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江苏省海安县实验中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


实验中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试试题 高二数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 命题“ ?x ? 0, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 . .

2. 直线 a , b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则 a 与 b 的位置关系为 3. 抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程为 .

2 y2 4. “ ?4 ? a ? 2 ”是“方程 x ? ? 1 表示椭圆”的 a?4 2?a

条件.(填“充分不

必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要” ) 5. 已知直线 m , l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; ③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? 其中正确的命题是 ②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ; ④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ? (填序号) . .

6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为 120? ,则圆锥的底面半径和母线之比为

x2 y 2 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛 a b
物线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的方程为
2

.

8. 已知 p : x ≤ 2 或 x > 3,q : a < x <3a (a>0).若 ?p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 . .

9. 长、宽、高分别为 4,3, 2 的长方体的外接球的表面积为

2 y2 10. 设椭圆 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂直于 x 轴的 a b

弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是



11. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5, 高为 4 的圆锥和底面半径为 2、 高为 8 的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一 个,则新的底面半径为 12. .

在平面直角坐标系 xoy 中, P 为双曲线 x2 ? y 2 ? 1 右支上的一个动点.若点 P 到直线
x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为

.
1

13. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于 点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ? 14. 已知 F 是双曲线 C : x ?
2

???? ?

????



y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点,A 0, 6 6 8


?

?

, 当 ?APF

周长最小时,该三角形的面积为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本题满分 14 分) 已知命题 p: 命题 q: ?x ? R,x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 . ?x ? ?1 , 2?,x2 ? a≥0 ; 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5m 时,水面宽为 8m,一小船 宽 4m,高 2m,载货后船露出水面上的部分高 米时,小船恰好能通行.
3 m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少 4

17. (本题满分 15 分) 如图,三棱台 A1B1C1 ? ABC 的底面是直角 三角形, ?ABC 为直角,侧棱 A1 A ? 底面 ABC . (1) 求证: BC ? 侧面 A 1B ;

A1

C1 B1

A B

C

2

(2)已知 AB ? 8, BC ? 6 , A1 A ? 4, ?B1BA ? 45? ,求这个棱台的侧面积.

18.

(本题满分 15 分) 如图,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,△ABC 为正三角形,D、E 分别是 BC、CA 的中点. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAC; (2)如何在 BC 上找一点 F,使 AD//平面 PEF? 并说明理由; (3)若 PA=AB=2,对于(2)的点 F,求三棱锥 B—PEF 的体积.

19.

(本题满分 16 分) 如图,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个 a2 b2

焦点,A、B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点 1, 3 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标,离心率,准线方程; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点, 求△F1PQ 的面积. (3)若点 N(1,1),试在椭圆上找一点 M,使 MN+2MF2 最小,并求出 该最小值.

? ?

20. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方 程为 y ? 2 ,且经过点(1,0). (1) 求椭圆 T 的方程; (2) 设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切. ① 求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ② 求矩形 ABCD 面积 S 的取值范围.

3

实验中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试试题 高二数学 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 命题“ ?x ? 0, x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
?x ? 0, x2 ? x ? 1≤ 0 .

2. 直线 a , b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则 a 与 b 的位置关系为 相交或异面 3. 抛物线 y ? 4 x 2 的准线方程为
y?? 1 . 16

.

2 y2 4. “ ?4 ? a ? 2 ”是“方程 x ? ? 1 表示椭圆”的 a?4 2?a

条件.(填“充分不 必要不充分 .

必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要” ) 5. 已知直线 m , l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m⊥ l ; ③若 m⊥ l ,则 ? ∥ ? 其中正确的命题是 ②若 ? ⊥ ? ,则 m∥ l ; ④若 m∥ l ,则 ? ⊥ ? (填序号) ①④.

6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为 120? ,则圆锥的底面半径和母线之比为

1. 3

x2 y 2 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛 a b
物线 y ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的方程为
2

x2 y 2 ? ?1 4 12

8. 已知 p : x ≤ 2 或 x > 3,q : a < x <3a (a>0).若 ?p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是

?1, 2?

.
27 ?

9. 长、宽、高分别为 4,3, 2 的长方体的外接球的表面积为

4

2 y2 10. 设椭圆 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂直于 x 轴的 a b

弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

1 . 2

11. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5, 高为 4 的圆锥和底面半径为 2、 高为 8 的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一 个,则新的底面半径为 12.

7

在平面直角坐标系 xoy 中, P 为双曲线 x2 ? y 2 ? 1 右支上的一个动点.若点 P 到直线
x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为
2 2

.

13. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于 点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ? 14. 已知 F 是双曲线 C : x ?
2

???? ?

????

2 .

y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点,A 0, 6 6 8
. 12 6

?

?

, 当 ?APF

周长最小时,该三角形的面积为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本题满分 14 分) 已知命题 p: 命题 q: ?x ? R,x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 . ?x ? ?1 , 2?,x2 ? a≥0 ; 若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.
2? 恒成立.而函数 y ? x2 (1≤x≤2) 的最小值为 1, 【解】 : p 是真命题 ? a≤x 2 对 x ? ?1,
1? .???5 分 所以使 p 为真命题的 a 的取值范围是 ? ??,

q 是真命题 ? 关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 有解,
即 ? ? (2a)2 ? 4(2 ? a) ? 4(a ? 2)(a ? 1)≥0 ,亦即 a≤ ? 2或a≥1 .
? 2? ? ?1 , +?? . ???10 分 所以使 q 为真命题的 a 的取值范围是 ? ??,

命题“p 且 q”是真命题 ? p,q 都是真命题.???12 分
? 2? ? {1} .???14 分 故使 p 和 q 为真命题的 a 的取值范围是 ? ??,

16. (本题满分 14 分) 河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5m 时,水面宽为 8m,一小船

5

宽 4m,高 2m,载货后船露出水面上的部分高 米时,小船恰好能通行.

3 m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少 4

解:建立直角坐标系,设抛物线型拱桥方程为 x2 ? ?2 py ? p ? 0? , 过 A ? ?4, ?5? , B ? 4, ?5? .

P?

8 5

, x2 ? ?

16 y ???5 分 5

5 由于小船宽 4 m ,当 x ? ?2 时, y ? ? , 4

即当船顶距抛物线拱顶为

5 m 时,小船恰好能通过.???10 分 4 3 m. 4

又载货后,船露出水面上的部分高 当水面距抛物线拱顶距离 d ?

3 5 ? ? ? 2m 时,小船恰好能通行.???13 分 4 4

答:当水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时,小船恰好能通行.???14 分

17. (本题满分 15 分) 如图,三棱台 A1B1C1 ? ABC 的底面是直角 三角形, ?ABC 为直角,侧棱 A1 A ? 底面 ABC . (1) 求证: BC ? 侧面 A 1B ; (2)已知 AB ? 8, BC ? 6 , A1 A ? 4, ?B1BA ? 45? ,求这个棱台 的侧面积.

A1

C1 B1

A B

C

【证】 : (1)∵ A1 A ? 底面 ABC , ∴ A1 A ? BC ,又 ?ABC 为直角, ∴ AB ? BC ,又 A 1 A ? AB ? A , ∴ BC ? 侧面A1B 【解】(2) 在平面 A1B中,作B1H ? AB, H为垂足 . ∵ ?B1BH ? 45 ,
?

???7 分

∴ BH ? B1H ? A ,B1B ? 4 2 . 1A ? 4

又 AB ? 8,因而A1B1 ? 4 ,

的面积为S1 ? 24. 故直角梯形 A 1 ABB 1

???9 分

由于 Rt ?A1B1C1 ~ Rt ?ABC ,且由 AB ? 8,BC ? 6, A 1B 1 ? 4,
6

可知 AC ? 10.B 1C1 ? 3, A1C1 ? 5 ,

而由 BC ? 平面A1ABB1, 得到BC ? B1B , ???12 分

故直角梯形 B1BCC1的面积为 S2 ? 18 2 . 又直角梯形 A1ACC1的面积为 S3 ? 30,

?S侧 ? S1 ? S2 ? S3 ? 18(3 ? 2 )

???15 分

18.

(本题满分 15 分) 如图,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,△ABC 为正三角形,D、E 分别是 BC、CA 的中点. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAC; (2)如何在 BC 上找一点 F,使 AD//平面 PEF? 并说明理由; (3)若 PA=AB=2,对于(2)的点 F,求三棱锥 B—PEF 的体积. 【证】(1)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BE 又∵△ABC 是正三角形,且 E 为 AC 的中点,∴BE⊥CA. 又 PA ? CA=A,∴BE⊥平面 PAC ∵BE ? 平面 PBE,∴平面 PBE⊥平面 PAC 【解】(2)取 CD 的中点 F,则 F 即为所求 ∵E、F 分别为 CA、CD 的中点,∴EF//AD. 又 EF ? 平面 PEF,AD ? 平面 PEF,∴AD//平面 PEF (3) VB ? PEF ? VP ? BEF ? ???10 分 ???15 分 ???3 分 ???5 分 ???7 分

1 1 1 3 3 3 PA ? S BEF ? ? 2 ? ? ? ? . 3 3 2 2 2 4

x2 y2 19. (本题满分 16 分) 如图,F1、F2 分别为椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个 a b
焦点,A、B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点 1, 3 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. 2 (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标,离心率,准线方程; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点, 求△F1PQ 的面积. (4)若点 N(1,1),试在椭圆上找一点 M,使 MN+2MF2 最小,并求出 该最小值. 解: (1)由题设知:2a = 4,即 a = 2;???1 分
7

? ?

1 ( ) 将点 1, 3 代入椭圆方程得 2 ? 2 2 ? 1 , 2 2 b
解得 b = 3; ∴c = a -b = 4-3 = 1,
2 2 故椭圆方程为 x ? y ? 1 , 4 3
2 2 2 2

? ?

3 2

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) ,
e ? c ? 1 ,准线方程 x ? ?4 ???5 分 a 2

(2)由(1)知 A(?2,0), B(0, 3) , ? k PQ ? k AB ? ∴PQ 所在直线方程为 y ? 3 ( x ? 1) , 2

3 , 2

? 3 y? ( x ? 1) ? 2 由? 得 8 y 2 ? 4 3 y ? 9 ? 0 ,???7 分 ? 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则 y1 ? y 2 ? ?
? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? ,???8 分 2 8

3 9 21 , ? 4? ? 4 8 2

? S ?F1PQ ?

1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . ???11 分 2 2 2 2
d min ? 3 ???16 分

? ? (3) M ? 2 6 ,1? , 3 ? ?

20. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程 为 y ? 2 ,且经过点(1,0). (1)求椭圆 T 的方程; (2)设四边形 ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆 T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形 ABCD 面积 S 的取值范围. 【解】(1)因为椭圆 T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有 y=2,

y2 x2 所以椭圆 T 的焦点在 y 轴上,于是可设椭圆 T 的方程为 2+ 2=1(a>b>0).??????2 a b

8

因为椭圆 T 经过点(1, 0),
? a2 ? 2, 2 ? 2 ? ? 2 ? a ? 2, 所以 ? a ? b 解得 ? 2 ? ? 0 ? 1 ? 1, ?b ? 1. ? ? a 2 b2

故椭圆 T 的方程为

y2 ? x2 ? 1 .??????4 分 2 y2 ? 1 的外切矩形, 2

(2)由题意知,矩形 ABCD 是椭圆 x2 ?

①(i) 若 矩 形 ABCD 的 边 与 坐 标 轴 不 平 行 , 则 可 设 一 组 对 边 所 在 直 线 的 方 程 为
y ? kx ? m(k ? 0) ,

? 2 y2 ?x ? ? 1, 则由 ? 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0 ,??????6 分 2 ? ? y ? kx ? m
于是 ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ? 2) ? 0 ,化简得 m ? ? k 2 ? 2 . 所以矩形 ABCD 的一组对边所在直线的方程为 y ? kx ? k 2 ? 2 ,即 y ? kx ? ? k 2 ? 2 , 则另一组对边所在直线的方程为 ky ? x ? ? 1 ? 2k 2 , 于是矩形顶点坐标(x,y)满足 ( y ? kx)2 ? (ky ? x) 2 ? (k 2 ? 2) ? (1 ? 2k 2) , 即 (1 ? k 2 )( x2 ? y 2 ) ? 3(1 ? k 2 ) ,亦即 x2 ? y 2 ? 3 .??????8 分 (ii)若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点 (?1 , ? 2) 显然满足 x2 ? y 2 ? 3 . 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆 x2 ? y 2 ? 3 上.??????10 分 ②当矩形 ABCD 的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对
2 边的边长,于是矩形的一条边长为 2 k ? 2 ,另一条边长为 1? k2

2

? ? ? 2 ? 2 2k ? 1 . 1? k 1 ? ?? 1 ? k
?1 k
2 2 2 2

4 2 k?1 k 4 k ? 2 ? 2 k ? 1 4 2 k ? 5 k ? 2 ? ? 所以 S ? 1 1? k2 1? k2 k? k
2 2 4 2

?

? ? 1 ,??????12 分
2

4 2t 2 ? 1 ? 4 2 ? 1 ? 4 2,6 ? 令 t ? k ? 1 ,则 t 2 ?? 2, ? ?? ,于是 S ? ? .???14 分 t k t2

?

②若矩形 ABCD 的边与坐标轴平行,则 S ? 4 2 .
? 故 S 的取值范围是 ? ? 4 2,6 ? .??????16 分

9


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