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2016


第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 复数代数形式的加、 减运算 及其几何意义高效测评 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若复数 z1=1+5i,z2=-3+7i,则复数 z=z1-z2 在复平面内对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析: z=z1-z2=(1+5i)-(-3+7i)=4-2i. 答案: D 2.已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z 等于( A.-3i C.±3i B.3i D.4i )

解析: 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,∴a= 0,b+3≠0.又|z|=3,∴b=3,z=3i. 答案: B → → 3.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若向量OA,OB对应的复数分别 → 是 3+i,-1+3i,则CD对应的复数是( A.2+4i C.-4+2i → → → → 解析: 依题意有CD=BA=OA-OB. 而(3+i)-(-1+3i)=4-2i, → 而CD对应的复数为 4-2i, 故选 D. 答案: D 4.|(3+2i)-(1+i)|表示( ) B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离 D.以上都不对 ) B.-2+4i D.4-2i

A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离 C.点(3,2)到原点的距离 解析: 由减法的几何意义可知. 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.复数 z1=cos θ +i,z2=sin θ -i,则|z1-z2|的最大值为__________

.
1

解析: |z1-z2|=|(cos θ -sin θ )+2i| = ?cos θ -sin θ ? +4 = 5-2sin θ cos θ = 5-sin 2θ ≤ 6. 答案: 6
2

6.已知 x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则 x=________,y= ________. 解析: x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i ∴?
? ?x+4=y-1, ?x+y=3x-1, ?

解得?

? ?x=6, ?y=11. ?

答案: 6 11 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.(1)z1=2+3i,z2=-1+2i.求 z1+z2,z1-z2;

?1 1 ? ?4 3 ? (2)计算:? + i?+(2-i)-? - i?; 3 2 ? ? ?3 2 ?
(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2 008+2 009i)+(2 009-2 010i). 解析: (1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,

z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.

?1 1 ? ?4 3 ? (2)? + i?+(2-i)-? - i? 3 2 ? ? ?3 2 ?
4? ?1 3? ?1 =? +2- ?+? -1+ ?i=1+i. 3? ?2 2? ?3 (3)方法一:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2 008+2 009i)+(2 009-2 010i) =[(1-2)+(3-4)+…+(2 007-2 008)+2 009]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2 008+2 009)-2 010]i =(-1 004+2 009)+(1 004-2 010)i=1 005-1 006i. 方法二:(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…,(2 007 -2 008i)+(-2 008+2 009i)=-1+i. 相加(共有 1 004 个式子),得 原式=1 004(-1+i)+(2 009-2 010i)=(-1 004+2 009)+(1 004-2 010)i=1 005 -1 006i. → → 8.复平面内有 A,B,C 三点,点 A 对应复数是 2+i,向量BA对应复数是 1+2i,向量BC

2

对应复数是 3-i,求 C 点在复平面内的坐标. → → → 解析: AC=BC-BA=(3-i)-(1+2i)=2-3i, 设 C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i, ∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i, 故 x=4,y=-2. ∴C 点在复平面内的坐标为(4,-2). ? 尖子生题库 ?? ☆☆☆

9.(10 分)在复平面内,A,B,C 三点对应的复数 1,2+i,-1+2i.D 为 BC 的中点. → (1)求向量AD对应的复数; (2)求△ABC 的面积. 解析: (1)由条件知在复平面内 B(2,1),C(-1,2). 1 3 ?1 3? 则 D? , ?,点 D 对应复数是 + i, 2 2 ?2 2? → → → ?1 3? ? 1 3? AD=OD-OA=? , ?-(1,0)=?- , ?,

?2 2?

? 2 2?

1 3 → ∴AD对应复数为- + i. 2 2 → → → → (2)AB=OB-OA=(1,1),|AB|= 2, → →

AC=OC-OA=(-2,2),|AC|= 8=2 2, BC=OC-OB=(-3,1),|BC|= 10,
→ 2 → 2 → 2 ∴|BC| =|AC| +|AB| , ∴△ABC 为直角三角形. 1 → → ∴S△ABC= |AB|·|AC| 2 = 1 2·2 2 2 → → →

→ →



=2.

3


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