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2012年华约自主自主招生数学试题及详解


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2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)
数学部分
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)在锐角 ?ABC 中,已知 A>B>C ,则 cos B 的取值范围为( ) (A) ? 0, ?

? ?

2? ? 2 ? ?

(B) ? ,

?1

?2

2? ? 2 ? ?

(C)

? 0,1?

(D) ? ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

(2)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这 6 枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红 棋子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同的排列方式共有( ) (A) 36 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)120 种 (3)正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成角为 ? ,侧面与底面所成二面角为 ? ,侧棱 SB 与 底面正方形 ABCD 的对角线 AC 所成角为 ? ,相邻两侧面所成二面角为 ? , 则 ? , ? , ? , ? 之 间的大小关系是( ) (A)

?<?<?<? (B) ?<?<? <?

(C)

?<? <?<?

(D)

?<?<? <?

(4)向量 a ? e , e ? 1 。若 ?t ? R , a ? te ? a ? e 则( ) (A) a ? e (5)若复数 (B) a ? (a ? e) (C) e ? (a ? e) (D) (a ? e) ? (a ? e)

w ?1 1 的实部为 0, Z 是复平面上对应 的点,则点 Z ? x, y ? 的轨迹是( ) w ?1 1? w
(B) 一条线段 (C) 一个圆
2

(A) 一条直线

(D)一段圆弧

2 (6)椭圆长轴长为 4,左顶点在圆 ( x ? 4) ? ? y ? 1? ? 4 上,左准线为 y 轴,则此椭圆离心率的

取值范围是( ) (A) ? , ? ?8 4 ?

?1 1 ?

(B) ? , ? ?4 2?

?1 1?

(C) ? , ? ?8 2 ?

?1 1 ?

(D) ? , ? ?2 4?

?1 3?

(7)已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 为正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 ?SBC 的垂 心,二面角 H ? AB ? C 为 30°,且 SA ? 2 ,则此三棱锥的体积为( ) (A)

1 2

(B)

3 2

(C)

3 4

(D)

3 4

1

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(8)如图,在锐角 ?ABC 中, AB 边上的高 CE 与 AC 边上的高 BD 交于点 H 。以 DE 为直径作 圆与 AC 的另一个交点为 G 。已知 BC ? 25 , BD ? 20 , BE ? 7 ,则 AG 的长为( )

8
(A)

(B)

42 5

(C)10

(D)

54 5

(9)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? lg(1 ?

2 ) , n ? 1, 2, ??? 。 Sn 是数列的前 n 项和。则 n ? 3n
2

lim S n ? ( )
n ??

(A) 0

(B)

lg

3 2

(C) lg 2
10

(D) lg 3
10

(10)已知 ?6 ? xi ? 10 (i ? 1, 2, ???10),

? xi ? 50 ,当 ? xi 2 取得最大值时,在 x1, x2 , ???x10 这十
i ?1 i ?1

个数中等于 ?6 的数共有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D) 4 个 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11)(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c 。已知 2sin 2 ① 求 C 的大小 ② 若 c ? 2b ? 2a ,求 cos 2 A ? cos 2 B 的值
2 2 2

A? B ? 1 ? cos 2C 2

(12)(本小题满分 14 分) 已知两点 A ? ?2,0? , B ? 2,0? ,动点 P 在 y 轴上的射影是 H ,且 PA ? PB ? 2 PH ① 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ② 已知过点 B 的直线交曲线 C 于 x 轴下方不同的两点 M , N ,设 MN 的中点为 R ,过 R 于 点 Q ? 0, ?2 ? 作直线 RQ ,求直线 RQ 斜率的取值范围。 (13)(本小题满分 14 分)

??? ??? ? ?

???? 2

1) 系统中每个元件正常工作的概率都是 p(0<p< ,各个元件正常工作的事件相互独立,如
果系统中有多于一半的元件正常工作,系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的 可靠性。 (1) 某系统配置有 2k ? 1 个元件, k 为正整数,求该系统正常工作概率的表达式 (2) 现为改善(1)中系统的性能,拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后,能否提高 系统的可靠性。 (14) (本小题满分 14 分)

x2 xn ? ??? ? , n ? 1, 2??? 证明:当 n 是偶数时,方程 f n ( x) ? 0 没有实 记函数 f n ( x ) ? 1 ? x ? 2! n!

2

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根;当 n 是奇数时,方程 f n ( x) ? 0 有唯一的实根 ?n



且 ?n>?n? 2 。

(15) (本小题满分 14 分) 某乒乓球培训班共有 n 位学员,在班内双打训练赛期间,每两名学员都作为搭档恰好参加过 一场双打比赛。试确定 n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。

3

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2012 年华约数学参考答案
一、选择题 ACBCA B 略 DDC 二、解答题 11 解: (1)C=2/3∏; (2) cos 2 A ? cos 2 B =3/4 12 解:

AP ? BP ? 2 PH 2
(1)设 P(x,y),则 H(0,y),由 得(x ? 2, y) (x - 2, y) ? 2x2 , 即y 2 - x 2 ? 4 ?

(2)令 CD: x ? m y ? 2(m ? 0) 代入 y 2 ? x 2 ? 4 ,整理得

(1 ? m2 ) y 2 ? 4my ? 8 ? 0
因为直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C( x1 , y1 ),D( x2 , y2 )两点所以上式有两个负根,由

?1 ? m 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? 16m ? 32(1 ? m )? 0 ? ? y1 ? y2 ? 4m 2 0 ? 1? m? 2 1? m ? ? ?8 ?0 ? y1 y2 ? 1 ? m2 ?
根据韦达定理,得 CD 中点 M 的坐标为

M(

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2m , )?( , ) 2 2 2 1 ? m 1 ? m2

代入直线 MQ 的方程 y+2=kx,(k 为其斜率)得

2m 2k ?2? 2 1? m 1 ? m2
所以,k= ? m ? m ? 1 ? ?(m ? ) ?
2 2

1 2

5 ? ( 2 ? 1,1) ,(1 ?m? 2 ) . 4

13 解答:显然 PK ?
n n

?C
n ?0

K ?1

n 2 k ?1

(1 ? p) n p 2 k ?1?n ,
n?2

注意到 C2k ?1 ? C2k ?1 ? 2C2k ?1 ? C2k ?1 , 所以 PK ?1 =

n?1

?C
n ?0

k

n

n 2 k ?1

(1 ? p) p 2k ?1?n

4

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=
k

? (C
n ?0

k

n 2 k ?1

n 1 n 2 ? 2C2 k??1 ? C2 k??1 )(1 ? p) n p 2 k ?1?n

= n ?0
k

? C2nk ?1 (1 ? p)n p 2k ?1?n ? 2? C2nk??11 (1 ? p)n p 2k ?1?n ? ? C2nk??21 (1 ? p)n p 2k ?1?n
n ?1 k n?2 k n 2 k ?1

k

k

= n ?0

?C
k ?1

(1 ? p) p
n

2 k ?1? n

? 2? C
n ?0

n ?1 2 k ?1

(1 ? p)

n ?1

p

2 k ?n

n 2 ? ? C2k??1 (1 ? p) n? 2 p 2k ?1?n n ?0

= n ?0

?C

n 2 k ?1

(1 ? p) n p 2k ?1?n ( p 2 ?2(1 ? p) p ? (1 ? p 2 ) )

k k 1 ? C2k ?1 (1? p)k pk ?1 ? C2k??1 (1? p)k ?1 pk

= n ?0

?C

k ?1

n 2 k ?1

k (1 ? p) n p 2 k ?1?n ?C2 k ?1 (1 ? p) k p k ( p ? (1 ? p))

=

k PK ? C2k ?1 (1? p)K pk (2 p ?1)

因此,当 p≥ 14 证明:

1 2

时,{ pk }递增,当 P≥

1 时,{ pk }递减。 2

用数学归纳法证明 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一解 x2 n?1 且严格单调递增, f 2n ( x) ? 0 无实数解, 显然 n=1 时, 此时 f1 ( x) ?1 ? x 有唯一解 x1 ? ?1 ,且严格单调递增,而 f 2 ( x) ? 1 ? x ?

x2 无实数解,现在假设 2

f 2n?1 ( x) ? 0 有 唯 一 解 x2n?1 且 严 格 单 调 递 增 , f 2n ( x) ? 0 无 实 数 解 , 于 是 注 意 到 f 2?n?1 ( x) ? f 2n ( x), f 2n ? 1 时,对任意的 0≤k≤n 有 x+2k+1≤0,于是
f 2n?1 ( x) ? ? (
k ?0 n

x 2k x 2k ? ( x ? 2k ? 1) ,所以 f 2n?1 (?2n ?1)?0, (2k )! (2k ? 1)!

又因为 f 2n?1 (0) ? 1? 0, 所以由 f 2n?1 ( x) 严格递增知 f 2n?1 ( x) ? 0 有唯一根 0 ? x2 n?1 ? ? 2n ? 1, 对于 f 2n? 2 ( x) 有 f 2n?2 ? f 2?n?2 ( x) ? f 2n?1 ( x) ,所以(—∞, x2 n?1 )上,递减,在( x2 n?1 ,+∞)上, 递增,所以
2n? 2n? x2 n?12 x2 n?12 min f 2 n? 2 ( x) ? f 2 n? 2 ( x2 n?1 ) ? ? ? 0, x?R (2n ? 2)! (2n ? 2)!

5

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因此, f 2n?2 ( x) ? 0 无实数解 综上所述,对任意正整数 n,当n为偶数时 f n ( x) ? 0 无解,当n为奇数 f n ( x) ? 0 有唯一解 xn 。 再证 x2n?1 ? x 2n?1 ,事实上,由

f 2n?1 ( x) 的严格单调性,只需验证 f ( x )?0 ,注意到 2 n?1 2 n?1

2n x 2 n ?1 f 2n?1 ( x) - f 2n?1 ( x) = x ,由上述归纳法证明过程中, x2n?1 ? ? 2n ?1 ,所以 ? (2n)! (2n ? 1)! 2n 2 n ?1 2n x2 n?1 x2 n?1 x2 n?1 f f 2 n?1 ( x2 n?1 ) ? ? ? ?? ( x2 n?1 ? 2n ? 1)?0 , (2n)! (2n ? 1)! (2n ? 1)!

因此 x2n?1 ? x2n?1 ,综上所述,原命题得证。 15 假设比赛了 K 场, 那么由题目假设, 一场比赛出现了 2 对队友, 所以 Cn =2k, 也就是说 4k=n(n-1), 那么得到 n=4l 或者 4l+1,期中 l ? N,下边证明,对于任意的 n=4l,或者 4l+1,其中 l ? N,都可以构造 出满足要求的比赛:n=4l+1,的时候,对于 L 使用数学归纳法: (1)当 L=1 的 时 候 ,N=5 ,此 时 假 设这 5 名 选手为 A,B,C,D,E, 那 么 如 下安 排 比 赛 即可 , AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE. (2)设当 L=M 时结论成立, L=M+1 时, 4M+5 选手为 A,B,C,D,E F 1 , F 2 , F21 , F22 ?, F21m , F22 , 则 设 1 1 m 由归纳假设,可以安排 E,
2

F11, F12 , F21, F22 ,?, F21m , F22m 之间的比赛,使得他们之间每两位选手的作 F11, F12 ,?, F21m , F22m 之

为队友恰好只参加过一次比赛, 还剩下 A,B,C,D, E,相互的比赛和 A,B,C,D 与 间的比赛,A,B,C,D 与
1 2 2

F11, F12 ,?, F21m , F22m 之间的比赛安排如下:
1 1 2 2 1

A FL 与 B FL ,A FL 与 B FL ,C FL 与 D FL ,C FL 与 D FL ,满足要求。 最后将这些比赛总计起来,就是满足要求的 4M+5 位选手之间的的比赛了。 由数学归纳法得证,N=4L 时,对 L 使用数学归纳法,可以类似方法证明(略) 。 综上所述,N 的所有可能取值是 N=4L 或 4L+1,其中 L ? N.

6


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