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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第九篇 解析几何第7讲 抛物线)


第7讲 抛物线

【2013年高考会这样考】 1.考查抛物线定义、标准方程. 2.考查抛物线的焦点弦问题. 3.与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等. 【复习指导】 熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式,会根据抛物线 的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标 准方程;掌握代数知识,平面几何知识在解析几何中的作用.

基础梳理 1.抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. F 叫做抛物线的焦点, 点 直线 l 叫做抛物线的 准线 . 其数学表达式:

|MF|=d(其中d为点M到准线的距离) .

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准 方程

y 2= y2=- x 2= x2=-2py 2px 2px 2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离

图形

顶点 对称 轴 焦点 离心 率 y=0
?p ? F?2,0? ? ?

O(0,0) x=0
? p? F?0,2? ? ? ? p? F?0,-2? ? ?

? p ? F?-2,0? ? ?

e=1

续表
准线 方程 p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 p y= 2

范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口 方向 焦半 径 向右 |PF|= p x0+2 向左 |PF|= p -x0+2 向上 |PF|= p y0+2 向下 |PF|= p -y0+2

一个结论 焦半径:抛物线y p 距离|PF|=x0+2. 两种方法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的 值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p的值, 这里要注意抛物线标准方程有四种形式.从简单化角度出发, 焦点在x轴的,设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴的,设为x2= by(b≠0).
2

?p ? =2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F ?2,0? 的 ? ?

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离 是( ).

A.1 B.2 C.4 D.8 解析 答案 由2p=8得p=4,即焦点到准线的距离为4. C

2.(2012· 金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛 物线的标准方程是( A.x2=-12y C.y2=-12x ).

B.x2=12y D.y2=12x

p 解析:2=3,∴p=6,∴x2=-12y. 答案:A

3.(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程x=-2,则 抛物线的方程是( ).

A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x 解析 由准线方程x=-2,顶点在原点,可得两条信息:①该 抛物线焦点为F(2,0);②该抛物线的焦准距p=4.故所求抛物线 方程为y2=8x. 答案 C

4.(2012· 西安月考)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4, 则点P到该抛物线焦点的距离是( A.4 B.6 C.8 D.12 解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x=-2,又由点P 到y轴的距离为4,可得点P的横坐标xP=4,由抛物线定义可知 p 点P到焦点的距离等于其到准线的距离,即|PF|=xP+ 2 =xP+2 =4+2=6. 答案 B ).

5.(2012· 长春模拟)抛物线y2=8x的焦点坐标是________. 解析 ∵抛物线方程为y2=8x,∴2p=8,即p=4.∴焦点坐标 为(2,0). 答案 (2,0)

考向一 抛物线的定义及其应用 【例1】?(2011· 辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛 物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离 为( ).

3 5 7 A.4 B.1 C.4 D.4 [审题视点] 由抛物线定义将|AF|+|BF|转化为线段AB的中点到 准线的距离即可.

解析

设抛物线的准线为l,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛

物线的定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则AB的中点到y轴 1 1 5 的距离为2(|AA1|+|BB1|)-4=4. 答案 C

涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利 用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.

【训练1】

(2011· 济南模拟)已知点P是抛物线y2=2x上的一个

动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之 和的最小值为( 17 A. 2 解析 ).

9 B.3 C. 5 D.2 由抛物线的定义知,点P到该抛物线的距离等于点P到

其焦点的距离,因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准 线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之 和,显然,当P、F、(0,2)三点共线时,距离之和取得最小 值,最小值等于 答案 A
? 1? 2 ?0- ? +?2-0?2= 2? ?

17 . 2

考向二 抛物线的标准方程及性质 【例2】?(1)(2011· 南京模拟)以原点为顶点,坐标轴为对称轴, 并且经过P(-2,-4)的抛物线方程为________. (2)(2010· 浙江)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点 A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的 距离为________. [审题视点] (1)为求抛物线的方程问题,用待定系数法求解,

根据题设条件,按焦点所在位置的可能情况,分类讨论. (2)抓住FA的中点B在抛物线上,求出p.

解析 (1)由于点P在第三象限. ①当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p>0), 把点P(-2,-4)代入得:(-4)2=-2p×(-2), 解得p=4,∴抛物线方程为y2=-8x. ②当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p>0),把点 P(-2,-4)代入得:(-2)2=-2p×(-4). 1 解得p=2.∴抛物线方程为x2=-y. 综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.

?p ? (2)抛物线的焦点F的坐标为?2,0?,则线段FA的中点B的坐标为 ? ? ?p ? p ? ,1? ,代入抛物线方程得1=2p× ,解得p= 4 ?4 ? ? 标为? ? ?

2,故点B的坐

? 2 2 3 2 2 ? ,故点B到该抛物线准线的距离为 4 + 2 = 4 . 4 ,1? ?

答案

3 2 (1)y =-8x或x =-y (2) 4
2 2

(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判 断焦点位置,开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由 于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线 的标准方程.

【训练2】 已知F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,M为其上一 点,且|MF|=2p,则直线MF的斜率为( 3 3 A.- B.± C.- 3 D.± 3 3 3 解析
? p? p ?0, ? ,准线为y=- ,过点M作MN垂直 依题意,得F 2? 2 ?

).

于准线于N,过F作FQ垂直于MN于Q, 则|MN|=|MF|=2p,|MQ|=p,故∠MFQ=30° , 3 3 即直线MF的倾斜角为150° 或30° ,斜率为- 或 . 3 3 答案 B

考向三 抛物线的综合应用 【例3】?(2011· 江西)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率 为2 2 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若 OC =OA +λOB ,求λ 的值. [审题视点] (1)联立方程,利用焦点弦公式求解;(2)先求出A、 B坐标,利用关系式表示出点C坐标,再利用点C在抛物线上求 解.

解 (1)直线 AB 的方程是 y=2
2 2

? p? 2?x-2?, y2=2px 与 ? ?

联立, 从而

5p 有 4x -5px+p =0,所以 x1+x2= , 4 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2); → 设OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 又 y3=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0,或 λ=2.

本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方 程与几何性质、平面向量知识,以及数形结合思想和化归思 想.其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程,设而不 求,并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化.

【训练3】 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C 相交于A、B两点. (1)设L的斜率为1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA· 是一个定值. OB (1)解 ∵F(1,0),∴直线L的方程为y=x-1,
?y=x-1, ? 设A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ?y =4x ?

得x2-6x+1=0,

∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 36-4=8.

(2)证明 设直线L的方程为x=ky+1,
?x=ky+1, ? 由? 2 ?y =4x ?

得y2-4ky-4=0.

∴y1+y2=4k,y1y2=-4, → → OA=(x1,y1),OB=(x2,y2). → → ∵OA· =x1x2+y1y2 OB =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3. → → ∴OA· 是一个定值. OB

阅卷报告14——忽视“判别式”致误 【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有 公共点的重要方法,在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有 时不需要考虑判断式,致使有的考生思维定势的原因,任何情 况下都没有考虑判别式,导致解题错误. 【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式Δ.

【示例】?(2010· 福建)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1, -2). (1)求抛物线C的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛 5 物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于 5 ?若存在,求出 直线l的方程;若不存在,说明理由. 错因 遗漏判别式的应用.

实录

(1)将点A(1,-2)代入y2=2px,得p=2,故所求抛物线

C的方程为y2=4x, 其准线方程为x=-1. (2)假设存在直线l,设l:y=-2x+t, 5 由直线OA与l的距离d= , 5 |t| 1 得 = ,解得t=± 1. 5 5 故符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0或2x+y+1= 0.

正解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p· 1, 所以p=2. 故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,
?y=-2x+t, ? 由? 2 ?y =4x, ?

得y2+2y-2t=0.

因为直线l与抛物线C有公共点, 1 所以Δ=4+8t≥0,解得t≥- . 2

5 另一方面,由直线OA与l的距离d= 5 , |t| 1 可得 = ,解得t=± 1. 5 5
? 1 ? ? 1 ? 因为-1??-2,+∞?,1∈?-2,+∞?, ? ? ? ?

所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.

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