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江苏专用2018高考数学一轮复习第九章平面解析几何第49课双曲线教师用书


第 49 课
[最新考纲] 内容 中心在坐标原点的双曲线 的标准方程与几何性质

双曲线
要求 A B C



1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点 F1,F2(F1F2=2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数 2a(2a<2c)的 点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点. (2)集合 P={M|MF1-MF2=2a},F1F2=2c, 其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. ①当 2a<F1F2 时,M 点的轨迹是双曲线; ②当 2a=F1F2 时,M 点的轨迹是两条射线; ③当 2a>F1F2 时,M 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

性 质

对称轴:坐标轴,对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b
1

离心率

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

a,b,c 的关系
3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 y=±x,离心率为 e= 2.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1) 平面内到点 F1(0,4) , F2(0 ,- 4) 距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( )

(2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.(

x2 y2 m n

)

x2 y2 x2 y2 x y (3) 双曲线方程 2 - 2 = λ (m>0 , n>0 , λ ≠0)的渐近线方程是 2 - 2 = 0 ,即 ± = m n m n m n
0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( [答案] (1)? (2)? (3)√ (4)√ 2.(教材改编)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=________. a 3 1 [依题意,e= =
2 2

)

x2 y2

c a

a2+3 =2, a

∴ a +3=2a,则 a =1,a=1.] 3.(2017?泰州中学高三摸底考试)若双曲线 x - =1 的焦点到渐近线的距离为 2 2, 则实数 k 的值是________. 8 [由题意得 b=2 2? k=b =8.]
2 2

y2 k

4.(2016?江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 的焦距是________. 7 3 2 10 [由双曲线的标准方程,知 a =7,b =3,所以 c =a +b =10,所以 c= 10,
2 2 2 2 2

x2 y2

从而焦距 2c=2 10.] 5.(2016?北京高考改编)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0, 一个焦点为( 5,0),则双曲线的方程为__________.

x2 y2 a b

x2 y2 x - =1 [由于 2x+y=0 是 2- 2=1 的一条渐近线, 4 a b
2

y2

2

∴ =2,即 b=2a.① 又∵双曲线的一个焦点为( 5,0),则 c= 5, 由 a +b =c ,得 a +b =5,② 联立①②得 a =1,b =4. ∴所求双曲线的方程为 x - =1.] 4
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

y2

双曲线的定义及应用 已知 F 是双曲线 C:x - =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).则 8 △APF 周长的最小值为__________. 【导学号:62172269】 32 [由双曲线方程 x - =1 可知,a=1,c=3, 8
2 2

y2

y2

故 F(3,0),F1(-3,0), 当点 P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知 PF-PF1=2.所以 PF=PF1+2,

从而△APF 的周长=AP+PF+AF=AP+PF1+2+AF. 因为 AF= 3 +?6 6? =15 为定值, 所以当(AP+PF1)最小时,△APF 的周长最小,A,F1,P 三点共线. 又因为 AP+PF1≥AF1=AF=15. 所以△APF 周长的最小值为 15+15+2=32.] [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题: 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点 (动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点) 的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对 值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用. 2. 在焦点三角形中, 注意定义、 余弦定理的活用, 常将 PF1-PF2=2a 平方, 建立 PF1?PF2
3
2 2

间的联系. [变式训练 1] (1)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若 F1A=

2F2A,则 cos∠AF2F1=________.

y 4 2 (2)已知双曲线 x - =1 的两个焦点为 F1,F2,P 为双曲线右支上一点.若 PF1= PF2, 24 3
则△F1PF2 的面积为________. 1 (1) 4 (2)24 [(1)由 e= =2 得 c=2a,如图,由双曲线的定义得 F1A-F2A=2a.

2

c a

又 F1A=2F2A,故 F1A=4a,

F2A=2a,
?4a? +?2a? -?4a? 1 ∴cos∠AF2F1= = . 2?4a?2a 4
2 2 2

(2)由双曲线的定义可得

PF1-PF2= PF2=2a=2,
解得 PF2=6,故 PF1=8,又 F1F2=10, 1 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形,因此 S△PF1F2= PF1?PF2=24.] 2 双曲线的标准方程

1 3

x y 5 (1)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 a b 4 C 的方程为________.
(2)(2016?天津高考改编)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且双曲线的 一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为________. (1) - =1 (2) -y =1 [(1)由焦点 F2(5,0)知 c=5. 16 9 4

2

2

x2 y2 a b

x2

y2

x2

2

c 5 2 2 2 又 e= = ,得 a=4,b =c -a =9. a 4
∴双曲线 C 的标准方程为 - =1. 16 9

x2

y2

b 1 (2)由焦距为 2 5得 c= 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直, 所以 = . a 2
4

又 c =a +b ,解得 a=2,b=1, 所以双曲线的方程为 -y =1.] 4 [ 规律方法 ] 1. 确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件,两个“定量”条

2

2

2

x2

2

件.“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定 a,b 的值,常用待定系数 法.若双曲线的焦点不能确定时,可设其方程为 Ax +By =1(AB<0). 2.对于共焦点、共渐近线的双曲线方程,可灵活设出恰当的形式求解.若已知渐近线 方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m x -n y =λ (λ ≠0). 1 [变式训练 2] (1)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的 2 标准方程为________________. 5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 13 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为__________.
2 2 2 2 2 2

x x y 1 2 (1) -y =1 (2) - =1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 4 16 9 2
∴可设双曲线的方程为 x -4y =λ (λ ≠0). ∵双曲线过点(4, 3), ∴λ =16-4?( 3) =4, ∴双曲线的标准方程为 -y =1. 4 (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则 PF1 -PF2=8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1,即 - =1.] 4 3 16 9 双曲线的简单几何性质 (1)(2016?全国卷Ⅱ改编)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左、右焦点, 1 点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为________. 3 (2)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线为__________. 【导学 号:62172270】 (1) 2 (2)x±y=0 [(1)如图,因为 MF1⊥x 轴,所以 MF1= .
5
2 2 2

2

2

2

x2

2

x2 y2

x2

y2

x2 y2 a b

x2 y 2 a b

b2 a

1 在 Rt△MF1F2 中,由 sin∠MF2F1= 得 3 tan∠MF2F1= 所以 2 . 4

MF1 2 b2 2 c2-a2 2 = ,即 = ,即 = , 2c 4 2ac 4 2ac 4
2

整理得 c -

2 ac-a2=0, 2
2 2

两边同除以 a 得 e -

2 e-1=0. 2

解得 e= 2(负值舍去). (2)由题设易知 A1(-a,0),A2(a,0),B?c, ?,C?c,- ?. a a

? ?

b2?

?

? ?

b2?

?

因为 A1B⊥A2C,

b2 a 所以 ? =-1,整理得 a=b. c+a c-a
- 因此该双曲线的渐近线为 y=± x,即 x±y=0.] [规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线, 要注意双曲线焦点位置的影响; (2)求离心率的 关键是确定含 a,b,c 的齐次方程,但一定注意 e>1 这一条件. 2.双曲线中 c =a +b ,可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系 = e -1?e= ?. a
2 2 2 2

b2 a

b a

b a

? ?

c?

?

抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”,研究 a,b,c,e 间相互关系及转化, 简化解题过程. [变式训练 3] (1)(2017?无锡期末)设△ABC 是等腰三角形,∠ABC=120°,则以 A,

B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为________.
(2)双曲线 x +my =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则双曲线的渐近线方程为________. (1) 3+1 (2)x±2y=0 [(1)设 AB=x,则 BC=x,AC= 3x, 2
2 2

∴2a= 3x-x,2c=x,

6

c 2c 1 3+1 ∴e= = = = . a 2a 2 3-1
(2)由题意可知 a =1,b =-m,由于 b=2a,故-m=4,∴m=-4. 由 x -4y =0 得 x=±2y,即 x±2y=0. ∴双曲线的渐近线方程为 x±2y=0.]
2 2 2 2

[思想与方法] 1.求双曲线标准方程的主要方法: (1)定义法:由条件判定动点的轨迹是双曲线,求出 a ,b ,得双曲线方程. (2)待定系数法:即“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论 或恰当设置简化讨论. ①若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为 Ax +By =1(AB<0). ②当已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b x -
2 2 2 2 2 2

a2y2=λ (λ ≠0).

7

③与双曲线 2- 2=1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0). 2. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程, 只需将双曲线的标准方程中“1”改 为“0”即可. [易错与防范] 1.区分双曲线中 a,b,c 的关系与椭圆中 a,b,c 的关系,在椭圆中 a =b +c ,在双 曲线中 c =a +b . 2.双曲线的离心率大于 1,椭圆的离心率 e∈(0,1).求它们的离心率,不要忽视这一 前提条件,否则会产生增解或扩大取值范围. 3.直线与双曲线有一个公共点时,不一定相切,也可能直线与渐近线平行. 课时分层训练(四十九) A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 1.双曲线 x - =1 的两条渐近线方程为________. 4
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

y2

y=±2x [由 x - =0 得 y=±2x,即双曲线的两条渐进线方程为 y=±2x.]
4 2.已知双曲线 2-y =1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=__________. 【导学号:62172271】 3 3 [双曲线 2-y =1 的渐近线为 y=± , 已知一条渐近线为 3x+y=0, 即 y=- 3 1 3

2

y2

x2 a

2

x2 a

2

x a

x,因为 a>0,所以 = 3,所以 a= .] a 3
3.双曲线 - =1 的离心率为________. 4 5 3 2 [∵a =4,b =5,
2 2

x2 y2

c 3 2 ∴c =9,∴e= = .] a 2
4. 若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3, -4), 则此双曲线的离心率为________. 【导学号:62172272】 5 3

x2 y2 a b

b 4 b 16 [由双曲线的渐近线过点(3,-4)知 = ,∴ 2= . a 3 a 9
2 2 2

2

c2-a2 16 又 b =c -a ,∴ 2 = , a 9

8

16 25 5 2 2 即 e -1= ,∴e = ,∴e= .] 9 9 3 5.已知点 F1(-3,0)和 F2(3,0),动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 4,则点 P 的轨迹方程 为________.

x2 y2
4

- =1(x>0) [由题设知点 P 的轨迹方程是焦点在 x 轴上的双曲线的右支, 设其方程 5

x2 y2 2 为 2- 2=1(x>0,a>0,b>0),由题设知 c=3,a=2,b =9-4=5. a b
所以点 P 的轨迹方程为 - =1(x>0).] 4 5 6.已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离 为________. 3 [由双曲线方程知 a =3m,b =3,
2 2 2 2 2 2

x2 y2

∴c= a +b = 3m+3. 不妨设点 F 为右焦点,则 F( 3m+3,0). 又双曲线的一条渐近线为 x- my=0, | 3? m+1| ∴d= = 3.] 1+m

y2 7.(2016?全国卷Ⅰ改编)已知方程 2 - 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点 m +n 3m -n
间的距离为 4,则 n 的取值范围是________. (-1,3) [∵原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为 4.
? ?m +n+3m -n=4, ∴? 2 2 ? ??m +n??3m -n?>0,
2 2

x2

? ?m =1, 则? 2 2 ? ?-m <n<3m ,

2

因此-1<n<3.] 8.(2016?苏锡常镇二模)若双曲线 x +my =1 过点(- 2,2),则该双曲线的虚轴长 为________. 4 1 [由题意可知 2+4m=1,∴m=- , 4
2 2

1 2 2 2 即 x - y =1,∴b =4,∴b=2,即 2b=4.] 4 9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知方程 - =1 表示双曲线,则实数 m 的取值 4-m 2+m 范围为________. (-2,4) [由题意可知(4-m)(2+m)>0,即-2<m<4.]

x2

y2

9

10.过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A, 3

2

y2

B 两点,则 AB=________. 【导学号:62172273】
4 3 [由题意知,双曲线 x - =1 的渐近线方程为 y=± 3x,将 x=c=2 代入得 y 3
2

y2

=±2 3,即 A,B 两点的坐标分别为(2,2 3),(2,-2 3),所以 AB=4 3.] → → x2 2 11.已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,若MF1?MF2 2 <0,则 y0 的取值范围是________. 3 3? ? ?- , ? [由题意知 a= 2,b=1,c= 3, 3? ? 3 ∴F1(- 3,0),F2( 3,0), → → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → 2 ∵MF1?MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴ -y0=1,即 x0=2+2y0, 2 ∴2+2y0-3+y0<0,∴-
2 2 2 2

x2 0

2

2

2

3 3 <y0< .] 3 3

12.(2016?山东高考)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点 在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2AB=3BC,则 E 的离心率是________. 2 2b [如图,由题意知 AB= ,BC=2c.
2

x2 y2 a b

a

又 2AB=3BC, 2b 2 ∴2? =3?2c,即 2b =3ac,
2

a

∴2(c -a )=3ac,两边同除以 a ,并整理得 2e -3e-2=0,解得 e=2(负值舍去).] B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长 9 16 的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 44 [由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5,

2

2

2

2

x2

y2

∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且 PQ=QA+PA=4b=16,
10

由双曲线定义,得 PF-PA=6,

QF-QA=6.
∴PF+QF=12+PA+QA=28, 因此△PQF 的周长为 PF+QF+PQ=28+16=44.] 2.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心 率 e 的取值范围是________.

x2 y2 a b

b? ? b? ? (1,2) [由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A?-c, ?,B?-c,- ?,E(a,0),∵△ a? ? a? ? ABE 是锐角三角形,∴EA?EB>0,
→ → ? b? ? b? 2 4 即EA?EB=?-c-a, ???-c-a,- ?>0,整理得 3e +2e>e ,
2 2

2

2





?

a? ?

a?

∴e(e -3e-3+1)<0, ∴e(e+1) (e-2)<0, 解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2).] 3.(2016?北京高考)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=__________. 2 [双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 易得两条渐近线方程互相垂直, 由双曲
2

3

x2 y2 a b

x2 y2 a b

b a

线的对称性知 =1. 又正方形 OABC 的边长为 2,所以 c=2 2, 所以 a +b =c =8,因此 a=2.] 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x- 2) +y =3 相切,则双曲线的方程为__________.
2 2 2 2 2

b a

x2 y2 a b

y2 b x2- =1 [由双曲线的渐近线 y=± x,即 bx±ay=0 与圆(x-2)2+y2=3 相切, 3 a
∴ |2b|

a2+b2

= 3,则 b =3a .①

2

2

又双曲线的一个焦点为 F(2,0), ∴a +b =4,② 联立①②,解得 a =1,b =3.
2 2 2 2

11

故所求双曲线的方程为 x - =1.] 3 5.(2017?南通三模)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2-y =1 与抛物线 y =-12x 有相同的焦点,则双曲线的两条渐近线的方程为________.

2

y2

x2 a

2

2

y=±

2 x 4

[抛物线 y =-12x 的焦点为(-3,0),∴a +1=9,∴a=±2 2.

2

2

∴双曲线的两条渐近线方程为 y=± =±

x a

2 x.] 4

6.(2016?天津高考改编)已知双曲线 - 2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半 4 b 轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为________.

x2 y2

x2
4



=1 [由题意知双曲线的渐近线方程为 y=± x, 圆的 12 2
2 2

y2

b

x +y =4, ? ? 2 2 方程为 x +y =4,联立? b y= x, ? ? 2

? ?x= 解得? ? ?y=

4 4+b 2b 4+b

2



2



-4 x= ? ? 4+b , 或? -2b ? ?y= 4+b ,
2 2

即第一象限的交点为?

? 4 , 2b ? 2 2?. 4+b ? ? 4+b
8 4+b
2

由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形, 其相邻两边长为 =2b,得 b =12. 故双曲线的方程为 - =1.] 4 12
2



8?4b , 故 2 4+b 4+b
2

4b

x2

y2

12


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