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河北省石家庄市2016届高三上学期期末调研检测数学文试题Word版含答案

石家庄市 2016 届高三年级调研检测试卷

高三数学(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数 z ? 2 ? i (其中 i 是虚数单位,满足 i2 ? ?1) ,则复数 z 等于 i

A.1? 2i

B.1? 2i

C. ?1? 2i

D. ?1? 2i

2.已知集合 A ? {x | (x ?1)(x ? 2) ? 0}, B ? {x | ?3 ? x ? 0},则 A B 等于

A. (??, ?2)

B. (?2, 0)

C. (0,1)

D. (1, ??)

3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充要条件是

A.| a |?| b |

B. 1 ? 1 ab

C. a2 ? b2

4.设 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和,若 a1 ? 1, S7 ? 70 ,则 a2 等于

D. 2a ? 2b

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5.已知函数 y ? f (x) 满足 f (x ? 5) ? f (x ? 5) ,且 0 ? x ? 5 时, f (x) ? 4 ? x ,则 f (1003) 等



A. ?1

B. 0

C.1

D.12

6.执行如图所示的程序框图,若输入 c 的值为 3 ,则输出的结果为

A. 27

B. 9

C. 8

D. 3

?3x ? y ?1 ? 0 7.设 x, y 满足约束条件 ??x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为
??2x ? y ? 0

A. 2

B.1

C. ?1

D. ?2

8.设函数 f (x) ? sin?x(? ? 0) ,将 y ? f (x) 的图象向左平移 ? 个单位长度后,所得 3

图象与原函数的图象重合,则 ? 的最小值是

A. 1

B. 3

C. 6

D. 9

3

9.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1与直线 y ? x ? m 交于 A, B 两点,且| AB |? 4 2 ,则实数 m 的值是

2

3

A. ?1

B. ? 1 2

C. 2

D. ? 2

10.

设单位向量

e1,

e2

对于任意实数

?

都有

|

e1

?

1 2

e2

|?| e1 ? ?e2 |,则向

量 e1, e2 的夹角为

A. ? 6
C. 2? 3

B. ? 3
D. 5? 6

11.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A. 2 5 3

B. 4 5 3

C. 4 5

D. 2 5

12.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0)

的右焦点 F

作直线

y

?

?b a

x

的垂线,垂足为

A ,交双

曲线的左支于 B 点,若 FB ? 2FA ,则该双曲线的离心率为

A. 3

B.2

C. 5

D. 7

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡的相应位置

13.曲线 f (x) ? x2 ? ln x 在 (1, f (1)) 处的切线的斜率为

14.在区间[?2,1]上随机选一个数 x ,使得| x ?1|? 2 成立的概率为

15.已知

a

?

0且

a

? 1,设函数

f

(x)

?

?x ??2

? ?

2, x ? 3 loga x, x

?

3

的最大值为1,则实数 a

的取值范围是

16.在菱形 ABCD 中, A ? 60 , AB ? 3 ,将 ?ABD 沿 BD 折起到 ?PBD 的位置,若平面

PBD ?平面 CBD ,则三棱锥 P ? BCD 的外接球的体积为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中, BC ? 7, ?A ? 60 .

(Ⅰ)若 cos B ? 6 ,求 AC 的长度; 3
(Ⅱ)若 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

18(本小题满分 12 分)

已知数列{an}的前 n

项和

Sn

?

3n?1 2

?

3 2

(n ?

N*)

(Ⅰ)求数列{an} 的通项公式;

(Ⅱ)若 bn ? an ? log3 an ,求数列{bn}的前 n 项和.

19(本小题满分 12 分)

某学校高中毕业班有男生 900 人,女生 600 人,学校为了对高三学生数学学校情况进行分析,

从高三年级按照性别进行分层抽样,抽取 200 名学生成绩,统计数据如下表所示:

分数段 (分)

[50, 70)

[70, 90)

[90,110) [110,130) [130,150] 总计

频数

20

40

70

50

20

200

(Ⅰ)若成绩在 90 分以上(含 90 分),则成绩为及格,请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人

数;

(Ⅱ)如果样本数据中,有 60 名女生数学成绩及格,请完成如下数学成绩与性别的列联表,并判

断是否有 90%的把握认为:“该校学生的数学成绩与性别有关”.

女生

男生

及格人数

60

不及格人数

总计

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k0 )

0.10

0.050

k0

2.706

3.841

总计
0.010 6.635

20(本小题满分 12 分)
如 图 , 在三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 点 A1 在 平 面 ABC 内 的 射 影 D 为 棱 AC 的 中点 , 侧 面 A1ACC1 是边长为 2 的菱形, AC ? CB, BC ? 1. (Ⅰ)证明: AC1 ? 平面 A1BC ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? A1B1C 的体积..

21(本小题满分 12 分)

已知抛物线 C1

:

x2

?

2 py( p

?

0)

,点

A(

p,

p) 2

到抛物线 C1 的准线的距离为 2

.

(Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;

(Ⅱ)过点 A 作圆 C2 : x2 ? ( y ? a)2 ? 1的两条切线,分别交抛物线于 M , N 两点,若直线 MN 的斜率为 ?1,求实数 a 的值.

22(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? ?ex ? ex (其中 e ? 2.71828 是自然对数的底数)

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最大值;

(Ⅱ)设 g(x) ? ln x ? 1 x2 2

? ax ,若对任意 x1 ?[0, 2] ,总存在 x2 ?[0, 2] ,使得 g(x1) ?

f

(x2 ) ,

求实数 a 的取值范围.

高三调研检测数学文科答案

一、选择题

1-5 ABDBC 6-10 BBCAC 11-12 AC

二、填空题
13、 3

2
14、
3

15、

? ??

1 3

,1???

16、 5 5 ? 6

三、解答题:(每个题只给一种答案和相应的评分细则,其他解答请参照给分)

17.解:(1)在 ?ABC 中, BC ? 7, ?A ? 60 .

因为 cos B ? 6 ,则 sin B ? 3 ,..................................................2

3

3



由正弦定理得:

A C?

B, C 即 AC ? 7

s Bi n A s i n 3 3

32

,得

AC ? 2 7 .....................................5 分 3

(2)在 ?ABC 中, BC ? 7, ?A ? 60 , AB ? 2 .

由余弦定理得: cos ?A ? AC2 ? 4 ? 7 ? 1 ,则 AC2 ? 2AC ? 3 ? 0 , 2? 2? AC 2
得 AC ? 3 ...................................................8 分





?ABC









S ? 1 ? 2 ? 3? 3 ? 3 3 ...................................................10 分

2

22

18. 解 : ( 1 ) 因 为

Sn

?

3n?1 2

?

3 2

,当

n?2

时,

Sn?1

?

3n 2

?

3 2

,........................................2



两式相减得: an ? 3n (n ? 2) ,

因为 a1 ? 3 也满足.

综上, an ? 3n (n ? N ? ) ..................................................4 分

(2)bn ? an ? log3 an ? n ? 3n ...................................................6 分

设数列{bn } 的前 n 项和为Tn .

则 Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? n ? 3n

3Tn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ......................................
............8 分

两式相减得: ?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? ? 3n ? n ? 3n?1

则: ?2Tn

? 3? (1? 3n ) ? n ? 3n?1 1? 3

..................................................10 分

化简得: Tn

?

(2n ? 1) ? 3n?1 4

?

3 ..................................................12



19. ( 1 ) 解 : 高 三 学 生 数 学 平 均 成 绩 为

1 200

?60

?

20

?

80

?

40

?

100 ?

70

?

120 ?

50

?

140 ?

20?

?

101

估计高三学生数学平均成绩约为 101 分............................3 分

及格学生人数为

70

? 50 ? 200

20

?

?900

?

600?

?

1050

............................6



(2)解:

女生

男生

总计

及格人数

60

80

140

不及格人数

20

40

60

总计

80

120

200

...........................

.9 分

K 2 的观测值 k

?

200? ?60 ? 40 ? 20 ? 80?2
80?120? 60?140

100 ? 63

? 1.587 ? 2.706

所 以 没 有 90% 的 把 握 认 为 “ 该 校 学 生 的 数 学 成 绩 与 性 别 有 关”. ............................12 分

20.

解:(1)由题意得 A1D ? 平面 ABC,

?平面 A1ACC1 ? 平面 ABC,

?平面 A1ACC1 ? 平面 ABC ? AC , CA ? CB

? BC ? 平面 A1ACC1

? BC ? AC1

------------------2

连接 A1C ,

?侧面 A1ACC1 为菱形

? A1C ? AC1 ,

-------------------4

? AC1 ? 平面 A1BC ,
(2)

-------------------5

A1

C1

B1

A

D

C

B

法(一)? B1C1 // BC , B1C1 ? 平面 ABC

? B1C1 // 平面 A1BC …………………7 分

?V ? V ? V B? A1B1C

B1 ? A1BC

C1 ? A1BC

设菱形 A1ACC1 的两条对角线交于点 O

由(1)知 C1O ? 平面 A1BC

在直角三角形 A1OC1 中,

? A1C1 ? 2, A1O ? 1,?C1O ? 3 ,………………………9 分

由(1)知 BC ? 平面 A1ACC1 ,? BC ? A1C ,

又? A1C

?

2,BC

? 1 ,? S?A1BC

?

1 2

? 2?1 ? 1
………………………11



1

3

?VB? A1B1C ? VC1 ? A1BC ? 3 ? C1O ? S?A1BC ? 3

三棱锥 B ? A1B1C 的体积为

3 3 …………………12 分

法(二) ?平面 A1BC 过 AB1 的中点

?VB? A1B1C ? VB1 ? A1BC ? VA? A1BC ? VB? A1 AC …………………………8 分

易得

S?A1 AC

?

1 2

?

AC ?

A1D

?

1 2

?2?

3?

3
………………………10 分

由(1)知 BC ? 平面 A1ACC1 , BC ? 1

1

3

?VB? A1B1C ? VB? A1 AC ? 3 ? BC ? S?A1AC ? 3

三棱锥 B ? A1B1C 的体积为

3 3 …………………12 分

21.解:(1)由抛物线定义可得: p ? p ? 2 ,? p ? 2 22

?抛物线 C1 的方程为: x2 ? 4 y .………………4 分

(2)设直线 AM , AN 的斜率分别为 k1, k2 ,

将 lAM : y ?1 ? k1(x ? 2) 代入 x2 ? 4 y 可得:

x2 ? 4k1x ? 8k1 ? 4 ? 0 , ? ? 16(k1 ?1)2 ? 0 ,?k1 ? R 且 k1 ? 1

由韦达定理可得: xM ? 4k1 ? 2 ,同理 xN ? 4k2 ? 2 ………………6 分

? kMN

?

yM xM

? yN ? xN

?

1 4

(

xM

? xN ) ? k1 ? k2

?1
………………8 分

又因为直线 lAM

:

y

?1 ?

k1(x ? 2) 与圆相切:

a ? 2k1 ?1 1? k12

?1,

整理可得: 3k12 ? 4k1(a ?1) ? a2 ? 2a ? 0 ,

同理 3k22 ? 4k2 (a ?1) ? a2 ? 2a ? 0 ………………10 分

所以 k1 、 k2 是方程 3k 2 ? 4k(a ?1) ? a2 ? 2a ? 0 的两个根,……………11 分

? k1

? k2

?

?

4(a ?1) 3

代入 kMN

?

k1

?

k2

?1 ?

?1可得: a

?1.

…………12 分

22 解:(1) f '(x) ? ?ex ? e .

当 x ? (??,1) 时, f '(x) ? 0 , f (x) 单调递增;

当 x ? (l, ??) 时, f '(x) ? 0 , g(x) 单调递减;………………2 分

故 f (x)max ? f (1) ? 0 .

………………… 4 分

(2)法 1.对任意 x1 ? (0, 2] ,总存在 x2 ? (0, 2] ,使得 g(x1) ? f (x2 ) 等价于 g(x1) ? f (x2 )max .

由(1)可知 f (x2 )max ? f (1) ? 0 . 问题转化为 g(x) ? 0在 x ? (0, 2] 恒成立. …………………

6分















?a

?

ln

x?

1 2

x2

?

ln

x

?

1

x



x

x2

x ? (0, 2] . ………………………8 分

令 r(x) ? ln x ? 1 x x2

r

'(

x)

?

1

? ln x2

x

?

1 2

,由

0

?

x

?

2

时,
1?

ln

x

?

0

,得

r

'(

x)

?

0





r(x)



x1

? (0, 2] 上单增.故 ?a

?

r ( x)max

?

r(2)

?

ln 2 2

?1.



…………………… 11

综上: a ? ? ln 2 ?1, 2
a 的取值范围为 (??, ? ln 2 ?1) 2

…………………

12 分

法 2 对任意 x1 ? (0, 2] ,总存在 x2 ? (0, 2] ,使得 g(x1) ? f (x2 ) 等价于 g(x1)max ? f (x2 )max .

由(1)可知 f (x2 )max ? f (1) ? 0 。问题转化为 g(x)max ? 0 ( x ? (0, 2] ).

6分

又 g '(x) ? 1 ? x ? a ? x2 ? ax ?1 .

x

x

当 a ? ?2 时 , g ' (x ?) 0在 (0, ??) 恒 成 立 , 即 g(x) 在 (0, ??) 单 调 递 增 ; 故

g ( x)max

?

g (2)

?

ln 2 ? 2 ? 2a

?

0 ,得 a

?

?

ln 2 2

?1。故 ?2

?

a

?

?

ln 2 2

?1.

8分

当 a ? ?2时,注意到当 x ? (0, 2] 时, g(x) ? ln x ? 1 x2 ? ax ? ln x ? 1 x2 ? 2x .

2

2

而令 t(x) ? ln x ? 1 x2 ? 2x ,则 t (' x) ? 1?x ?2 ?0 在 x ? (0, 2] 恒成立,即 t(x) 在 x ? (0, 2]

2

x

上单调递增,而 t(x)max ? t(2) ? ln 2 ? 2 ? 4 ? 0 ,即当 a ? ?2时, g(x) ? 0 在 x ? (0, 2] 恒成

立.

综上: a ? ? ln 2 ?1. 2
a 的取值范围为 (??, ? ln 2 ?1) 2

…………………

11 分 12 分