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学案与评测文数苏教版(课件)第5单元第3节平面向量的数量积及平面向量的应用举例_图文

第三节 平面向量的数量积及平面向 量的应用举例 基础梳理 1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 非零 向量a和b,作 OA =a, OB =b,则 ∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的取值范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向 时,夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角θ= 90° , 则a与b垂直,记 作 a⊥b . 2. 平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量 |a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积),记作a· b,即 a· b= |a||b|cos θ ,并规定零向量与任一向量的数量积 为 0 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 ①定义 设θ是a和b的夹角,则 |a|cos θ 叫做a在b的方向上的 b在a方向上 投影,|b|cos θ叫做 的投影.b在a的方向上的 投影是一个实数,而不是向量,当0°≤θ<90°时,它 正数 ,当90°<θ≤180°时,它是 负数 是 ,当θ=90° 0 时,它是 . ②a· b的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与 b在a方向上 的投影|b|cos θ 的乘积. 3. 向量的数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a 与e的夹角,则 (1)e· a=a· e= |a|cos θ . (2)a⊥b ? a· b= 0 . (3)当a与b同向时,a· b= |a||b| ; 当a与b反向时,a· b= -|a||b| . 特别地:a· a=a2=|a|2或|a|= a a . (4)|a· b| ≤ |a||b|. (5)cos α= ab | a || b | (α是a与b的夹角). 4. 向量数量积的运算律 a (交换律); (1)a· b= b· b) = a· (λb) (数乘结合律); (2)(λa)· b= λ(a· c+b· c (分配律). (3)(a+b)· c= a· 5. 平面向量数量积的坐标表示 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)a· b= x1x2+y1y2 . x ?y (2)|a|= x ? y , |b|= . (3)a⊥b ? x1x2+y1y2=0 . x x +y y x ?y x ?y . (4)若a与b夹角为θ,则cos θ= (5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则|c|= ( x ? x ) ? ( y ? y ) . 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 6. 平面向量在平面几何中的应用 用向量方法解决几何问题一般分四步: (1)选好基向量; (2)建立平面几何与向量的 联系,用向量表示问题中 涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题 ; (3)通过 向量运算 研究几何元素之间的关系,如距离、 夹角等问题; 几何关系 . (4)把运算结果“翻译”成 基础达标 1.(2010重庆改编)若向量a=(3,m),b=(2,-1), a×b=0,则实数m的值为________ 6 . 解析:因为a· b=6-m=0,所以m=6. 2. ③ 则下列结论中正确的有________ . (写出所有正确结论的序号) 2 ①|a|=|b|; ②a×b= ; 2 ③a-b与b垂直;④a∥b. ?1 1? , ? (2010安徽改编)设向量a=(1,0),b? = ?2 2? , 解析:利用向量的坐标运算,直接验证 即可判定①②④是错误的;而a-b= 1 1 ( ,? , ) 2 2 ∴(a-b)· b=0,即a-b与b垂直,故只有 ③是正确的. 3. (必修4P77练习2改编)设e1,e2是两个单位向量, 9 ? 它们的夹角是60°,则(2e1-e2)×(-3e1+2e2)=____. 2 解析:(2e1-e2)·(-3e1+2e2) =-6e-2e+7e1·e2 9 ? =-6-2+7×1×1×cos 60°= 2 . 4. 已知向量a=(2,1),a×b=10,|a+b|=5 2 , 5 则|b|=________. 解析:由a=(2,1)得|a|= ,由 |a+b|=5知 5 (a+b)2=|a|2+|b|2+2a· b=50,得|b|=5. 5. (必修4P81习题13改编)已知|a|=1,|b|=6,a×(b-a)=2, ? 则向量a与向量b的夹角是________ . 3 解析:因为由条件得a· b-a2=2, 所以a· b=2+a2=3, ab 1 故所求夹角的余弦为 cos α = = , | a || a | 2 ? 即夹角为 3 . 经典例题 题型一 数量积的运算 【例1】(1)(2010广东改编)若向量a=(1,1),b=(2,5), c=(3,x),满足条件(8a-b)-c=30,则x=________. (2)(2010天津改编)如图,在△ABC中,AD⊥AB, . AD ? 1 ,则 AC ? AD = BC ? 3 BD , 分析: (1)利用数量积公式化简计算; (2)利用正弦定理进行化简求解. 解:(1)(8a-b)=(8,8)-(2,5)=(6,3), (8a-b)· c=6×3+3x=30?x=4. | AC | ? | AD | cos∠DAC (2) AC ? AD= =| AC | cos∠DAC= | AC | sin∠BAC | BC | sin B= 3 | BD | · = sin B = 3 | AD | = 3 . . 变式1-1 (2010广州模拟)已知点A(1,0),B(0,1), C(2sinθ,cosθ ). AC ? BC (1)若 ,求tan θ的值; (2)若 ,其中