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最新2019-2020人教A版高中数学必修四课件:2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示.pptx优质课件_图文

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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
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D典例透析 IANLI TOUXI

1.借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义. 2.了解向量与坐标的关系,会求给定向量的坐标.

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D典例透析 IANLI TOUXI

1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂-直的向量,叫做平面向量的正 交分解.
【做一做 1】 如图,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,下列 是正交分解的是( )
A. = ? B. = ? C. = + D. = + 解析:由于 ⊥ , 则 = ? 是正交分解. 答案:B

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D典例透析 IANLI TOUXI

2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

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【做一做2】已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是

()

A.(4,1)

B.(-4,1)

C.(4,-1) D.(-4,-1)

答案:C

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3.向量与坐标的关系 设 = i+yj,则向量的坐标 , 就是终点的坐标;
反过来, 终点的坐标 , 就是向量的坐标. 因此, 在平面直角 坐标系内, 每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示, 即以
原点为起点的向量与实数对是一一对应的. 名师点拨向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅
当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同. 【做一做3】在平面直角坐标系中,任意向量m的坐标有 个. 解析:由于向量和有序实数对是一一对应的,则任意向量m的坐标
仅有1个. 答案:1

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1.向量的表示法 剖析:向量的表示方法有三种:
(1)字母表示法:用一个小写的英文字母来表示,例如向量 a;也可 以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示,例如向量, 该向量的起点是A,终点是 B.
(2)几何表示法:用有向线段来表示. (3)代数表示法:用坐标表示.

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2.点的坐标与向量坐标的联系与区别 剖析:(1)表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标 A(x,y)中间没有等号. (2)意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的 位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另 外,(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量
a=(x,y). (3)联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终
点的坐标相同.

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题型一 题型二

题型一

求向量的坐标

【例 1】 如图,已知点 M(1,2),N(5,4),试求的坐标.

分析:用基底 i 和 j 表示 = i+yj,则(x,y)是的坐标. 解:分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底,则 = 4i+2j, 所以的坐标是(4,2).

题型一 题型二

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反思向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体 位置没有关系,只与其相对位置有关系.

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题型一 题型二
【变式训练 1】 如图,点 A(-1,3),B(2,-2),试求, 的坐标.

解: ∵ = 3i-5j,∴ = (3, ?5); ∵ = ?3i+5j,∴ = (?3,5).

题型一 题型二

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题型二 平面向量的正交分解及坐标表示
【例 2】 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|OA|=4 3,∠ xOA=60°,求向量的坐标.
解:设点 A(x,y),则 x=||cos 60°=2 3, = ||·sin 60°=6,即 A(2 3, 6), 故 = (2 3, 6).
反思求向量的坐标时,将向量的起点平移到坐标原点后,利用三角 知识求出终点坐标即可.

题型一 题型二

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【变式训练2】

在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向和长度如图,分别求它 们的坐标.

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题型一 题型二

解:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则

a1=|a|cos 45°=2×

2 2

=

2,

a2=|a|sin 45°=2×

2 2

=

2;

b1=|b|cos 120°=3×

-

1 2

= ? 32,

b2=|b|sin 120°=3×

3 2

=

33 2

;

c1=|c|cos(-30°)=4×

3 2

=

2

3,

c2=|c|sin(-30°)=4×

-

1 2

= ?2.

因此 a=(

2,

2),b=

-

3 2

,

33 2

,c=(2

3, ?2).