? 2 恒成立, n ?1

3n 2 ? 3n ? 2 3n 2 ? 9n ? 4 f ? n ? 1? ? f ? n ? ? ? 0, n ?1 (n ? 2)(n ? 1)
8分

所以 a ? f ?1? ? 4 , 当 n 为偶数时, S n ?

1 ? 3n(3n ? a ? 1) ? n , 6

由 S n ? n(3n ? 1) 得, a ? 3(n ? 1) 恒成立, 所以 a ? 9 , 由 a1 ? a ? 0 ,所以实数 a 的取值范围是 (0, 4] (3)设 b2 ? ak2 ? 3k2 ? 1(k2 ? 3) ,所以公比 q ?
12

10 分

3k2 ? 1 , 5

因为等比数列 ?bn ? 的各项为整数,所以 q 为整数, 取 k2 ? 5m ? 2(m ? N ? ) ,则 q ? 3m ? 1 ,故 bn ? 5 ? (3m ? 1) n ?1 , 由 3kn ? 1 ? 5 ? (3m ? 1) n ?1 得, kn ? [5 ? (3m ? 1) n ?1 ? 1] , 而当 n ? 2 时, kn ? kn ?1 ?

1 3

5 [(3m ? 1) n ?1 ? (3m ? 1) n ? 2 ] ? 5m(3m ? 1) n ? 2 , 3
14 分

即 kn ? kn ?1 ? 5m(3m ? 1) n ? 2 .

13


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