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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第一节不等关系与不等式 理

第六章

不等式、推理与证明

年份

2011

2012

2013

题号 5 9 18(1) 20(2) 21(2) 5 9 18(1) 19(3) 20(1) (2) 21 9 13 19(3)

近三年广东高考中对本章考点考查的情况 赋分 所考查的知识点 5 线性规划的最大值问题 5 解绝对值不等式 6 证明线面垂直 8 以数列为背景的不等式证明 6 以抛物线为背景涉及不等式的综合问题 5 线性规划的最大值问题 5 解绝对值不等式 6 线面垂直的证明 7 以数列为背景的不等式证明 4 14 5 5 6 以椭圆为背景涉及二次函数、正弦函数的不等式问题 与集合、导数结合的不等式的综合问题 解一元二次不等式 线性规划问题 以数列为背景的放缩法证明不等式

本章内容主要包括两个内容:不等式、推理与证明. 不等式主要包括:不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简 单的线性规划问题、不等式的证明与应用. 推理与证明主要包括: 合情推理和演绎推理、 直接证明与间接证明、 数学归纳法等内容, 其中推理中的合情推理、 演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识, 代表研究性命题的发展
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趋势,选择题、填空题、解答题都可能涉及,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、 立体几何、解析几何等方面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小. 广东高考在这一章的命题上呈现以下特点: 1.考查题型以选择题、填空为主,偶以解答题形式出现,但多数是解答题中的一部分, 如与数列、函数、解析几何等结合考查,分值约占 10%左右,既有中、低档题也会有高档题 出现. 2.重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合,另在 推理与证明中将会重点考查. 3.对合情推理与演绎推理及证明方法的考查,主要放在解答题中,偶尔会对数学归纳 法进行考查,注重知识交汇处的命题. 预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、 基本不等式应用、 线性规划为重点, 将推理与证明和其他知识相融合,更加注重应用与能力的考查.

本章内容理论性强,知识覆盖面广,因此在复习过程中应注意: 1.复习不等式的性质时,要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势,要以比较准 则和实数的运算法则为依据. 2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外,还有反证法、换元法、判别式法、 构造法、几何法,这些方法可作适当了解,但要控制量和度. 3.解(证)某些不等式时,要把函数的定义域、值域和单调性结合起来. 4.注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用. 在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是 一个等 价转化的过程,通过等价转化可简化不等式(组),以快速、准确求解. 加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如含参数等问题,一般要 对参数进行分类讨论.复习时,学生要学会分析引起分类讨论的原因,合理地分类,做到不 重不漏. 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分,相互 联系、互相转化.如求参数的取值范围问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法. 在不等式的证明中, 加强化归思想的复习, 证不等式的过程是一个已知条件向要证结论 转化的过程,既可考查学生的基础知识,又可考查学生分析问题和解决问题的能力,正因为 证不等式是高 考考查学生代数推理能力的重要素材,复习时应引起我们的足够重视. 5.强化不等式的应用. 高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际 应用问题的试题中涉及不等式的知识, 加强不等式应用能力, 是提高解综合题能力的关键. 因 此,在复习时应加强这方面的训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决 问题的能力. 如在实际问题应用中, 主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法, 求最值 时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误. 6.利用平均值定理解决问题时,要注意满足定理成立的三个条件:“一正、二定、三 相等”. 7.要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系. 对于类比型问题可以说是创新要求的体现, 最常见的是二维问题与三维问题的类比, 同 结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、 数列内的类比问题等), 较少对照不同结构的 类比问题.关于归纳、猜想、证明是考得比较多 、比较成熟的题型了,在复习备考中要把 握考试的特点,注重落实. 归纳、 演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重, 事实上, 在高考中归纳、 猜想、 证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的. 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点,需要 采用多种数学方法才能解决问题,如:函数与方程思想、化归思想、分类讨 论思想等,对 学生的知识与能力要求较高,是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查,可

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以弥补选择题与填空题等客观题的不足,是提高区分度、增强选拔功能的重要题型,因此在 最近几年的高考试题中, 推理与证明问题正在成为一个热点题型, 并且经常作为压轴题出现. 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式

了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式组的实际背景.

知识梳理 一、不等式的概念 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号“<”,“>”, “≤”,“≥”,“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子,叫做 不等式. 二、实数运算性质与大小顺序关系 1.a>b?a-b>0;2.a=b?a-b=0;3.a<b?a-b<0. 它是比较两实数大小的依据,也是作差比较法的依据. 三、不等式的基本性质 双向性: 1.定理 1(对称性):a>b?b<a. 单向性: 2.定理 2(传递性):a>b,b>c? a>c. 3.定理 3(同加性):a>b,c 为整式或实数?a+c>b+c. 4.定理 3 推论(叠 加性): a>b c>d}? a+c>b+d. 5.定理 4(可乘性): a>b c>0}? ac>bc; a>b c<0}? ac<bc. c>d>0}? ac>bd. 6.定理 4 推论 1(叠乘性): a>b n n * 7.定理 4 推论 2(可乘方性):a>b>0? a >b (n∈N 且 n>1). 8.定理 5(可开方性):a>b>0? 四、不等式性质成立的条件

n

n a> b(n∈N*且 n>1).

1 1 1 1 例如,重要结论:a>b,ab>0? < ,不能弱化条件得 a>b? < .

a b

a b

五、正确处理带等号的情况 如由 a>b,b≥c 或 a≥b,b>c 均可得出 a>c;而由 a≥b,b≥c 可能有 a>c,也可能 有 a≥c,当且仅当 a=b 且 b=c 时,才会有 a=c. 注意:不等式的性质从形式上可分两类:一类是“? ”型;另一类是“?”型.要注意 二者的区别. 基础自测 1.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是(

)

a a b b2 a a C. > 2>a b b
A.a> >

a a b b a a D. >a> 2 b b

B. 2> >a

3

解析:特殊值法,取 a=-1,b=-2,验证知 > 2>a 成立.也可用作差比较法. 答案:C 2.若 0<a<b,且 a+b=1,则下列各式中最大的是( A.-1 B.log2b C.log2a+log2b+1 3 2 2 3 D.log2(a +a b+ab +b ) )

a a b b

1 2 2 解析:特殊值法.取 a= ,b= , 则 log2b=log2 =1-log23>1-log24=-1;log2b 3 3 3 1 -(log2a+log2b+1)=-1-log2 =-1+log23>0; 3 3 2 2 3 计算可知,b>a +a b+ab +b , 3 2 2 3 ∴log2b>log2(a +a b+ab +b ).故选 B. 答案:B 3.已知 a,b∈R 且 a>b,则下列不等式中一定成立的是____________. a ?1?a ?1?b 2 2 ① >1 ②a >b ③lg(a-b)>0 ④? ? <? ? b ?2? ?2? 解析:令 a=2,b=-1,则 a>b, =-2,故 >1 不成立;令 a=1,b=-2,则 a

a b

a b

2

?1?x 2 2 2 =1,b =4,故 a >b 不成立;当 a-b 在区间(0,1)内时,lg(a-b)<0;f(x)=? ? 在 R ?2? ?1?a ?1?b 上是减函数,∵a>b,∴f(a)<f(b),即? ? <? ? .故④正确. ?2? ?2? 答案:④
4.a>b>0,m>0,n>0,则 , ,

b a b+m a+n , 由大到小的顺序是____________. a b a+m b+n

b 1 a b+m 2 a+n 3 解析:取特殊值.如 a=2,b=1,m=n=1,则 = , =2, = , = . a 2 b a+m 3 b+n 2 a a+n b+m b ∴ > > > . b b+n a+m a a a+n b+m b 答案: > > > b b+n a+m a

1 1.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的(

a

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4

1 1 解析: 当 0<ab<1, a<0, b<0 时, 有 b> .反过来若 b< , 当 a<0 时, 则有 ab>1, 所以“0<ab<1”

a

a

1 是“b< ”的既不充分也不必要条件.故选 D.

a

答案:D 1 2.已知 x=ln π ,y=log52,z=e- ,则( 2 A.x<y<z B.z<x<y C.z<y< x D.y<z<x )

1 1 1 1 1 1 解析:x=ln π >ln e=1,y=log52<log5 5= ,z=e- = > = , <1.综上 2 2 e 4 2 e 可得,y<z<x.故选 D. 答案:D

1.(2013·江门一模)若 x>0、y>0,则 x+y>1 是 x +y >1 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2

2

)

解析:先看充分性, 2 2 2 可取 x=y= ,使 x+y>1 成立,而 x +y >1 不能成立,故充分性不能成立; 3 2 2 若 x +y >1,因为 x>0,y>0, 2 2 2 2 2 所以(x+y) =x +y +2xy>x +y >1, ∴x+y>1 成立,故必要性成立. 2 2 综上所述,x+y> 1 是 x +y >1 的必要不充分条件. 答案:B 2.(2013·北京西城期末)已知 a>b>0,给出下列四个不等式: 2 2 a b-1 3 3 2 ①a >b ②2 >2 ③ a-b> a- b ④a +b >2a b. 其中一定成立的不等式为________. 解析:由 a>b>0 可得 a >b ,①成立; x a b-1 由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2 在 R 上是增函数;∴f(a)>f(b-1),即 2 >2 , ②成立; ∵a>b>0,∴ a> b, 2 2 ∴( a-b) -( a- b) =2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b,③成立; 3 3 2 3 3 2 若 a=3,b=2,则 a +b =35,2a b=36,a +b <2a b,④不成立. 答案:①②③
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