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高二上学期数学知识点总结


高二数学期末复习知识点总结
一、直线与圆:

倾斜角
直线的倾斜角 ? 的范围是 [0, ?) 在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转 到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? , ? 就叫做直线的倾斜角。 当直线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0;

斜率:已知直线的倾斜角为 α,且 α≠90°,则斜率 k=tanα.
过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率 k=( y2-y1)/(x2-x1),另外切线的斜率用求
导的方法。

直线方程: ⑴点斜式: 直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k , 则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , ⑵斜截式:直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
① l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 .

两条直线的位置关系
直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系:

(1)平行 ? A1/A2=B1/B2 点到直线的距离公式

注意检验 (2)垂直 ? A1A2+B1B2=0

点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离公式 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



两条平行线的距离公式
两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离是 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
注意能将标准方程化为一般方程

过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与 x
轴垂直的直线.

直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系 ,或者利用垂径定理,构造
直角三角形解决弦长问题.① d ? r ? 相离 ② d ? r ? 相切 ③ d ? r ? 相交 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、 弦心距构成直角三角形)
2 2 直线与圆相交所得弦长 | AB |? 2 r ? d

1

二、圆锥曲线方程:

椭圆: ①方程 x2
a

2

?

2 2 y2 ? 1 (a>b>0)(焦点在 x 轴);[焦点在 y 轴时 a 在 y 下面] b2

②定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c; ③ e= c ? 1 ? b 2 ④长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c; a =b +c ;
2 2 2
2

a

a

双曲线:①方程

x 2 y2 2 ? 2 ? 1 (a,b>0) (判断焦点位置方法:a 前有无负号,若有,则 2 a b

焦点在 y 轴,反之); ②定义: ||PF1|-|PF2||=2a<2c; ③e= c ? 1 ? b 2 ;④实轴长为 2a,虚轴长为 2b,焦距为 2c;
a a
2

渐进线

b x 2 y2 ? 2 ?0或y?? x 2 a a b
2

c =a +b
2

2

2

2

抛物线 :①方程 y2=2px(开口向右) 方程 y2=-2px(开口向左)
方程 x =2py (开口向上) ②定义:|PF|=d 焦点 F( 方程 x =-2py (开口向下);

p p ,0),准线 x=- ; 2 2

③焦半径 AF ? x A ?

p ; 焦点弦 AB =x1+x2+p; 2

4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式: 5、注意解析几何与向量结合问题:

? ? a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) . ? ? ? ? ? ? (1) a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;(2) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ? ? ? ?

2、数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ ,则数量|a||b|cosθ 叫 做 a 与 b 的数量积,记作 a·b,即 a ? b ?| a || b | cos? ? x1 x2 ? y1 y2 3、模的计算:|a|= a 2 . 算模可以先算向量的平方

? ? ? ? ? ? ? 4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用:如 a ? b ? c ? a ? c ? b ? c

?

?

三、直线、平面、简单几何体: 1、学会三视图的分析 2、斜二测画法应注意的地方: (1)在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、Oy。画直观图时,把它画成对应轴 o'x'、 o'y'、使∠x'o'y'=45° (或 135° );
2

(2)平行于x轴的线段长不变,平行于y轴的线段长减半. (3) 直观图中的45度原图中就是90度, 直观图中的90度原图一定不是90度. 3、表(侧)面积与体积公式: ⑴柱体:①表面积:S=S 侧+2S 底;②侧面积:S 侧= 2?rh ;③体积:V=S 底 h ⑵锥体:①表面积:S=S 侧+S 底;②侧面积:S 侧= ?rl ;③体积:V= ⑶台体①表面积:S=S 侧+S 上底 S 下底②侧面积:S 侧= ? (r ? r ' )l

1 S 底 h: 3

4 ⑷球体:①表面积:S= 4?R 2 ;②体积:V= ?R 3 3
4、位置关系的证明(主要方法):注意立体几何证明的书写 (1)直线与平面平行:①线线平行 ? 线面平行;②面面平行 ? 线面平行。

(2)平面与平面平行:①线面平行 ? 面面平行。

(3)垂直问题:线线垂直 ? 线面垂直 ?面面垂直。核心是线面垂直:垂直平面内的 两条相交直线

5、求角:(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法:平移法:平移直线,构造三角形; ⑵直线与平面所成的角:直线与射影所成的角 四、导数: 导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题) 1、导数的定义: f ( x) 在点 x 0 处的导数记作 y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

?x ?0

.

2. 导数的几何物理意义:曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 ①k=f (x0)表示过曲线 y=f(x)上 P(x0,f(x0))切线斜率。 V=s (t) 表示加速度。
3
/ /

表示即时速度。 a=v (t)

/

' 3.常见函数的导数公式:1. C ? 0 ;

2. ( x n ) ' ? nxn?1 ; 3.4. (cosx) ' ? ? sin x (sin x) ' ? cos x ; 5. (a x ) ' ? a x ln a ; 6. (e x ) ' ? e x ;

1 ; x ln a 1 ' 8。 (ln x ) ? 。 x
7. (log a x ) ?
'

4.导数的四则运算法则:加(减)法则:(f+g)'=f'+g' 乘法法则: (f·g)'=f'·g+g'·f 除法法则:(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g2 5.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为减函数; 注意:如果已知 f ( x) 为减函数求字母取值范围,那么不等式 f ?( x) ? 0 恒成立。 (2)求极值的步骤: ①求导数 f ?( x) ; ②求方程 f ?( x) ? 0 的根; ③列表:检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 根的左右的符号, 如果左正右负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤: 1.求 f ?( x) ? 0 的根; 2.把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。 五、常用逻辑用语: 1、四种命题: ⑴原命题:若 p 则 q;⑵逆命题:若 q 则 p;⑶否命题:若 ? p 则 ? q;⑷逆否命题: 若?q 则?p 注:1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。 2、注意命题的否定与否命题的区别:命题 p ? q 否定形式是 p ? ?q ; 否命题是 ?p ? ?q . 命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”; “ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”.

4

3、逻辑联结词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; ⑵或(or): 命题形式 p ? q; ⑶非(not):命题形式 ? p .

p q p?q p?q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假

?p
假 假 真 真

“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”; “且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”; “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件 由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立 的必要条件。 5、全称命题与特称命题: 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 ? 表示。 含有全体量词的命题,叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分, 逻辑中 通常叫做存在量词,并用符号 ? 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

5


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